第3章线性方程组习题集解答

1、习题33-1 .求下列齐次线性方程组的通解:x y 2z 0（1） 3x 5y z 03x 7y 8z 0解对系数矩阵施行行初等变换，得 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark168 o Current Document 1120270414 HYPERLINK l bookmark43 o Current Document 11 2027B（阶梯形矩阵）000 HYPERLINK l bookmark160 o Current Document 1120272000 HYPERLINK l bookmark91 o Current Document 101120

2、172C（行最简形矩阵）,000与原方程组同解的齐次线性方程组为11x z 027）y z 0211-z2 （其中z是自由未知量）7-z2令z 1 ,得到方程组的一个基础解系11万21)T，所以，方程组的通解为k（117,1)T, k为任意常数.2x1 x2 2x3 2x4 7x50（2） 2x1 3x2 4x3 5x4 03x1 5x2 6x3 8x4 0解对系数矩阵施行行初等变换，得 HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 11227A2 3 4503 5 68071421112 20 10 10 2 0 2 TOC o 1-5 h z 11227

3、0 10114B（阶梯形矩阵） HYPERLINK l bookmark55 o Current Document 0 0 007 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 10 21210 10114 HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 0 0 00710 2100 1010C（行最简形矩阵）,0 0 00 1与原方程组同解的齐次线性方程组为 HYPERLINK l bookmark59 o Current Document x12x3x40 x2x40Xi2x3X4X2X5X40（其中X3, X4是自由

4、未知量）令(X3,X4)T(1,0)T（0,1）T,得到方程组的一个基础解系(2,0,1,0,0)T2( 1, 1,0,1,0)T,所以，方程组的通解为k1 1k2 2ki(2,0,1,0,0)Tk2( 1, 1,0,1,0)T, %*2为任意常数.(3)XiX2X14x12x1X23x42X3X50 x402x2 6x3 3x44x2 2x3 4x44X57x5解对系数矩阵施行行初等变换,00101100010010006 6 37 5 10与原方程组同解的齐次线性方程组为B（阶梯形矩阵）C（行最简形矩阵）, HYPERLINK l bookmark29 o Current Document

5、 “ X3 6 X505 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document X2 X3 -X50,61 八 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document X4 -X50即7XiX3 X565一，,一一X2 X3 -X5(其中X3, X5是自由未知量)，61X4 3X5令(X3, X5)T(1,0)T , (0,1)T ,得到方程组的一个基础解系1( 1,1,1,0,0)T,2(7,-,0,1,1)T , TOC o 1-5 h z 63所以，方程组的通解为51. HYPERLINK l bookmark47 o Curre

6、nt Document ki 1 k2 2 K( 1,1,1,0,0)T k2(-,-,0,-,1)T, K,k2为任意常数. 6 633-2 .当 取何值时，方程组4x 3y z x 3x 4y 7z y HYPERLINK l bookmark156 o Current Document x 7y 6zz有非零解？解原方程组等价于(4 )x 3y z 0 3x (4 )y 7z 0, x 7y (6 )z 0上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式 TOC o 1-5 h z 4313470,176即(2 675) 0,从而当 0和 3 2 J21时方程组有非零解.3-3

7、.求解下列非齐次线性方程组:Xi(1)XiXi2x2 X32X2 X32x2 X3X4 1X41 .5x45解对增广矩阵A施行行初等变换2 1112 1112 155 TOC o 1-5 h z 12 11100011B ,00000因为r(A) r(A),所以方程组有解，继续施行行初等变换12 10 000011 C, 000 0 0与原方程组同解的齐次线性方程组为 HYPERLINK l bookmark73 o Current Document X1 2X2 X30X41XiX42x2 x3(其中X2,X3为自由未知量)1令(X2, X3)T(0,0)T ,得到非齐次方程组的一个解o (

