江苏省苏州工业园区星海实验中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题

1、江苏省苏州工业园区星海实验中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题学校：姓名：班级：考与一、单选题1.某射手射击所得环数的分布列下表：已知%的数学期望E?=&9,则y的值为78910PX0.10.3yA. 0.2B. 0.5C. 0.4D. 0.32.有4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每缸同学只去1个小区，每个小区 TOC o 1-5 h z 至少安排1名同学，则不同的安排方法为（）A. 6 种B. 12 种C. 36 种D. 72 种3.某班有60名学生，一次考试后数学成绩2 N （1 IO。），若P （l00AAllO ） = 0.35 ,则估计该班学生数学成绩在 120分

2、以上的人数为（）A. 10B. 9C. 8D. 74.在一次独立性检验中，其把握性超过 99%但不超过99.5%,则的可能值为 参考数据：独立性检验临界值表P( KOk)0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A? 5.424B? 6.765C? 7.897D? 11.8975.若(1 + mx)6 =a。+ aAx + a 2x2 + ? ? ? + a6x6,且？+心+?+他=63,则实数加的值A? 1 或3B? 3C? 1D? 1 或？ 36. 已知函数 /(x)=则实数加的取值范围是(e -x + rnA

3、? (一 1,乜)B. Y, l)C. (1,+s)D? (Vi).已知1V-v丁，则一一十八一的最小值是()3m-1 4-3mA? 3A2+9B?、/J + 6C? 6血+ 9D? 12.设函数Jx) = ax 3 +bx2+cx(a.b yc e 0),若不等式寸7x)-妙(人)冬2对一)C.切xwR恒成立，则上的最小值为(aA. -B6二、多选题9?下列等式正确的是()C? (77 + 2)(77 + 1)A；=A. C: = C : 10.下列选项中正确的是()A.不等式a+bA2yfabA成立D. W+C 篇B?存在实数血 使得不等式+ 1)=:则P(-l A0) = l-P ；D.

4、某人在10次射击中，击中目标的次数为X, XB(10,0? 8).则当x = 8时概率 最大.12.已知函数f(x)=xnx,若0V比七，则下列结论正确的是(A? VU)V2)B? a+/(A)x 2+/J2)C?若心为正实数，则-+ yA2a bc?心）-/ 匕） 一 1 时,和(兀1)+吃/(吃)23(期)三.填空题.某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95,且每个零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为X,则随机变量X的方差DX =.Q.当xl时，求2x + 的最小值为x-1I 6.已知？eN,二项式x + 一展开式中含有，项的系数

5、不大于240，记。的取 I x J值集合为A，则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有 个.四、双空题.若函数/(x)的导函数f(x)存在导数，记f(x)的导数为fn(X).如果对Vxe(b),都有fx) A型周长为24cm,把430沿AC向八ADO叠,AB折过去后交DC于点P,设AB = xcm,DP = ycm.B求y与x之间的函数关系式：求/WW的最大而积及相应x的值.19.已知函数 f(x) = nx + ax 2 - 3x(a e /?).(1)若函数/CO在点(1/ (1)处的切线方程为y = -2 9求函数/Cv)的极值:(2)若a = l,对于任意xpx2elJO,当xt

6、一恒成立，求实数加的取值范用.小220.根据公安部交管局下发的通知，自 2020年6月1日起，将在全国开展“一盔一带安全守护行动，英中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔，为的就是让大家重视交通安全？某地交警部门根据某十字路口的监测数据，从穿越该路口的骑行者中随机抽查了 200人，得到如图所示的列联表:戴头盔小带头盔合计男性3090120女性107080合计40160200(1)是否有97.5%的把握认为门觉带头盔行为.与性别有关？盔的骑行者统计，得到上而的散点图和如（2）通过一左的宣传和相关处罚措施出台后，交警在一段时间内通过对某路口不带头下数拯:天数123456人数110604434302

