[PPT]理论力学课件之刚体的平面运动

1、第六章刚体的平面运动1 61 刚体平面运动的运动方程 62 平面运动分解为平动和转动 63 平面图形内各点的速度 64 平面图形内各点的加速度第六章 刚体的平面运动2本章重点：平面运动与平动的区别，平面运动分解为平动和转动，求平面图形内各点速度的瞬心法，求平面图形内各点加速度的基点法。本章难点：求点的加速度的基点法，合成运动与平面运动的综合问题。3 刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种刚体的复杂运动。对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，先将平面运动分解为上述两种基本运动，然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式。

2、4 刚体的平面运动是工程上常见的一种运动。例如曲柄连杆机构：6-1 刚体平面运动的运动方程一平面运动的定义 刚体运动时，如果体内任一点到某一固定平面的距离始终保持不变，则这种运动称为刚体的平面运动。也就是说，刚体作平面运动时，体内任一点都在与某固定平面平行的平面内运动。请看动画56返回7曲柄OA作定轴转动，滑块B点作直线平动，连杆AB 既不是作平动也不是作定轴转动，连杆上的各点都在与该机构中心平面（图示平面）相平行的平面运动，是平面运动。注意：（1）平面运动刚体内各点的运动是不同的；（2）不能把平面运动与平动混为一谈。8 因此，在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动

3、。二 刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面内的运动A1A2作平动A点代表A1A2的运动 S代表刚体的运动A。A1A2请看动画S9返 回10 三运动方程为了确定平面图形的运动，取静系Oxy，在图形上任取一点O（称为基点），并取任一线段OA，只要确定了OA的位置，S的位置也就确定了。刚体平面运动方程任意线段OA的位置也就是平面图形S 的位置决定于 三个独立的参变量。当平面图形运动时，它们 是时间t的单值连续函数。所以11故平面图形的运动可以分解为平动和转动。6-2 平面运动分解为平动和转动由上节知：若 为常量，则平面图形作 定轴转动。若 为常量，则平面图形作平动。则：平面图形的运动（绝对运

4、动）=图形随动系（基点O ）的平动（牵连运动）+图形相对于动系绕基点的转动（相对运动）1.平面运动的分解选择一作平动的坐标系Oxy铰接于平面图形的O点（基点）请看动画xy注意: 动系是在基点与刚体铰接，动系作平动，图形相对于基点可以转动。12返 回13例如车轮的运动14车轮从位置的运动：以A点为基点车轮相对地面的运动(绝对运动)车轮随基点A的平动(牵连运动)车轮绕基点的转动(相对运动)15162.平面运动的分解与基点选择的关系平面图形随基点的平动与基点的选择有关。平面图形绕基点的转动与基点的选择无关。证明： 在平面图形上取任意两直线OP、O P ，二者夹角为a， 则a =常量。以O为基点，作平

5、动坐标系Oxy，设OP与x的夹角为j，则图形绕O点转动的角速度和角加速度分别为：17以O为基点，作平动坐标系Oxy ，这时图形绕O点转动的角速度和角加速度分别为：即在同一瞬时，平面图形绕图形上任一点转动的 、 都是相同的。18196-3平面图形内各点的速度根据点的速度合成定理则B点速度为： 一基点法（合成法）指向与 转向一致。取A为基点, 将平动坐标系铰接于A点。设图形S内一点A的速度为，图形角速度为，求任一点B的速度。其中： 大小vBA= AB，方位：AB，xy则动点B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成：20即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影等这就是 速度投

6、影定理利用这种定理求平面图形上点的速度的方法称为速度投影法。速度投影定理反映了刚体上任意两点间的距离保持不变的特性。即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法，也称为合成法。它是求解平面图形内一点速度的基本方法。二速度投影法将上式在AB上投影：待求点基点21 三速度瞬心法 1. 问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化。于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？瞬时速度中心（简称速度瞬心）平面图形S，某瞬时其上一点O速度 , 图形角速度，沿 方向取半直线OL, 然后

