概率论和数理统计期末考试试题与答案

1、题本大题分5小题，每小题3分，共15分)(1)设A、B互不相容，且P(A)0,P(B)0,则必有P(AB)=0P(AB)-P(A)P(B)(2)某人花钱买了.已知各种奖券中奖是相互独立的只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱，则此人赚钱的概率约为P(BA)0(B)P(AB)二P(A)(A)0.05(B)0.06(C)0.07(D)0.08X?N(,42),Y?N(,52),piPXJ-4,P2P丫沁常5,则(A)对任意实数；pi=p2(B)对任意实数*1,piP2(C)只对型的个别值，才有pi-P2(D)对任意实数辿，都有pip2(A)F (a)- -if (x) dx 一则对任意实数a成立的是o(

2、C)F(a)F(a)f(x),且f(X)二f(x),F(x)是X的分布函数,1aF(-a)f(x)dx2(D)F(a)2F(a)i用奖的概率分别为P(A)二0.03,P(B)0.01,p(C)0.02,如果变量(X,Y)服从二维正态分布，则X+Y与X-Y不相关的充要条件为(A)EX-EY(B)EX2-EX2-EY2-EY2EX彳二EY2(D)EX2EX2丁EY2EY2、填空麻大题5小题,每小题4分，共20分)p(A)=0.4,P(B3,P(AB)二0.4贝SP(AB)0.14x30 x1设随机变量X有密度f(x)-，则使P(Xa)P(Xa)推的常数a=0其它设随机变量X?N(2,2_),若P0

3、XN0.3，则PX00.35(4)设两个相互独立的随机变量X和丫均服从N(1,1)，如果随机变量X-aY+2满足条件D(XaY2)-E(XaY2)2,则a=20.已知X?B(n,p),且E(X)二8,D(X)二4.8，则n=3三、解答题(共65分)(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,25%,35%,40%,求：(1)全厂产品的次品率(2)若任取一件产品发现是次品，此次品是甲车间生产的概率是多少？解：A为事件“生产的产品是次品”，B1为事件“产品是甲厂生产的”，B2为事件“产品是乙厂生，B3为事件“产品是丙厂生产

4、的”产的”P，A)32BiW35%4%40%2%0.0345.二1易见B1,B2,B3是的一个划分P(AB2)p(B2)35%4%8P(B2A)3i0.034523P(ABi)P(Bi)由Bayes公式有：（10分）设二维随机变量求：（1）常数k(x,Y)的联合概率密度为(6-x-y),0 x2,0:y4f(x,y)-(2)P(XY_4)解：(1)由于2422f(x,y)dxdy1,所以dxk(6xy)dy1,可得_10k24dx一1-001_(6xy)dy_241r24o1(x?6x16)dx83、(10分)设*与丫两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为1,0兰x兰1;e今，y0;fX(x

5、)-f丫(y)-S,其它？Oy邑0.求：随机变量Z-XY的概率密度函数.x解：F(x)三(t)dtF (x)当 x -0,dt4、X具有概率密度函数/jIx18,(Yy)P(ey)P(Xln(y1)fx(x)dx0,y00;Mln2(y41),0勾宅e-1；16L1,e4_1八y.于是Y的概率密度函数fln(y+1)fY(y)4FY(y8(y+1)dyL0,4,0ye其他5、(8分)设随机变量X的概率密度为：xf(X)*T1e-X说副2求:X的分布函数.A30解：由卷积公式得fz(z)-f(x,zx)dx又因为X与丫相互独立，所以fz一_fX(x)f(Zx)dx-z当0wz呼时，fz(z)二匚

6、fx(x)fY(z-x)dx二Je;x)dx1eA2；当z - 0时，当z -1时，所以 z ( z)f X ( x) f一0fz(z)_fX(x)fY(zx)dx0;室1fz(z)二.fX(x)fY(zx)dx二e(zx)dx二ez(e1);0/70Y(zx)dx1ez(z)fX(X)fY(zx)dxez(e1)10万6、(9分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润元；发生一次故障可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？解：(1)因为X?N(0,1),Y?N(

7、0,1),且相互独立，所以U-X-Y1,V-XY1都服从正态分布，EU=E(X-Y1)二EX-EYE1=1DU-D(XY1)-DXDY-2所以U?N(1,2)，所以fu(u)1e4kJ世,f同理EV-E(XY1)-EXEYE1-1DU-D(XY1)-DXDY2所以V?N(1,2)，所以fv(u)=，l=e4(2)EUV旦XY1)(XY1)-E(X2Y2(DY(EY)2)2EX1A2X1)-EX2EY22EX1-DX(EX)-1所以pEUV-EUEVUVDUDV-17、(10分)设X?N(0,1),Y?N(0,1),且相互独立U=XY1,V二XY1求：(1)分别求U,V的概率密度函数；(2)U,V的相关系数UV、riJF11(3)解X三0;10,丫=g(X)茸X-1;0,X-2;2,X3LkJ