江苏省南京市六校联合体高三上学期12月联考数学(文)试题

1、南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷数 学注意事项：.本试卷共4页，包括填空题（第 1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分.本试卷满 分为160分，考试时间为120分钟.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题 纸上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.参考公式：13Ik样本数据X1, X2,，Xn的方差/ 二 过 （干田,其中G 1锥体的体积公式：V= Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高；圆锥的侧面积公式：S = 7111,其中为底面半径，I为母线长.一、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程

2、，请把答案写在答题纸的 指定位置上）.已知集合 M =集合 N = -LOJ,则MCN=.【答案】【解析】【分析】由M与N,求出两集合的交集即可.【详解】集合,集合N = 101,：=故答案为：【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.222.双曲线 =1的渐近线方程是9 255【答案】【解析】【分析】在双曲线的标准方程中，把 1换成0,即得此双曲线的渐近线方程.【详解】令L-L=o得9 25,5y=- x,3 TOC o 1-5 h z J 2q 双曲线三-汇=1的渐近线方程为y=-x, 9 253故答案为：Y = 土孑.【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲

3、线的简单性质的应用，属于基础题.3.复数w满足/一=-3：i,其中：是虚数单位，则复数的模是.+ i【答案】,【解析】【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出.【详解】: 1 +1 |z|=杼卜3户3叔故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题.4.若一组样本数据 3, 4, 8, 9, a的平均数为6,则该组数据的方差 s2=.26【答案】5【解析】【分析】-1本题可运用平均数的公式：x= (X1+X2+xn)解出a的值，再代入方差的公式中计算得出方差即可.n【详解】.数据3, 4, 8, 9, a的平均数为6,.3+4+8+9+a=30,解得 a=6,，方

4、差 s2= (3 6) 2+ (46) 2+ (8 6) 2+ (9 6) 2+ (6 6) 2=y.35【点睛】本题主要考查的是平均数和方差的求法，解题的关键弄清计算公式，同时考查了运算求解的能力,属于基础题.从1, 2, 3, 4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是 .【答案】6【解析】【分析】列举可得共6种情形，其中满足所取 2个数的乘积为奇数的有 1种情形，由概率公式可得.【详解】从1, 2, 3, 4这4个数中依次随机地取 2个数有(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)共 6 种情形,其中满足所取2个

5、数的乘积为奇数的有(1, 3)共1种情形，所求概率6故答案为:【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1.基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2.注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.如图所示的流程图的运行结果是 .【答案】20【解析】试题分析：第一次循环：S = 5,a = 4,第二次循环：S =结束循环，输出3 = 20考点：循环结构流程图.若圆锥底面半径为 1,侧面积为/叫则该圆锥的体积是 .2【答案】.【解析】【分析】由圆锥底面半径为1,侧面积为T呢得到圆锥的母线长，进而得

6、到圆锥的高，从而得到该圆锥的体积【详解】设圆锥的母线长为 I,圆锥底面半径为1,侧面积为V呢，招兀=汨，即=由，圆锥的Wj.二该圆锥的体积是 333故答案为：【点睛】本题考查圆锥的体积与侧面积公式，属于基础题8.设直线：是曲线y =及，的切线，则直线的斜率的最小值是 .【答案】4【解析】【分析】求出函数的导函数，利用均值不等式求最小值即直线的斜率的最小值【详解】y =+ Inx的定义域为(0, +)y=4x+ -2 ,4x - = 4,当且仅当x=：时取等号x 算2即直线的斜率的最小值是 4故答案为：4【点睛】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，以及利用均值不等式求最值，掌握不等式

7、成立时的条件，属于基础题.9.已知tang/ aE(0-j,则sin(a4的值是.3。+ 4【答案】10【解析】【分析】兀 1 TOC o 1-5 h z 由tan(a-：)=-得到由口，进而得到sina,匚口叫 再结合两角和的正弦公式得到结果47【详解】: tan-：)=.亍(曰【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、正切公式，同角基本关系式，考查了计算能力，属于基础题.10.已知函数f ( x)是定义在R上的奇函数，且当 x0时，Rx)=/.x.若f ( a) 4+f ( a),则实数a的取值范围是.【答案】【解析】【分析】利用函数为奇函数，不等式可转化为f ( a)2,结合函数图象可得结果【

8、详解】f (x)为奇函数，f ( a) v 4+ f ( a)可转化为 f ( a) v 2作出f(x)的图象，如图：由图易知：a2故答案为：【点睛】本题考查函数的图象与性质，解题关键利用奇偶性简化不等式，结合函数图象即可得到结果aABC中，AC = 4一EC = 3/ACB =(5(Ae为边AC的中点， 疝=彳寸3 I 北，贝曲的值为【答案】-4【解析】【分析】利用基底6k 8表示而，曲，结合向量的运算法则即可得到结果.【详解】:+ + 1二:，. .=二一 2E为边AC的中点， TOC o 1-5 h z T,I,2-2-11.AD = AB -AC , 33- 2 +CD BE = -C

