苏教版-初二数学动点问题练习含答案

1、动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问 题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图 1,梯形 ABC冲,AD/ BC, /B=90 , AB=14cm,AD=18cm,BC=21 品P从 A开始沿 AD&以 TOC o 1-5 h z 1cm眇的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm磨的速度移动，如果P, Q分别从A, C同时出 发，设移动时间为t秒。当1=时，四边形是平行四边形；6 匚当1=时，四边形是等腰梯形.82、如图2,正方形ABCD

2、1边长为4,点M在边DC上，且DM=1 N为对角线AC上任意一点，则DN+MN 的最小值为53、如图，在RtABC 中，/ACB=90。，/B=60。，BC =2 .点O是 AC 的中点，过点ODM的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE / AB交直线l于点E ,设直线l的旋转角为a .(1)当-.度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为.当度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为（2）当” =90时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.解：(1)30, 1;60, 1.5;(2)当/a=90时，四边形EDBC1菱形.a=/ACB=9

3、0，B0 ED CE/AB，四边形 EDBCL 平行四边形 在 RtAABC, ZACB9C0, /&6& BC=2, . /303.AB=4,AC=2而. A(=2 AC =/3 .在 RtAO,，/A=30,.小摩2.- B=2. . B=BC又二.四边形EDB段平行四边形，四边形EDB俚菱形4、在4AB计，/ACB90 , AC=BC直线 MK过点 C,且 ADLMN D, BELMNF E.(2)求证:求证:当直线MN点C旋转到图1的位置时, 当直线MNg点C旋转到图2的位置时, 当直线MNg点C旋转到图3的位置时,4AD仁ACEB DE=ADBE DE=AD-B E试问DE AD B

4、E具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.解：(1) -. ZACD =ACB=90，/CAD+ ACD=0. . / BCE+ACD=90./CAD=BCE-AC=BC .AD国 ACEB.AD国 ACEB .CE=ADCD=BE . DE=CE+CD=AD+BE/ADC =CEB=ACB=90，/ACD= CBE 又.AC=BCAACD ACBE . . CE=AD CD=BE . . DE=CE-CD=AD-BE(3)当 MNI转至U图 3 的位置时，DE=BE-AD( AD=BE-REBE=AD+DE)/ ADC = CEBW ACB=90 / ACD = CBE 又. A

5、C=BCAACD ACBE.-AD=C E CD=B E. DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上,张老师出示了问题：如图1,四边形ABC此正方形,点E是边BC勺中点./AEF = 90 ,且E浅正方形外角/ DCG的平行线CFT点F,求证：A占EF经过思考,小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M连接ME则AMEC易证 AME AECF，所以AE = EF . 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC勺中点”改为“点E是边BCh （除B, C外）的任意一点”，其它条件不变， 那么结论AE=EF仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明

6、过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3,点E是BC勺延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论AE=EF仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.解：（1）正确.证明：在AB上取一点M ,使AM =EC,连接ME .: BM =BE .，BME =45 ,AME = 135 .*CF 是外角平分线，二/ DCF =45。，:/ECF =135 二/AME =/ECF .:AEB . BAE =90 , . AEB . CEF =90 ,二 /BAE=/CEF.AMEWzXBCF (ASA.二 AE = EF .(2)正确.证明：在B

7、A的延长线上取一点N .使AN =CE,连接NE.二 BN =BE . ，NN =/PCE =45 .丁四边形ABCD是正方形，:AD II BE.二 / DAE = /BEA .二 N NAE = / CEF .,-.ANEAECF (ASA.6、如图，射线MB,MB=9,A是射线M训一点,AB=5且A到射线MB勺距离为3,动点P从Mg射线ME向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求（1） PAB为等腰三角形的t值；（2） PAB为直角三角形的t值； 若AB=5且/ABM=45 ,其他条件不变，直接写出 PAB为直角三角形的t值二 AE =EF .7、如图1,在等腰梯形ABCD中，

8、AD / BC, E是AB的中点，过点E作EF / BC交CD于点F, AB = 4, BC = 6, /8=60;求：（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM _LEF交BC于点M ,过M作MN / AB交折线ADC于点N ,连结PN ,设 EP =x.当点N在线段AD上时（如图2）, APN 的形状是否发生改变？若不变，求出4PMN的周长；若改变，请说明理由;当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P ,使4PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由解（1）如图1,过点E作EG,BC于点G.1BE = AB = 2.E为AB

9、的中点，2在 RtEBG 中，/B=60:. ./BEG=30-1BG BE =1,2即点E到BC的距离为J3.（2）当点N在线段AD上运动时, PM 1EF, EG 1EF,PM PMN的形状不发生改变./ EG. EF / BC,EP=GM= EG=J3.同理 MN=AB = 4.如图2,过点P作PH -LMN MN / AB,EG =、. 22 -12 = .3. ./ NMC =/B =60: /1PMH =30 PH =，PM213 MH =PM 岛os30.23则 NH -MN - MH =4-一2在 RtAPNH 中，PN =JNH2 +PH2APMN 的周长=PM +PN +M

