《降次解一元二次方程》课件

1、降次一元二次方程的解法 工人师傅为了修屋顶，把一梯子搁在墙上,梯子与屋檐的接触处到底端的长AB=5米,墙高AC=4米,问梯子底端点离墙的距离是多少?走进生活4设BC=x,根据勾股定理，得x2+42=52.化简，得x2-9=0, (x-3) (x+3) =0,解得x1=3,x2=-3 (不合题意，舍去）另解：x2=9, x1= =3, X2=- =-3 (不合题意，舍去） 一般地,对于形如x2=d(d0)的方程,根据平方根的定义,可解得 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.概念对于一元二次方程x2=d，如果d0，那么就可以用开平方法求它的根。当d0时,方程有两个不相等的根：当d=0时,方程有两

2、个相等的根：例1：用开平方法解方程 9x2=4解：两边同除以9，得利用开平方法，得所以，原方程的根是例2：用开平方法解方程 3x2=-4解：两边同除以3，得 因为任何一个实数的平方根不可能是负数，所以原方程没有实数根。一般来说，解形如ax2+c=0(其中a0)的一元二次方程，其步骤是：（1）通过移项、两边同除以a，把原方程变形为（2）根据平方根的意义，可知例3：用开平方法解方程 -7x2+21=0解：移项，得两边同除以-7，得利用开平方法，得所以，原方程的根是练一练(1)方程x2=0.25的根是；(2)方程2x2=18的根是；(3)方程(x+1)2=1的根是.x1=0.5, x2=-0.5x1

3、=3, x2=-3x1=0, x2=-2例4：怎样解方程 (x+1)2=16 ?解：利用开平方法，得可得所以，原方程的根是上面这种解法中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。用开平方法解下列方程:(1)3x227=0;(2)(x1)2=4(3)(2x3)2=7你能用开平方法解下列方程吗? x210 x16=0合作探究(1)x28x =(x4)2(2)x23x =(x )2(3)x212x =(x )2填空42 ( )2626这种方程怎样解？变形为变形为x210 x+25=9x210 x+16=0的形式（为非负常数） 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负

4、常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.概念用配方法解一元二次方程的步骤:移项:把常数项移到方程的右边;配方:方程两边都加上一次项系数 一半的平方;开方:根据平方根意义,方程两边开平方;求解:解一元一次方程;定解:写出原方程的解.例题1. 用配方法解下列方程 x2+6x-7=0解：移项，得两边同时加上“一次项 系数一半的平方”，得利用开平方法，得所以，原方程的根是例2. 用配方法解下列方程 2x2+8x-5=0解：移项并且两边同除以2，得两边同时加上“一次项 系数一半的平方”，得利用开平方法，得所以，原方程的根是1.方程x2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得方程为（

5、）（A）(x+3)2=14 （B） (x-3)2=14 （C） (x+6)2=14 （D）以上答案都不对 2.用配方法解下列方程，配方有错的是（ ）（A）x2-2x-99=0 化为(x-1)2=100 （B） 2x2-3x-2=0 化为 (x- 3/4 )2=25/16 （C）x2+8x+9=0 化为 (x+4)2=25 （D） 3x2-4x=2 化为(x-2/3)2=10/9AC3.若实数x、y满足(x+y+2)(x+y-1)=0，则x+y的值为（ ）（A）1 （B）2 （C）2或1 （D）2或1 4.对于任意的实数x，代数式x25x10的值是一个（ ）（A）非负数 （B）正数 （C）整数

6、（D）不能确定的数 DB做一做用配方法解下列方程:(1)x26x=1(2)x2=65x(3) x24x3=0注意:解第(2)题时要先移项,变形成x2+5x=6的形式; 如果方程的二次项系数为负,则先把二次项系数化为正.用配方法解一般形式的一元二次方程 把方程两边都除以 解:移项，得配方，得即当时即一元二次方程的求根公式特别提醒(a0, b2-4ac0)例1.用公式法解方程（3）2x2-7x=0（2）x2+2x+2=0（1）3x2+5x-1=0（4）4x+1=-4x（1）3x2+5x-1=0解：a=3，b=5，c=-1，b-4ac=5-43（-1）=370X=1=2=（2）x2+2x+2=0b-

7、4ac=2-412=-40=2=01=（4）4x+1=-4x解：移项，得4x+4x+1=0a=4，b=4，c=1，b-4ac=4-441=0X=-=-X1=X2猜一猜：对于一般式ax+bx+c=0 （a0）的根与b-4ac的符号有会么关系？故对于方程ax+bx+c=0 （a0）有下列关系：因为ax+bx+c=0 （a0）的求根公式是 (1)当b -4ac0时，方程有两个不相等的根(2)当b-4ac=0时，方程有两个相等的根x = x = (3)当b - 4ac0时，方程没有实数根.巩固练习（1）x+3x-4=0（2） x- x=1四、探索发现X1=X2=1、从两根的代数式结构上有什么特点？2、

8、根据这种结构可以进行什么运算？你发现了什么？1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解五、智力挑战2、关于x的一元二次方程x-mx-5=0。 当m 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？X1=X2=一元二次方程的解法因式分解主要方法: (1)提取公因式法 (2)公式法: a2b2=(a+b) (ab) a22ab+b2=(ab)2请选择： 若AB=0则（ ）（A）A=0； （B）B=0；（C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0D解方程 4x2=9解：移项，得利用平方差公式分解因式，得可得所以，原方程的根是像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式

9、分解法。它的基本步骤是：(1)若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；(2)将方程的左边分解因式；(3)根据若AB=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。练一练填空：（1）方程x2+x=0的根是 ；（2）x225=0的根是 。 X1=0, x2=-1X1=5, x2=-5例1 解下列一元二次方程：（1）（x5) (3x2)=10; 解: 化简方程，得 3x217x=0.将方程的左边分解因式，得 x(3x17)=0,x=0 ,或3x17=0解得 x1=0, x2=例1 解下列一元二次方程：(2) (3x4)2=(4x3)2.解:移项，得 （3x-4)2-(4x-

10、3)2=0.将方程的左边分解因式，得(3x-4)+(4x-3)(3x-4)-(4x-3)=0, 即 (7x-7) (-x-1)=0.7x-7=0,或 -x-1=0.x1=1, x2=-1能用因式分解法解一元二次方程遇到类似例2这样的，移项后能直接因式分解就直接因式分解，否则移项后先化成一般式再因式分解.小结做一做用因式分解法解下列方程：(1) 4x2=12x; (2) (x -2)(2x -3)=6;(3) x2+9=-6x ; (4) 9x2=(x-1)2(5)例2 解方程x2=22x2 解 移项，得 x2 22x+2=0, 即 x2 2 2x+(2)2=0. (x 2)2=0, x1=x2=21.解方程 x223x=-32.若一个数的平方等于这个数本身,你能求出