7、8观察散点图，发现两个变量不具有线性相关关系，现考虑用函数y对两个变局x的关系进行拟合，通过分析得 y与，有一泄的线性相关关系，并得到以下参考数据（其 X中 W A）：XXWX2诵26 r-l.-162I61-13.50.4112.250.1681911.492816173.8306请选择合适的参考数据，求出 y关于X的回归方程.参考公式：K2 =n(ad -be)2(a + /?)(c + d)(a + c)(b +P(4)0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828对于一组数据（日勺川），（” 2巴），（匕心），其回归直线v =

8、aApu的斜率和截距n的最小二乘估计分别为：B=6=亏一了:r-l21.如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口 3,每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的？现有甲、乙、丙、丁共 4名游 客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所 指路线行JE,最后到出口B集中，设点C是英中的一个交叉路口点.求甲经过点C的概率;设这4名游客中恰有X名游客都是经过点 C,求随机变屋X的概率分布和数学 期望.进口 422.已知函数fM = ex （ + mnx ）.其中也0,广（工）为/ （兀）的导函数，设 “（X） = T-一广，且/7 （

9、A） |恒成立.1 ） 求加的取值范围：2） 设函数于（兀）的零点为心函数广 （x）的极小值点为州，求证：如召?参考答案C【分析】根据分布列的概率之和为 1得儿的一个关系式，由变疑的期望值得兀，)的另一个关系式，联立方程，求解)的值.【详解】解：由表格可知：x + O+ 0.3+y = 17x + 8x0+9x0.3 + 10 xy = 8.9 解得y = 0.4.故选：C.【点睹】本题考查根据分布列和期望值求参数，熟记概念即可，属于常考题型C【分析】4名同学中选2名作为一人，共3人分到三个小区即可.【详解】由题意不同的安排方法是 二36.故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用，解题关键是确

10、立完成事件方法.B【分析】由P(100VA110) = 0.35 ,根据对称性得出P(110VA120) = 0.35 ,由此求得该班学 生数学成绩在120分以上的概率，问题得解.【详解】因为数学成绩N(110,b2),所以由 P(1(X 尽共 110) = 0.35 可得：P(110a 120) = 1x(1-0.35-0.35) = 0.15,所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为：0.15x60 = 9 (人)故答案为：9.【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩的概率分布关于舀=110对称，利用对称写出要用的一段分数的概率，题目得解

11、.B【分析】根据独立性检验表解题【详解】P(k2 6.635) = 0.010, P(k2 7.879) = 0.005把握性超过99%但不超过99.5%, 6.635 5/57.879，选B【点睛】本题考查独立性检验表，属于简单题 .D【详解】令 x = l 得：(1 + ？)= 4)+4+?+ ? +。6,而坷 + 勺+兔=63,所以有(1 + 777)6 = + 63.令 x = 0 得：1 = 4,因此有(1 + W)6 = 67() +63 = 64 = + m = 2,解得加=1,或？ = _3,故选：DA【分析】等价转化为ex-x + m = 0无解，设g(x)=0-X+力口.利

12、用导数研究函数的值域，进而求得m的取值范围.【详解】已知函数f(x)=的压义域为 R,等价于於-X + /H = 0无解， e -x + m设g(x) = H则0(尤尸?* 1,当x0时，g(x)o,g(x)单调递增，.=g(O) = l + .又？?当x趋近于+s时，g(x)趋近于乜，?*? g(x)的取值范 | 韦| 是1 + ？9 +8),由于 ex-x + m = 0 无解，？0 2 1 + 加,*0),1 + Hl 0 | ni的取值范|用是( 1, + 0),故选：A.【点睛】本题考查函数的定义域问题，关键是转化为利用导数求函数的值域解决C【分析】利用配凑得到分母的和是龙值，进而利

13、用均值立理求解.【详解】m 0,4 3m 0 ? 3当且仅当学汁：又故3忑时取等号*故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.B【分析】求出厂(小，则不等式对一切xeR恒成立，即为(36/ - a2) x3 + (2Z? - ab)x2 + (c - ac) x-2 0对一切jgR恒成立，结合三次函数的性质 则3a-a2 =0,然后再利用二次函数的性质求解.【详解】 因为 f(X)= ax3, +bx2 +cx,所以 fx) = 3ax 2 + 2bx+c,因为不等式 W - M (a) 2对一切jgR恒成立，所以(3a-a 2)x3 +(2J7-ab)x 2+(c-ac)x

