人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第七章第1节第一课时　立体图形及其直观图、柱锥台的表面积与体积

1、第1节立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积 第一课时立体图形及其直观图、柱锥台的表面积与体积知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练空间几何体的几何特征、直观图2,3,410空间几何体的体积与表面积1,5,6,8,912,13折叠与展开问题711综合问题14,15,16,171.算术书记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V=136l2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3,那么,近似公式V25942l2h相当于将圆锥体积公式中的近似取(C)A.227B.258C.15750D.35511

2、3解析:V=13r2h=13(l2)2h=112l2h.由11225942,得15750.故选C.2.(多选题)(2021山东潍坊调研)下列关于空间几何体的叙述正确的是(CD)A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆或矩形C.长方体是直平行六面体D.存在每个面都是直角三角形的四面体解析:A选项,当顶点在底面的射影是正多边形的中心时才是正棱锥,A不正确;B选项,当平面与圆柱的母线平行或垂直时,截得的截面才为矩形或圆,否则为椭圆或椭圆的一部分,B不正确;C正确;D正确,如图,正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形.故选CD.3.(多选题

3、)如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体可以是(AC)A.四棱柱 B.四棱台C.三棱柱 D.三棱锥解析:根据题图,因为有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都易证是平行四边形,因此形成的几何体是四棱柱或三棱柱.故选AC.4.如图,一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45、腰和上底长均为2的等腰梯形,则这个平面图形的面积是(D)A.2+2B.1+2C.4+22D.8+42解析:由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形,如图所示.由于OD=2,DC=2,所以OD=4,DC=2,在题图中过D作DHAB(图略),易知AH=2sin

4、 45=2,所以AB=AB=2AH+DC=22+2,故平面图形的面积为S=DC+AB2AD=8+42.故选D.5. (2021山东聊城模拟)在九章算术中,将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.现有一个羡除如图所示,DA平面ABFE,四边形ABFE,CDEF均为等腰梯形,ABCDEF,AB=AD=4,EF=8,点E到平面ABCD的距离为6,则这个羡除的体积是(C)A.96B.72C.64D.58解析:如图,将多面体分割为两个三棱锥DAGE,CHBF和一个直三棱柱GAD HBC.这个羡除的体积为V=21312264+12644=64.故选C.6.(2021河南郑州调研)现有同底等

5、高的圆锥和圆柱,已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形,则圆锥的侧面积为(D)A.3B.32C.52D.5解析:设底面圆的半径为R,圆柱的高为h,依题意2R=h=2,所以R=1.所以圆锥的母线为l=h2+R2=22+1=5,因此S圆锥侧=Rl=15=5.故选D.7.如图,正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为a,底面边长为b,一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1,路线为AMNA1,则蚂蚁爬行的最短路程是(A)A.a2+9b2B.9a2+b2C.4a2+9b2 D.a2+b2解析:正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形,矩形的长为3b,宽为a,则其对角线AA1的长为最短路程,因此蚂蚁爬行的最短路程为a2

6、+9b2.故选A.8.(2020浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是.解析:如图,设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则圆锥的侧面积S侧=rl=2,所以rl=2.又圆锥的侧面展开图为半圆,所以12l2=2,所以l=2,所以r=1.答案:19.如图,在ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB平面ABC,且AEFCBD,BD=3,FC=4,AE=5.求此几何体的体积.解:法一如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.所以V几何体=V三棱柱+V四棱锥.由题意知三棱

7、柱ABC-NDM的体积为V1=12863=72.四棱锥DMNEF的体积为V2=13S梯形MNEFDN=1312(1+2)68=24,则几何体的体积为V=V1+V2=72+24=96.法二用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA=BB=CC=8,所以V几何体=12V三棱柱=12SABCAA=12248=96.10.(多选题)(2021山东烟台调研)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水,将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时,指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状可能是(ABD)A.圆面B.矩形面C.梯形面D.椭圆面或部分椭圆面解析:将圆柱桶竖放,水面为圆面;将圆柱桶斜放,水面为椭圆面或部

8、分椭圆面;将圆柱桶水平放置,水面为矩形面,但圆柱桶内的水平面不可以呈现出梯形面.故选ABD.11.(多选题)(2021湖北武汉模拟)长方体ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为3,2,1,则(BC)A.长方体的表面积为20B.长方体的体积为6C.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为32D.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为25解析:长方体的表面积为2(32+31+21)=22,A错误.长方体的体积为321=6,B正确.如图(1)所示,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1,将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开,如图(2)所示.连接AC1,则有AC1=52+1

9、2=26,即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时,A到C1的最短距离是26;将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开,如图(3)所示,连接AC1,则有AC1=32+32=32,即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时,A到C1的最短距离是32;将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开,如图(4)所示.连接AC1,则有AC1=42+22=25,即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时,A到C1的最短距离是25.因为322526,所以沿长方体表面由A到C1的最短距离是32,C正确,D错误.故选BC.12.(2021重庆诊断)如图,某文物需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将