10、N =J3 +J7+4.当点N在线段DC上运动时，APMN的形状发生改变，但4MNC恒为等边三角形.当 PM = PN 时，如图 3,作 PR _L MN 于 R ,则 MR = NR._3 一 一一 一一类似，MR=. .MN=2MR=3.AMNC 是等边三角形，. MC = MN = 3.2此时，x = EP =GM =BC -BG -MC =6-1 -3 = 2.当 MP =MN 时，如图 4,这时 MC =MN =MP =，3.此时，x = EP = GM = 6 1 J3 = 5 J3.当 NP=NM 时，如图 5, /NPM =/PMN =30 口.则/PMN =120 口，又/M

11、NC=60 PNM +/MNC =180 因此点P与F重合，zPMC为直角三角形.MC =PM Ltan30 = 1, 此时，x = EP = GM =6 1 1 =4.综上所述，当x=2或4或（5J3）时， PMN为等腰三角形.8、如图，已知4ABC中，AB=AC=10厘米，BC =8厘米，点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后， BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？(2)若

12、点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在 ABC的哪条边上相遇?解：（1）t=1 秒，BP=CQ=3M1=3厘米，AB =10厘米，点D为AB的中点，BD =5厘米.又.PC=BCBP, BC=8 厘米，. PC =83 = 5 厘米，.PC = BD .又.AB = AC, ./B=/C, . ABPD ACQP . vP #vq - BP =CQ y.- ABPD CQP NB=NC 则 BP = PC =4, CQ = BD =5CQ 5 15+ BP 4vQ=Z=Zt点P ,点Q运动的时间 3 3秒，3

13、厘米/秒。80 x 二 一,解得 3秒.15(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,x =3x 2 10由题意，得4803=80c点P共运动了 3厘米.80 = 2m28 + 24, .点P、点Q在AB边上相遇,80.经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.9、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4, /BAD=120； 4AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC. CD上滑动，且E、F不与B. C. D重合.(1)证明不论E、F在BC. CD上如何滑动，总有BE=CF;(2)当点E、F在BC. CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和4CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变

14、化，求出最大(或最小)值.【答案】解：(1)证明：如图，连接AC.四边形ABCD为菱形，ZBAD=120,ZBAE+ZEAC=60, Z FAC+Z EAC=60,.ZBAE=ZFACo. ZBAD=120, .ZABF=60oDB.ABC和AACD为等边三角形。.,.ZACF=60, AC=AB。. . / ABE=/AFC。在4ABE和 AACF 中，1. ZBAE=ZFAC, AB=AC, ZABE=ZAFC,.ABEAACF (ASA) ，BE=CF。(2)四边形AECF的面积不变，CEF的面积发生变化。理由如下:由(1)得ABEAACF,贝USaabe=Saacf。S 四边形 AEC

15、F=Sa aec+S acf=S aec+Saabe=Smbc,是定值。作 AHXBCT H 点,则 BH=2,1S3边形aecf =S&bc b BC AH =BC AB2-BH= 4/3。由垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最HC故AAEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小,又&CEF=S四边形AECF SaAEF,则此时CEF的面积就会最大.122 . SCEF=S 四边形aecf SAAEF = 4j3 “2j3 (2j3 ) -(J3 ) = J3 o. .CEF的面积的最大值是、3【考点】菱形的性质，等边三角形的判定

16、和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】(1)先求证ABAC进而求证AABC ACD；等边三角形，得/ACF=60 , ACAB从而求证4AB碎4ACF即可求得 BECF(2)由ZAB碎ACFT得Sx ABE=SACF,故根据S四边形AE(F=Sx AE+Sx AC=Sx AE+SAEE=Sx ABC即可得四边形AEC F勺面积是定值。当正三角形AEFF勺边AE与BC垂直时，边AE最短.AAEF勺面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF勺面积会最小，根据&CE=S四边形AECL观AEF,则 CEF勺面积就会最大。10、如图，在4AOB中，ZAOB=9

17、0, OA=OB=6, C为OB上一点，射线CD,OB交AB于点D, OC=2.点P从点A出发以 每秒加个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发, 当点P到达到点B时停止运动，点Q也随之停止.过点P作PEOA于点E, PFOB于点F,得到矩形PEOF.以点Q为直角 顶点向下作等月直角三角形QMN,斜边MN/OB,且MN=QC.设运动时间为t (单位：秒).(1)求t=1时FC的长度.(2)求MN=PF时t的值.(3)当4QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠(阴影)部分图形面积S与t的函数关系式.(4)直接写出4QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值.考点：相似形综合题.分析：(1)根据等腰直角三角形，可得APR5 OF=EP=t再将t=1代入求出FC的长度；(2)根据MN=PF,可得关于t的方程6-t=2t,解方程即可求解；(3)分三种情况：求出当14磴时；当2Vt任时；当5Vt小时；求出重叠(阴影)部分图形面积S与t的33函数关系式；(4)分M在OE上；N在PF上两种情况讨论求得4QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值.解答：解：(1)