14、-20对一切xeR恒成立，当 b = O,c = 0 时，20,成立， TOC o 1-5 h z 当b=0?H0时，XI ，或兀5，不成立， CC亿 0C2当bHO时，则 一, = (2c) -8/?02 HYPERLINK l bookmark61 o Current Document 当 b = o,c = 0 时，=0,a 31 2 1/ n2 1当 bHO 时，b + c ,b + c 寸 +( 尹 +/、_ a3_ _ -33_ _6综上：出的取值范围为-;,+8?aL 6 )故选：B.【点睹】思路点睛：形如 O2+z?X4-C0)的不等式恒成立问题的分析思路：(1)先分析a =0

15、的情况：(2)再分析。工0,并结合4与0的关系求解出参数范仿I:(3)综合(1) (2)求解出最终结果.ACD【分析】根据组合数的性质可判左 AD正确：根据排列数与组合数的关系可以判定B错误：利用排 列数公式可证明C正确.【详解】根据组合数的性质可知 C； y c： = c： ： + c： 故AD正确:Am(-加+ 1),根据排列数与组合数的关系可知一命故B不正确:V (/? +2)(m + 1)八7 =(h +2)(w + 1)h(/7-1)人U 2 = g+2)s + i)? (+ 2 一加一 2 +1)(/? - Hl + 1),=(77 + 2)(/2 + 1)77(/2 -1)?阴

16、+ 2)( +1)2”恒成立的条件是a0. b0 ,比如取匕=一 10 = -1,可知不等式不成立，故A不正确:当“为负数时，不等式？ + 10, a,由基本不等式可吟铮2b a-x-=2，当且仅当a = b a b时取等号，故C正确;(x+2沪4 +乞+昙则？ +1=4y x当且仅当丁即二时取等号，故(2_ 1aD正确.4 + 2 畀？8, x y V x y故选：BCD.【点睛】注息一正一左二本题考查基本不等式的应用，基本不等式的条件不能忘记，如果用基本不等式求最值一泄要相等.另外存在性命题举例可说明正确，全称性命题需证明才能说明正确性11. BCD【分析】对于选项A：利用二项分布的期望和

17、方程公式列出关于亿”的方程，解方程即可判断；对于选项B：根据方差的计算公式可知，方差恒不变：对于选项C：利用正态分布图象的对称性即可判断：对于选项D：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式，求出 x = kAk(碍b) = / )M(d上为常数)，故选项B正确：对于选项C:随机变量名服从正态分布(0,1),则图象关于)轴对称，若P(歹l) = p,则 P(0Al) = -p, 即 P(-lAk,即=，因为 所以15A58即k=S时，概率P(x = 8)最大，故选项D正确.故选：BCD【点睛】本题考查二项分布的期望和方差公式、正态分布的图象的对称性的应用和独立重复实验的概率计算公式：考查分析问

18、题和解决问题的能力：熟练掌握统汁的相关知识是求解本题的关键：属于中档题.12? AD【分析】 设g(Q = H = inx,函数g(x)单调递增，可判断 A ：设(x) = /(x)+x,则hf(x) = nx+2 不是恒大于零，可判断 B; f(x) = xnx ，/r(x) = lnx+l不是恒小于零，可判断C;当X1时，lnx 1,故 f (x) = lnx + l0,函数 f(x) = xnx单调递增，故(七一 x J / (吃)一 f (州)产人 J M+xf(x 2)-x 2f (州)_ x J (花) 0,即 xj (召)+x2f (x2)x2f (xj +x,/(x 2),由此

19、可判断 D.得选项.【详解】解：对于A选项，因为令g(x) = J-Al = nx,在0,+8上是增函数，所以当0 v百.V时，8也)。(石，所以号字人iX1即Xlf( Xl) O,g(x)单调递增，xw(0,k)时,g?)vO,g(x)单调递减.所以舛+于(州)与x2+/(x。无法比较大小.故B选项错误:对于C选项，令广二Inx +1,所以x e0,弓时，广(小OJ(x)在y+sj单调递增，所以当ov旺5V：时,/估)/(兀 2),故上竺成立，当 Ixix2 时，/(X,) 1时,/(x)单调递增，又因为 A正确，七/(州) ?故C选项错误：所以 a?/(A|) + A2-/(A)-W( X