7、顺 的转向转90o至OL的位置,在OL上取长度 则：方位IO，指向与 相反。所以vI=022即 大小：vA=AI 即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心（I）速度瞬心又称为瞬时转动中心 设某瞬时平面图形的角速度为，速度瞬心在I点。以I点为基点，有：方向：AI与一致同理：即：平面图形上任一点的速度，就是该点随图形绕该瞬时图形的速度瞬心转动的速度。也就是：某瞬时图形上任一点的速度的大小等于该点到速度瞬心的距离与图形此瞬时角速度的乘积，方向垂直于该点到速度瞬心的连线与角速度一致。234确定速度瞬心位置的方法（以I表示速度瞬心）注意：速度瞬心的加速度

8、不为于零。平面图形的运动可以看成是绕它的一系列速度瞬心作瞬时转动。I在A点的那一侧？ 应与一致。已知图形上一点的速度 和图形角速度，则：已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动（或称纯滚动）, 则图形与固定面的接触点I为速度瞬心。24 已知某瞬时平面图形上A,B两点速度 的方向，且 过A , B两点分别作速度 的垂线,交点 I即为该瞬间的速度瞬心. 已知某瞬时图形上A ,B两点速度 大小,且(b)(a)均有：25已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线 垂直。 此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度 =0, 图形上各点速度相等, 这种情况称为瞬时平动。 (此时各点的加速度不相

9、等)对(a)的情况，若vAvB， 也是瞬时平动26 例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动。此时连杆BC的图形角速度 ，BC杆上各点的速度都相等，但各点的加速度并不相等。设匀，则而 的方向沿AC， 瞬时平动平动27解：OA作定轴转动，AB作平面运动，滑块B作平动。 基点法（合成法） 研究 AB：例1 图示曲柄连杆机构，已知OA=10cm，AB=20cm，曲柄OA以匀=20rad/s 转动。 求当 =60时, 滑块B的速度 及连杆AB的角速度eAB。方向OA与w一致以 A为基点，则B点的速度：28作B点的速度。在OAB中：abg由速度：29得： 速度投影法 研究AB：（逆时针）方位

10、：BO根据速度投影定理30不能求出900-q-j 速度瞬心法研究AB：方位：BO由 可确定出AB的速度瞬心I31I在OAB中，用正弦定理或余弦定理可求得：OB=23.03cm。于是：wAB（ ）32例2：绕线轮作纯滚动，其上圆柱部分的绕线以u水平向右运动，求O、A、C、D点的速度。解：（ ）vO=R=vA=2R=vC=IC=vD=ID=33例3：图示机构，曲柄OA以0转动。设OA=AB=r，图示瞬时O、B、C在同一铅直线上，求此瞬时点B和C的速度。解：（1）以AB为研究对象： vA=r0，方向OAIAB（2）以BC为研究对象：IBCABBC请看动画（ ）34返 回356-4 平面图形内各点的加

11、速度取A为基点，将平动坐标系铰接于A点，取B动点，则B点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动由动系作平动时的加速度合成定理 可得：一. 基点法 (合成法) 已知：图形S 内一点A 的加速度 和图形 的 , （某一瞬时）。求： 该瞬时图形上任一点B的加速度。36其中：，方位AB，指向与 一致；，方向：BA。即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于 方位总是已知，所以在使用该公式中，

12、只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。为何没有 ？一般式：37（）I为速度瞬心（）半径为R的车轮沿直线轨道作纯滚动, 则：（）38解：(a) AB作平动:例5 已知O1A=O2B=l, 图示瞬时 O1A/O2B 试问(a),(b)两种情况下1和 2，1和2是否相等？(a)(b)39(b) AB作平面运动, 图示瞬时作瞬时平动, 此时下面求加速度：以A点为基点，则（*）40将（*）式向x轴投影：x将各量代入，得：41例6 曲柄滚轮机构：滚子半径R=15cm=OA, 曲柄OA转速n=60 r/min。求：当 =60时 (OAAB), 滚轮的，。（习题6-11）翻页请看动画4243解：OA定轴转