8、0,0,0,1)T ,对应的齐次方程组(即导出方程组)为X12x2 X3c(其中X2,X3为自由未知量)，X40令(X2, X3)T (1,0)T , (0,1)T ,得到对应齐次方程组的一个基础解系1(2,1,0,0)T ,2( 1,0,1,0)T,方程组的通解为0ki 1 k2 2(0,0,0,1)Tki(2,1,0,0)T k2( 1,0,1,0)T ,其中k1，k2为任意常数.(2)2X13x1X1X23x3X4 12x2 2x3 3x43x2 5x3 4x427x1 5x2 9x3 10 x48解对增广矩阵A施行行初等变换 HYPERLINK l bookmark11 o Curre

9、nt Document 2132A11 HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 753112335429 10 811542 HYPERLINK l bookmark53 o Current Document 0113930000000000因为r(A) r(A),所以方程组有解，继续施行行初等变换 TOC o 1-5 h z 10 850 1 139B 0 0000 000与原方程组同解的齐次线性方程组为 HYPERLINK l bookmark61 o Current Document x1 8x3 5x41 HYPERLINK l bookma

10、rk63 o Current Document x2 13x3 9x43,即x11 8x3 5x4(其中x3, x4为自由未知量)，x23 13x3 9x4令(x3,x4)T (0,0) T ,得到非齐次方程组的一个解0( 1, 3,0,0)T,对应的齐次方程组(即导出方程组)为x18x3 5x4(其中*34为自由未知量)，x213x3 9x4令(x3,x4)T (1,0)T , (0,1)T ,得到对应齐次方程组的一个基础解系1( 8, 13,1,0)T,2(5, 9,0,1)T,方程组的通解为0 k1 1 k2 2 ( 1, 3,0,0) T k1( 8, 13,1,0)T k2(5, 9

11、,0,1)T, 其中k1，k2为任意常数.(3)XiX23X32x1 x2 2x3Xi2x，2 3X3X1 X2 X3 100解对增广矩阵A施行行初等变换1131-2 121A1231 HYPERLINK l bookmark162 o Current Document 1 111001131 HYPERLINK l bookmark93 o Current Document 0143 HYPERLINK l bookmark103 o Current Document 0102 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 00 410111310 143

12、0 0450 0410111310 1430 0450 0096因为r(A) 4 r(A) 3 ,所以方程组无解3-4 .讨论下述线性方程组中,取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解.(3)X1 X2 2X3X1(1)X2 X33(1)X1X2 (3)X3 3解方程组的系数行列式为3A3(1)212(1).3(1)当A 0时，即0且 1时，方程组有惟一解.(2)当A=0时，即 =0或=1时,(i)当 =0时，原方程组为 TOC o 1-5 h z 3x1 x2 2x3 0 X2 X30,3为 3x3 3显然无解.(ii)当 =1时，原方程组为4x1 x2 2x3 1 xi x31,

13、HYPERLINK l bookmark105 o Current Document 6x1 x2 4x33对该方程组的增广矩阵 A施行行初等变换4 12 11011A10 110123,6 1 4 30000因为r(A) r(A) 2 3 ,所以方程组有无穷多组解，与原方程组同解的方程组为 HYPERLINK l bookmark77 o Current Document x X31 HYPERLINK l bookmark79 o Current Document x2 2x33即x1 1 x3(其中x3为自由未知量)，x23 2x3令x3 0 ,得到非齐次方程组的一个解0 (1, 3,0

14、)T,对应的齐次方程组(即导出方程组)为Xx3(其中X3为自由未知量)x2 2x3令X3 1 ,得到对应齐次方程组的一个基础解系(1,2,1)T,方程组的通解为(1, 3,0)T k( 1,2,1)T,其中k为任意常数. TOC o 1-5 h z 22 HYPERLINK l bookmark187 o Current Document 34为通解的齐次线性方程组.2 ( 2,4,0,1)T是齐次线性方程组3-5 .写出一个以 X C1c21001解 由已知，1(2, 3,1,0)T和AX O的基础解系，即齐次线性方程组 AXO的基础解系所含解向量的个数为2,而未知数的个数为4 ,所以齐次线