20、l)Xr/(A) + A2-/(X2)-V(Al)-V(A2 )=西/(西)一/” 2) + 花/(花)一/(州)二(西一兀2)/(州)一/(花) 0,故。选项正 确.故选：AD.【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确左函数的定义域：(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式：中要注意分类讨(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程 论和数形结合思想的应用.47.5【分析】由题意得到X? 3(1000,0.95)，然后即可算出答案.【详解】由题意可知，

21、X 3(1000,0.95), DX= 1000 x0.95x(1-0.95)=47.5.故答案为：47.5【点睛】本题考查的是二项分布的知识，较简单 .10【分析】化为积为立值的形式后，利用基本不等式可求得结果.【详解】当尤 1 时，2x + =2(x-l) + +22J2(a-1)-+ 2 =8+2 = 10,x-1x-1Vx-l8,即x = 3时等号成立.2(x-l) =】一 I Q? ?2a-+ 一的最小值为10.A-1故答案为：10.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等” “一正”就是各项必须为正数：上泄“就是要求和的最小值，必须把构

22、成和的二项之积转化成左值：要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成左值：“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个左值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18【分析】在二项展开式的通项公式中，令 X的幕指数等于2,根据题意求得，？的值，可得 A,再利用 排列组合的知识 求出结果.【详解】解：二项式U + 一)6展开式的通项公式为：严 C： ? ( + l)ji,令6 2广=2,求得广=2,可得展开式中含有F项的系数为C： ? ( + 1)2=15( + 1)2.再根据含有工项白系数不大于240，可得15( “ +修240，求得-4-1A4-1

23、,再根据 awN可得=0,1,2, 3,即 A = 0, 1,2, 3 ,则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共 A; .A; =3x3x2 = 18,故答案为：1&【点睹】本题主要考查二项式左理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，排列组合的应用，属于中档题.【分析】构造函数/(x) = sinx, (0,求导,)则.r(A)= -sinx,由正弦函数的图象可知 f(x)0成立，根据函数的性质sinA + sin B + sinCA3sin(- A + + C-),即可求得 sinA+sinB+sinC 的最大值. TOC o 1-5 h z 【详解】 解：设 /(x) = s

24、inx, xw(0,;r),则？厂(x) = cosx,则/n(x) = -sinx, xe(OA), f (x)有如下性质：/(曲 + + ?+ ; ?/ (兀) nn则 sin A + sin B + sin CA3sin(-A += 3xsin =-,33.?sinA+sinB+sinC的最大值为乎，故答案为：sinx? ?2【点睛】本题考查函数的性质，考查正弦函数的性质，考查转化思想，属于中档题 351(1)证明见解析：(2) x2.8256【详解】(1)本小题利用展开式的通项，只要说明x的系数不可能等于零即可 ？在具体证明时可采用反证法.(2)根据展开式的通项公式，让 x的系数为整数

25、，看有哪些项即可依题意，前三项系数的绝对值是1, C; (*), C; (I)2,且 2C*-1=1 + C ； (*)2，即 n2-9n+8=0, .n=8(n= 1 舍去)，?展开式的第k+1项为V(V7)8 k(-A=)k1 “A 8-*-(-2)s X -(1)证明：若第k+1项为常数项A O 7当且仅当，二 二0,即3k=16, ?kez,?这不可能，.？展开式中没有常数项4若第k+1项为有理项，当且仅当空岂为整数，？奂衣8? kw乙？k=048,4351即展开式中的有理项共有三项，它们是：Ti=xS T 5= x, Tv= x 2.82562 y 72(1) y = (6x/2时，

26、的而积最大，面积的最大值为(108-72j?)e F.【分析】由题意可得出AD = (12 x)cm,设PC = ocm,则DP = (x-?)cm,证明出RAAD巴 RbCBP可得出AP = acm,RuAD叩应用勾股左理得出二2 72 ,进而得到所求:(2)由此可得出 MDP的而积关于x的表达式，利用基本不等式可求出 MDP面积的最大 值，利用等号成 立的条件求出x值，由此可得出结论.【详解】(1)如图，？AB = xcm,由矩形ABCDABAD(周长为24cm,可知AD= (12 -x) cm ?设 PC= ccm,贝U DP= (x a) cm ,?ZAPD = ZCPB, ZADP