9、B-3既-CB)I7:二通-C上-4。2-6=-4 33故答案为：-4【点睛】求向量的数量积，应该先利用向量的运算法则将各个向量用已知的向量表示，再利用向量的运算 法则展开即可.已知圆U? I .2=2,直线l:kx-y-2 = 0与1轴交于点R,过:上一点P作圆C的切线，切点为T,若PA = 4iPT,则实数k的取值范围是 .【答案】史或立一 3- 3【解析】【分析】设P (x, y),由PA=2PT求出点P的轨迹方程，问题可转化为直线l与圆有公共点的问题，列不等式求解即可.【详解】圆C:直线l ： kx-y-2 =。与与轴交于点 A (0, -2),设 P (x, y),由 PA=5PT,

10、可得 乂幻&十 2=2 (xT&-2)22),即x2+y2- 12y=0,即满足 PA=2PT的点P的轨迹是一个圆x + 一 二%所以问题可转化为直线 l与圆J +6)之=36有公共点，所以d r,|8|Tt=6,Jk + 1币 币 TOC o 1-5 h z 解得kw -二或k之一, 33实数k的取值范围是kw -/或k之一. 33布J7故答案为：k 33【点睛】本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力，明确动点 的轨迹是解题的关键.已知 nCN*,%=2 X = 2n-l, 7 =mab用门必-为门, ,bn - an ,其中占点表示xx#-，、这占个数中最

11、大的数.数列%的前n项和为北，若乐1士。对任意的ne N*恒成立，则实数兀的最大值是.q【答案】-9【解析】【分析】设可明确4的单调性，得到 =与-也n,进而得到与=-!?,寸-篙、0对任意的nCN恒成立即nhA-,转求J的最小值即可.rT n【详解】设 & = 1 - aITn = 2n - 1 - n21_% = 2门十_(m十 1)24 1_(2甘_ I _n2) = 2_2n 三0, 即.：,1% ,i n I n.(-1 U - 2n)n _211221即/ 口二由厂X之与 =图象可知：在第一象限n取正整数时，仅有 n=3时，2y211 8即n 1二,即实数，的最大值是-99故答案为

12、：【点睛】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题.14.已知函数 .2axm 若对任意的a E (03),存在5 E Q4,使得t工|I(x 成立，则实数l的取值范 围是.【答案】【解析】【分析】讨论*x)在。4上的单调性，求出出外在0,4的最大、最小值，即可得出t的取值范围.【详解】 Rx) =x-十。合-1的对称轴为x=a,且aE(0、3),，函数f (x) =xZ- 2ax十富-1在0 , a上是减函数，在叫2上是增函数；，函数 f (x) =?. 2ax I 2h .在0,4的最小

13、值为 f ( a) = -(a . 1)2 c (r4, 0,当2Wa3时，函数 f (x) =x: _ 2ax I 2a - ( xC 0,4)在 x=0 时取得最大值，且最大值为 2a-1,由于此时 2Wa3,则3W2a-1 5;呼)|皿=!11ax的)|. |RO)|) 二 |g| = 2a - 1 E 5)0V a2时，函数f (x)=工二-2ax十裔-1 ( x C 0,4)在x=4时取得最大值，且最大值为 428a+2a1=156a,由于此时 0v av2,贝U 3v 15 6av 15;血x)|皿双4)| 75 - & E 均,综上，即t的取值范围是：twm.【点睛】本题考查了二

14、次函数的图象与性质的应用问题，也考查了恒成立问题与存在性问题，是综合性题 目.二、解答题(本大题共 6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答 案写在答题卡的指定区域内)15.在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且不NmiA =配008 .(1)求角B;(2)若 b =三，sinC =小与mA ,求 a, c .【答案】(1) B = g (2) a = 3.c = 3收6【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简已知条件，然后求解B的大小.(2)利用正弦定理余弦定理，转化求解即可.【详解】(1)在AABC中,由正弦定理 sinAbsiniB,

15、 得 VsinBsinA = sinAcosB .又因为在ABC中！iinA # 0 .所以近01nl3 = cosB.法一：因为兀，所以sinB#。，因而sinB所以 tanB =二,cosB 3兀所以B = -6l7E法二：4如nB - cosB = 0 即=0 ,Z)E也 kTr冗 B V O 为 因所以B =-.6(2)由正弦定理得, sinA sinC而sinC =市51nA ,所以4 =由3,兀由余弦定理 b =+ = 2accasB,得 9 = H + c* - Saccos-,6即a* + J - Y3ac = 9,把代入得、二：【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现

16、“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值16.如图，在四棱锥 P ABCW,底面 ABCO正方形，AC与BD交于点 Q PC1底面ABCD 点E为侧棱PB的中点.D求证：(1) PD/平面ACE(2)平面PACL平面PBD【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析。【解析】【分析】(1)连接OE易证PD/ OE根据线面平行判定定理得证;(2)要证平面 PACL平面PBR即证BDL平面PAC【详解】(1)连接OE因为O为正方形ABCD勺对