13、动，AB杆和轮B作平面运动（1）求IBIABvB（顺时针）A（逆时针）以AB为研究对象以轮为研究对象44以AB为对象，以A为基点：方向：AO将（*）式向轴投影：（2）求aB=？，方位：水平，指向假设（*）aBA=？，方位BA，指向假设方向：B A以轮为研究对象：B=aB/BIB=131.5/15=8.77rad/s2(逆时针)45例7图示机构，已知OA=20cm，BO1=100cm，AB=120cm；OA以O=5rad/s2转动，图示瞬时OA的O=10rad/s，求此时B点的加速度。解：以AB杆为研究对象（1）求O1B杆的1 AB作瞬时平动（ ）146（2）求aB1以A点为基点，则B点加速度：

14、（*）其中：471将（*）式向AB投影：方向：讨论：48刚体平面运动习题课一概念与内容1. 刚体平面运动的定义刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变。2. 刚体平面运动的简化可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平 面内的运动代替刚体的整体运动。 3. 刚体平面运动的分解 分解为 4. 基点可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点。 随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）495. 速度瞬心任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点。瞬心位置随时间改变。每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动。这 种瞬时绕

15、瞬心的转动与定轴转动不同。 =0, 瞬心位于无穷远处, 各点速度相同, 刚体作瞬时平动, 瞬时平动与平动不同。6. 刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例。7. 求平面图形上任一点速度的方法 （1）基点法： （2） 速度投影法： （3） 速度瞬心法：50 8. 求平面图形上一点加速度的方法基点法： 9. 平面运动方法与合成运动方法的应用条件平面运动方法用于研究一个平面运动刚体上任意两点的度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形角速度、角加速度之间的关系。 合成运动方法常用来确定两个相接触的物体在接触点处相对滑动时的运动关系的传递。51二解题步骤和要点 1. 根据题意和刚体各种运动

16、的定义，判断机构中各刚体的运动 形式。注意每一次的研究对象只是一个刚体。 2. 对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速 度(图形角速度)问题的方法, 用基点法求加速度(图形角加速 度)。 3. 作速度分析和加速度分析，求出待求量。 (基点法: 恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图； 速度投影法: 不能求出图形 ; 速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键。）52解:OA定轴转动 ; AB, BC均作平面运动, 滑块B和C均作平动求对AB杆应用速度投影定理：对BC杆应用速度投影定理：例1 已知：配气机构中，OA= r , 以等 o转动, 在某瞬时 = 60 ABBC, AB=6 r

17、 , BC= 。求该瞬时滑块C的 速度和加速度。53求以AB为研究对象，以A为基点求B点加速度：( a )作加速度矢量图, 将（a）式向BA方向投影其中54再以BC为研究对象，以B为基点, 求注 指向可假设，结果为正说明假设与实际指向相同， 反之，结果为负，说明假设与实际指向相反。将 (b) 式在BC方向线上投影：其中55例2 深水泵机构如图所示：曲柄O2C以匀w0转动。已知：O1O2=O2C=BE=l，在图示瞬时O1C=CB，求图示瞬时（1）活塞F的速度vF，（2）杆O1B的角加速度e O1B及活塞F的加速度aF 。解：1.求vF（1）以滑块C为动点，O1B为动系，求wO1B300（ ）wO1B56（2）以O1B杆为研究对象：300wO1BI （3）以BE杆为研究对象： （BE杆作平面运动）（ ）wBE（4）以EF杆为研究对象：（EF杆作平动）572.求e O1B及aF（1）以滑块C为动点， O1B为动系，求eO1Bh1将式（*）向h1投影，得：60（2）以O1B杆为研究对象：58h160（3）以BE杆为研究对象：h2将式（*）向h2投影，得：（4）以EF杆为研究对象：59例3如图所示平面