15、性方程组AX O的系数矩阵 A的秩为4 2 2,故可设系数矩阵 TOC o 1-5 h z a11 a12 a13 a14 A,a21 a22 a23 a24由AX O可知141,优2e13,44和2a21,a22,a23,a24满足方程组24 HYPERLINK l bookmark99 o Current Document X1, X2,X3,X4O,10012X1 3x2x3 0即方程组的线性无关的两个解即为1, 2，2x1 4x2 x4 0方程组的系数矩阵23 1 02 0 4 32 4 0 10 1 1 1,该方程组等价于2x14x3 3x4(其中X3, X4为自由未知量)，X2X3

16、 X4令(X3,X4)T(1,0)T , (0,1)T ,得到该齐次方程组的一个基础解系1 ( 2, 1,1,0)T,2 ( 2, 1,0,1)T，21 1 0故要求的齐次线性方程组为AX O，其中A 31 0 1 2即2X1 x2 x3 0 3 2X1 X2 X43-6 .设线性方程组a11X1 a12X2am1 X1 am2X2的解都是be b2X21(a11 , a12 ), a1n ) , 2a1nxn0amnxn 0bnXn 0的解，试证(a21 , a22), a2n ) , ,性组合.证 把该线性方程组记为（*），由已知bX1b2X2bn xn(b1，b2,，bn）T是向量组m

17、(am1，am2,，amn）的线方程组（* ）的解都是0的解，所以方程组（*）与方程组an%42X2L ainXnL L Lam1Xiam2X2 Lamnxn0bKb2X2 LbnXn0同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组1, 2,L , m和1, 2,L , m,的秩相同，故 可由1 , 2,L , m线性表示.3-7 .试证明：r(AB) r(B)的充分必要条件是齐次线性方程组ABX 。的解都是BX O的解.证 必要性.因为r(AB) r(B),只须证 ABX 。与BX O的基础解系相同.ABX 。与BX 。的基础解系都含有 n r(B)个线性无关的解向

18、量.又因为BX 。的解都是ABX 。得解.所以BX 。的基础解系也是 ABX 。的基础解系.即 ABX 。与BX O有完全相同的解.所以 ABX 。的解都是BX O的解.充分性.因ABX 。的解都是BX O的解，而BX 。的解都是ABX O的解，故 ABX O与BX 。有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故n r(AB) n r(B),所以 r(AB) r(B).3-8 .证明r(A) 1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT,使A abT .a1a2T证 充分性.若存在列向量a及行向量bTb1b2 L bn ,其中M2namai, bj 不全为零 i 1,L ,m , j 1,L

19、 ,n ,则有aiTa2A abb| b2 L bnMama1bla1b2La1bna2bla2b2La2blLLLLambiamb2Lambn显然矩阵A的各行元素对应成比例，所以 r(A) 1.必要性.若r(A) 1 ,则A经过一系列的初等变换可化为标准形 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark228 o Current Document 10L000L0D HYPERLINK l bookmark144 o Current Document LLLL00L0而矩阵D可以表示为0M皿，010L000L0DL L L L00 L 0则存在可逆矩阵 P, Q使得P

20、1AQ D ,从而1 HYPERLINK l bookmark116 o Current Document 1011A PDQ 1 P 1,0,L ,0 Q : 其中 P,Q 1 均可逆, M0记10 Ta P ,bT1,0,L ,0 Q 1 ,M0又因为P可逆，则P至少有一行元素不全为零，故列向量 a的分量不全为零，同理，因为Q 1可逆，所以行向量 bT的分量不全为零.因此，存在非零列向量非零行向量bT ,使A abT .补充题B3-1.设A是m n矩阵，AX O是非其次线性方程组 AX b所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是( D ).(A) 若AX 。仅有零解，则 AX B有惟一解；