17、角线的交点，所以O为BD中点.因为E为PB的中点，所以PD/ OE又因为。白面ACE PDt平面ACE，所以PD/平面ACE(2) 在四棱锥P-ABCD43,因为PC底面 ABCD BD?面ABCD所以BD PC因为O为正方形ABCD勺对角线的交点，所以BD AC又 PG AC?平面 PAG PCA AC= C,所以BD,平面PAC因为BD?平面PB口所以平面PACL平面PBD TOC o 1-5 h z 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行，需车t化为证明线线平行(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

18、HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 2 2C17.已知椭圆p(m)=: w+2 = Ma 卜 )上一点与两焦点构成的三角形的周长为4斗2而，离心率为彳.a- b-上(1)求椭圆岭)的方程；1(2)设椭圆C的右顶点和上顶点分别为 A B,斜率为；的直线l与椭圆C交于P、Q两点(点P在第一象限).若四边形APBQM积为，求直线l的方程.x2 211【答案】(1)十=;=不士1。4上 2【解析】(1 )设椭圆的半焦距为 c,由已知得2a I 2c = 412H 又工=, a2=b2+c2,联立解出即可得出；a 2 TOC o 1-5 h z |戈2 设直

19、线1方程为：y = -x I n】代入椭圆c-y2=l并整理得：x：+2mx + 2m2-2 = 0,利用韦达定理表示 24 |PQ|,分别计算A, B到直线 PQ的距离，即可表示四边形 APB的积，从而彳#到直线l的方程.【详解】(1)由题设得2a + 2c * 4+2VA ,又已=,解得，故椭圆c的方程为土+/=】. 4 设直线1方程为：y =-X I m代入椭圆C;土+尸=I并整理得：x*+2mx + 2m2 - 2 =。, 24/Xi + x-2m设咐|），Q&则！ 2 , iXjX2 = 2m - 212E到直线PQ的距离为d1 =A到直线PQ的距离为d-2|m -1T 2|m 1后

20、，又因为P在第一象限，所以2(1 - m) 2(1 + in) 4所以43广飞厂+飞一二后所以,解得m = ：t-, 1所以直线方程为y=2 22【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18.如图，某公园内有一个以 O为圆心，半径为 5百米，圆心角为 g的扇形人工湖 OAB OM ON分别由 OA O诞伸而成的两条观光道.为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与AB相切点F,且与OM ON别相交于 C D,另两条是分别和湖岸 OA O丽直的FG FH (垂足

21、均不 与O重合).求新增观光道FG FH长度之和的最大值；在观光道。源上距离O为15百米的E处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道 CD的延长线不能进入以 E为圆心，2.5百米为半径的圆形 E的区域内.则点D应选择在 O与E之间的什么位置？请说明理由.【答案】（1）新增观光道FG的距离在区间,10)(单位:百米）内的任何一点处.(1)连结 OF OFL CDT点 F,则 OF= 5,设/ FOD= 0 ,则 FG FH= 5sin( - 0 ) + 5sin 0 ,利用两角和与差的正弦公式化简，即可得到新增观光道FG FH长度之和的最大值;（2）以O为坐

22、标原点，以 ON所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.可彳#圆O的方程，圆E的方程，根据直线和圆的位置关系得到答案即可【详解】（1）连结OF OF!CDT点F,则OF= 5.设/ FOD= 0 ,271n n则/ FOC=y- e (- e J),故 FH= 5sin 0 ,2nFG= 5sin(58 )27c则 Fa FH= 5sin( y- 0 ) + 5sin 0y313=5( 2 cose+isin e+sin e) = 5(isin ecos 0 ) = 5sin( 8n+ 3,n n n n 2n因为e 0), 即 kx y + t=0,设点 D(xd, 0)44+115k-

23、 I,2,5由得 t=5jk2+l,代入得T璃乜2.5,解得 又由一小vkv0,得 0vk23,故/vk23,即/精3.在 y= kx +1 中，令y=0,解得/=避*=5|，所以呼xd2.当 k=2 时，2t = 8,得 t =3.当k3时，由(*),得化1)232k-2+1为奇数，所以t2=0,即t = 2,代入(*)得22k232k 2=0,即2k=3,此时k无正整数解.综上，k= 2, t = 3.【点睛】本题以新定义为背景，考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.xnx20.已知函数f(x) = -g(x)=. /K(1)求f(

24、x)的极大值；b(2)当时，不等式三日入十b恒成立，求-的最小值；自(3)是否存在实数kWN,使得方程f(x)=(K+1应(x)在氏1k+1)上有唯一的根，若存在，求出所有k的值，若不存在，说明理由.【答案】(1) L (2) -1 ; (3)存在，且当k=l符合题意。 e【解析】【分析】.1 - X(1)求导f(x)= =J,明确函数的单调性，从而得到 f(x)的极大值； e1(2)不等式xg(x)Wax十b恒成立，即Inx-sx-bO恒成立，记m(x) = lnN-Eix-b(0),求其最大值，即可得到9的最小值；ax (x + l)lnx(3)记Kx) = x,由式DA。风2)40,存在k=l,使f(x)=(x十1应6)在NZ上有零点，再证明唯一CX X性即可.【详解】(1) G) = W，