10、其罩住,罩内充满保护文物的无色气体.已知文物近似于塔形,高1.8 m,体积为0.5 m3,其底部是直径为0.9 m的圆形,要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3 m,文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2 m,气体每立方米1 000元,求气体的费用最少为(B)A.4 500元B.4 000元C.2 880元D.2 380元解析:因为文物底部是直径为0.9 m的圆形,文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3 m,所以由正方体与圆的位置关系可知,底面正方形的边长最少为0.9+20.3=1.5(m).又文物高1.8 m,文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2 m,所以正四棱柱的高最少为1.8+0.2=2(m)

11、,则正四棱柱的体积V=1.522=4.5(m3).因为文物的体积为0.5 m3,所以罩内气体的体积为4.5-0.5=4(m3).因为气体每立方米1 000元,所以气体的费用最少为41 000=4 000(元).故选B.13.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是cm3.解析:螺帽的底面正六边形的面积为S=61222sin 60=63(cm2),正六棱柱的体积为V1=632=123(cm3),圆柱的体积为V2=0.522=2(cm3),所以此六角螺帽毛坯的体积为V=V1-V2=(

12、123-2)(cm3).答案:(123-2)14.如图,在正四棱锥P-ABCD中,B1为PB的中点,D1为PD的中点,则棱锥A-B1CD1与棱锥P-ABCD的体积之比是(A)A.14B.38C.12D.23解析:如图,棱锥A-B1CD1的体积可以看成是正四棱锥P-ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到.因为B1为PB的中点,D1为PD的中点,所以棱锥B1-ABC的体积和棱锥D1-ACD的体积都是正四棱锥P-ABCD的体积的14,棱锥CPB1D1的体积与棱锥A-PB1D1的体积之和是正四棱锥P-ABCD的体积的14,则中间剩下的棱锥AB1CD1的体积VA-B1CD1=VP-ABCD-314

13、VP-ABCD=14VP-ABCD,则VA-B1CD1VP-ABCD=14.故选A.15.(2021广东佛山质检)已知圆锥的顶点为S,底面圆周上的两点A,B满足SAB为等边三角形,且面积为43,又知圆锥轴截面的面积为8,则圆锥的侧面积为.解析:设圆锥的母线长为l,由SAB为等边三角形,且面积为43,所以12l2sin 3=43,解得l=4.又设圆锥底面半径为r,高为h,则由轴截面的面积为8,得rh=8.又r2+h2=16,解得r=h=22,所以圆锥的侧面积S=rl=224=82.答案:8216.如图,33的正方形纸片,剪去对角的两个11的小正方形,然后沿虚线折起,分别粘合AB与AH,ED与EF

14、,CB与CD,GF与GH,得到一几何体“”,记“”上的棱AC与EG的夹角为,则下列说法正确的是.几何体“”中,CGAE;几何体“”是六面体;几何体“”的体积为23;cos =45.解析:如图所示,取AG,CG,CE,EG的中点M,N,O,P,连接AN,EN,MN,ON,MP,OP,OM.由已知可得CE=CA=EG=AG=5,所以ANCG,NECG,又因为ANNE=N,所以CG平面ANE,所以CGAE,故正确;因为ABBC,ABBG,又因为BCBG=B,所以AB平面CBG,同理BE平面CBG,所以平面ACB与平面CBE共面,平面AGB与平面GBE共面,AB与BE共线,所以该几何体为四面体,故错误

15、;因为BC=BG=1,CG=2,所以CBG为直角三角形,CBG=90,所以SCBG=1211=12,又因为AE平面CBG,AE=2AB=2BE=4,所以该几何体的体积为V=13124=23,故正确;MP=12AE=2,OP=12CG=22,又因为MPAE,OPCG,CGAE,所以MPOP,所以MO=MP2+PO2=322,ON=NM=12AC=52,所以cosONM=ON2+NM2-OM22ONNM=54+54-184254=-45,又因为ACMN,EGNO,所以ONM为异面直线AC,EG所成的角(或其补角),所以cos =45,故正确.答案:17.如图,在ABC中,CA=CB=3,AB=3,点F是BC边上异于点B,C的一个动点,EFAB于点E,现沿EF将BEF折起到PEF的位置,则四棱锥PACFE的体积的最大值为.解析:在ABC中,CA=CB=3,AB=3,由余弦定理,可得cos B=BC2+BA2-AC22BCBA=3+9-3233=32,所以B=6,设EF=x,则BE=PE=3x(0 x32),设PEB=,则四棱锥PACFE的高h=PEsin =3xsin ,四边形ACFE的面积为