21、(B)若AX 。有非零解，则AX B有无穷多个解；(C) 若AX B有无穷多个解，则 AX 。仅有零解；(D)若AX B有无穷多个解，则 AX 。有非零解.B3-2.设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组AX O;AT AX O,必有(D ).(n)的解是(i)的解， (i)的解也是(n)的解；(n)的解是(i)的解，但(i)的解不是(n)的解；(i)的解不是(n)的解， (n)的解也不是(i)的解；(i)的解是(n)的解，但(n)的解不是(i)的解.B3-3 .设线性方程组 AX B有n个未知量，m个方程组，且r(A)此方程组(A ).r m时，有解；(C) m n时，有惟一

22、解;r n时，有惟一解；(D) r n时，有无穷多解.B3-4 .讨论 取何值时，下述方程组有解，并求解:x y z 1x y z2x y z解 (法一)方程组的系数行列式11A 11(11 HYPERLINK l bookmark75 o Current Document (1)当A 0时，即1且1x 1y 一(2)当A=0时，即 =1或=2时1)2(2),2时，方程组有惟一解(1)2(i)当=1时原方程组为x y z 1,因为r(A) r(A) 1 ,所以方程组有无穷多组解，其通解为0 k1 1 k2 2(1,0,0) T k1( 1,1,0)Tk2( 1,0,1)T,其中k1，k2为任意

23、常数.(ii)当 =-2时，原方程组为2x y z 1x 2y z 2,x y 2z 4对该方程组的增广矩阵A施行行初等变换12 411 200 15 HYPERLINK l bookmark164 o Current Document 1111 HYPERLINK l bookmark114 o Current Document 1112222322 I(1)(1)2因为r(A) 2 r(A) 3,所以方程组无解.解(法二)对该方程组的增广矩阵 A施行行初等变换 TOC o 1-5 h z 11A 111101 1 HYPERLINK l bookmark232 o Current Docu

24、ment 0 112 11011_20021101100(1)(2)当2时，r(A) r(A) 3,方程组有惟一解11(1)2,y , z 222(2)当=1时,r(A) r(A) 1,方程组有无穷多组解，其通解为0k1 1k2 2(1,0,0) Tk1( 1,1,0)Tk2( 1,0,1)T, 其中ki, k2为任意常数.(3)当=-2时，由B知，r(A) 2 r(A) 3,所以方程组无解.B3-5.若1, 2, 3是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：12, 23, 31也是该方程组的一个基础解系.证 设有三个数 匕*2*3使得k1( 12 ) k2 ( 23) k3( 31) 0 ,则

25、有(k1 k3) 1 (k1 k2) 2 (k2 k3 ) 3 0 ,因为1, 2, 3是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以1, 2, 3线性无关，故k1 k30k1 k20,k2 k3 0该方程组的系数行列式1 0 111020,0 1 1所以该方程组只有零解.即 k1k2 k3 0.即12, 23,31线性无关.又由齐次线性方程组的性质知12, 23, 31都是方程组的解.所以12, 23, 31构成方程组的一个基础解系.B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知1, 2, 3是它的三个解向量，且求该方程组的通解.解 因为n 4,r 3 ,故原方程组的导出组的基础解系含有n

26、 r 1个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可.由解的性质知，1 2, 1 3均为导出组的解，所以( 12) ( 13)2 1( 23)为导出组的解.故原方程组的通解为231 k452 1 (23)为导出组的解，即34,5634k , k为任意常数.56* 、一 B3-7.设是非齐次线性方程组AX B的一个解,n r是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：.,*., 1, 2, n r线性无关；* * * * .,1,2, , n r线性无关.*证(1) 反证法.设n r线性相关，由1, 2n r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系知1, 2, n r线性无关，故 可由. . * . . . . .1, 2, , n r线性表示，即是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾.故* ,1, 2, n r线性无关.证（2） 反证法.设1,n r线性相关，则存在不全为零的数 ko,ki,k2,L ,kn r，使得ko*k1(1)k2(2)knr(0,(k0kik2kn r)ki 1k2kn r0,知,n r线性无关,