自主招生小专题：一端是定点,另一端是动点的线段最值问题

1、自主招生小专题：一端是定点，另一端是动点的线段最值问题理论依据：1、直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短；（适合于被动点的轨迹为直线型）2、圆外一定点到定圆上动点的线段中，何时取最值，一目了然；（实质就是利用 三角形任意两边之和大于第三边，任意两之差小于第三边，三点共线时取等号） 解题关键：找出动点的轨迹。动点要么呈直线型运动； 要么在圆弧上运动（特别注意：若能转化成两点之间线段, 就不需要找轨迹了） 如何找轨迹：1、在同一幅图中多画几个不同位置的点（至少 3个），若对应的动点不在同一直线上，则该动点在弧上运动；否则在直线上运动；2、将三角形绕定点旋转一定的角度，有时要进行缩放，以便形成

2、全等或相似，这样容易找出动点的轨迹。（这两类轨迹是比较难找的）特别注意：有时旋转后，并不需要找轨迹，答案已经快浮出水面了主动点在圆上运动，而被动点是由主动点绕定点旋转一定角度并放缩后得到的，则该被动点也在圆上运动；同理，主动点在线段上运动，而被动点是由主动点绕定点旋转一定角度并放缩后得到的，则该被动点也在线段上运动（对于这样的图形就不需要画图来判断轨迹是什么类型的）例1、如图所示，在平面直角坐标系中， 以原点O为圆心，1为半径作圆O,点B是圆O上一动点，点A （2, 0）, 以AB为直角边作等腰 RtA ABC, （A、B、C按顺时针排列），则OC的长度的取值范围是 解析：动点C可以看作是线段

3、 AB绕点A顺时针旋转90o所得，接下来将 AB彼点A顺时针旋转90o可得 ACO,显然O （2, 2）, OC=OB=1 ,故点C是在圆O运动，又 O O=2 V2当点C在线段OO上时，OC有最小值为242-1当点C在线段OO延长线上时，OC有最大值为202+1,所以2 J2-1WOCW2 J2+1特别注意：也许有人会问，网上不是有捆绑旋转法吗？为什么不直接把圆O绕点A顺时针旋转90o?这时因为,直接把圆旋转后，图形会比较拥挤，有些点的坐标有时不好求。类题演练1、如图，点O为坐标原点，圆 O的半径为1,点A （2, 0）,动点B在圆O上，连接AB,作等边/ ABC （A、B、C为顺时针排列）

4、，求OC的最大值与最小值略解：动点C可以看作是线段 AB绕点A顺时针旋转60o所得，接下来将 AB彼点A顺时针旋转60o可得 ACO,显然O为定点，OC=OB=1 ,故点C是在圆O运动，又 O O=2所以2-1WOCW2+1,即OC的最小值为1,最大值为3 类题演练2、如图，AB=4, O为AB的中点，圆O的半径为1,点P是圆O上一动点，以PB为直角边的等腰直角 PBC （点P、B、C按逆时针方向排列），则线段AC长的取值范围是略解：被动点 C可以看作是由主动点 P绕定点B顺时针旋转45并伸长到原来的 J2倍，接下来将 OPB这种方式的旋转。J，WA（X 3 2例2、如图， ABC中，/ AC

5、B=9S, CA=CB=4 CDAB于点D, P是CD上一个动点，以 P为直角顶点向下作 等腰直角 PBE,连接DE,求DE的最小值。类题演练 3、如图， ABC中，ZACB=9G0, ZA=30o, AC=6 D是AB上一个动点， 以DC为斜边作等腰直角 DCE 使/ CED=9O 点E和点A位于CD的两侧，连接 BE,求BE的最小值。例3、如图，点P是正方形 ABCD外的一点，PA=3 PB=4,求PC的最大值类题演练4、如图，点P是等边 ABC外的一点，PA=3, PB=4,求PC的最大值类题演练5、如图，点P是正方形ABCD外的一点，对角线 AC、BD交于点O, PA=3,PB=4,求

6、PO的最大值类题演练6、如图，点P是正六边形 ABCDEF外的一点，PA=3, PB=4,求PC PDPF的最大值例4、如图，点O在线段AB上，OA=1, OB=2,以点O为圆心，OA长为半径白圆为。O,在。上取动点P,以1PB为边作 PBC,使/ PBC=90o, tan/PCB , P、B、C二点为逆时针顺序排列。连接AC,求AC长的取值氾围。2类题演练7、如图，AB是圆O的直径，点 C在AB的延长线上，AB=BC=10 P是圆O上一动点，连接 PC,以PC3为边作 PCD使/ PDC=90, tan/DPC=3, P、C D三点按逆时针排列，连接 OD求线段OD长的最小值。4类题演练 8

7、、如图，在 RtABC 中，/ ABC=90, tan / BAC=3 ,点 P 是 4ABC 外的一点，PA=3, PB=4,求 PC 的4最大值类题演练9、如图，圆。的半径为3,点A、B是圆。上两点，/ ABC=90 （A、B、C按顺时针排列） 34tan/BAC=3,求线段OC长的取值范围。求运动路径的时候，也需要弄清运动轨迹1、在平面直角坐标系中，A (2, 0)、B (0, 3),过点B作直线/ x轴，点P (a, 3)是该直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰 RtAAPCQ /APQ=RtZ,直线 AQ交y轴于点C. ( K型图)(1)当a=1时，则点Q的坐标为;(2)当点P在

8、直线上运动时，点 Q也随之运动。当a=时，AQ+BQ勺值最小为 .姝略解：(1)由K型图，Q (4, 4)(2)由旋转不变性及 K型图，得Q (a+3, 5-a),故点Q在直线y= -x+8上运动，然后将军饮马;a= 40 ,最小值为J73112、(2013?胡州)如图，已知点 A是第一象限内横坐标为 2 J3的一个定点，AC，x轴于点M,交直线y= - x于点N.若点P是直线 ON上的一个动点，/ APB=30 , BA PA,则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点 随之运动.当点 P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 3、如图，在 RtABC中，/ ACB=9S, /A=30o, AC=6, D是AB上一个动点，以 DC为斜边作等腰直角 DCE 使点E和点A位于CD的两侧，点D从点A到点B的运动过程中：(1)求 DCE周长的最小值；(2)求点E的移动路径4、如图，A (-3, 0), B (0, 3), C (-1, 4),点P、C、M按逆时针排列