27、= ZCBP = 90 , AD = CB :.RtAADP = RtACB fP, :.AP = PC = acm ?在心4DP 中，由勾股能理得 AD+DP=aPa 即(12-x)2+(x-r/) 2=6/2,S X2-12X + 72 肝 m ”1272解得a = 所以DP = x-a =xx即 y Ji=72(6 VXV12)=6X+ 182 ZVIDP的面积为由基本不等式与不等式的性质得 S S 6x=108 72 屈当且仅当x =一时，即当x = 6x/2时，XDP的而积最大，而积的最大值为 x(108-72/2)cm2.【点睛】本题考查函数最值的求法，注意根据题意求出而积函数的解

28、析式，运用基本不等式，属于中档题.(1)极小值为-2,极大值为-In2; (2) ( 8,-1710.4【分析】(1)求出函数/(x)的导数，根据题意得/XI) = 0,列出等式求解即可写出/(x)的解析式，根据导数符号判断函数 f(x)的单调性从而求极值；(2)根据题意可将不等式变形推出函数y = fM-在调递减，令h(x)= /(%)-则题意可转化 乓21+3亍一 X在xw ：l,10上恒成立，利用导 数求出函数y = -2x3+3x2-x在1,10上的最小值即可求得用的范围.【详解】(1)由题意得函数/V)的立义域为(0,+s).广(切=，+ 2心？一 3 x由函数/(x)在点(1,/(

29、1)处的切线方程为y = -2,得广(l) = l + 2a-3 = 0,解得 “ =1此时 fM = In x + x2-3x ,广(x尸：，+ 2x - 3 = X一十?X令广(x) = 0,得兀=1或X =-.2(1A当XW 0,一和X?(l,+oo)时,广(x)0,函数/(x)单调递增，与1时，/V) 一西勺Xl X2即/(Xl) X2) 因为召，“符1,10,且Xj *9所以函数y = fM-竺在1,10上单调递减.X令(x) = / (X)- - = lnx + x 2 -3x-,x e 1,10 x x则 hXx) = - + 2x-3 + a 0 在 X61JO 恒成立，即-2

30、x3 + 3x2 - x在xwl,10上恒成立设 F(X) = -2x3+3x2-x,则 Fx) = -6x 2 + 6x-1 = Rx- +*?因为当 xel,10时,r(x)0,所以函数在l0上单调递减，所以=F(10) = 2x10 +3x102 40 = -1710,所以 / -1710,即实数山的取值范围为(YO,_1710 ?【点睛】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数的性质中的应用、利用导数证明不等式，属于较 难题.20. (1)没有：(2) y = 10 + .X【分析】(1)根据题中数据，由公式直接计算K 即可结合临界值表，得出结论；(2) 先由w = -f将y = a +

31、 -转化为y = d + XX得回归方程.【详解】再由最小二乘法求出/; , a.进而可(1)由列联表计算KS= 200 x(30 x70-10 xW=75 =46875(0 x(|J = g,P(X = 2gx(导噜卜鲁,3 foV 2 P(X=3) = C : x - x(3 J (3 J 81P(X=4) = C : x(lJxgJ = l,概率分布为:X01234P168?32248?88?181数学期望n舞+1唔+ 2x|1+3xA+4x上1.【点睛】这些知识的理解能本题主要考查互斥事件的概率，考查随机变量的分布列和数学期望的计算，意在考查学生对力掌握水平，考查学生的应用能力22,)|七)；证明见解析【分析】推出(1)先对函数 f(x) = e x( + mnx)求导，得到 f(x) = exA + + mnx/：(X)= J = + + m n x t求导，得到/ 7(x)=八一(X 0),解对应不等式，得exx求导得 gW = ex + -a + mnx x到/心)单调性，求出英最小值，再根据 /?(x)|恒成立，即可得出结果；(2)先设 g(x) = f(x) = e * l + + mnx x设H(x) =