随机过程理论：07 线性变换、时域法、频域法

1、为这条铁路而工作！小故事盛夏的一天，一群人正在铁路的路基上工作。这时，一列缓缓开来的火车打断了他们的工作。火车停了下来，一节特制的并且带有空调车厢的窗户被人打开了，一个低沉的、友好的声音：“大卫，是你吗?” 大卫安德森这群人的主管回答说：“是我，吉姆，见到你真高兴。”于是，大卫安德森和吉姆墨菲铁路的总裁，进行了愉快的交谈。在长达1个多小时的愉快交谈之后，两人热情地握手道别。 大卫安德森的下属立刻包围了他，他们对于他是墨菲铁路总裁的朋友这一点感到非常震惊。大卫解释说，20多年以前他和吉姆墨菲是在同一天开始为这条铁路工作的。 其中一个下属半认真半开玩笑地问大卫，为什么他现在仍在骄阳下工作，而吉姆墨

2、菲却成了总裁。大卫非常惆怅地说：“23年前我为1小时175美元的薪水而工作，而吉姆墨菲却是为这条铁路而工作。” 23年前为1小时175美元薪水而工作的人，现在仍然为薪水工作；23年前为那条铁路而工作的人，现在却成了团队的总裁。这就是平凡者与卓越者之间差别的根源所在。大卫的话一言九鼎。 第六讲 回顾1、从普通函数微积分的概念推广到随 机过程均方微积分2、用自相关函数刻划随机过程连续、可导和可积的条件3、微分与积分作为线性变换，来看输出自相关、输入与输出互相关4、作为平稳随机过程，以上2、3有更进一步的结论线性变换、时域法、频域法第07讲：主要内容一、线性系统描述及其分类二、线性系统基本关系式三、

3、随机过程线性变换时域法四、随机过程线性变换频域法一、线性系统描述及分类1、描述系统2、描述线性系统3、分类基于系统末端特性4、分类基于描述线性系统的微分方程5、分类确定性系统1、系统定义系统定义为实现某种特性要求而构成的集合数学观点系统的输出只不过是系统对输入信号进行一定数学运算的结果系统可以看作是由输入到输出的数学映像2、线性系统的描述T表示函数x(t)与y(t)之间对应的变换规则3、基于系统末端特性的分类分类假定对两个试验结果 和 有：当 有 T为确定性变换 T为随机性变换4、基于描述线性系统的微分方程的分类 系数是随机变量，为随机系统 系数是常系数，为定常线性系统5、分类确定性系统线性时

4、不变非线性时不变线性时变非线性时变二、线性系统基本关系式1、线性系统变换规则的定义2、线性时不变系统的特性叠加性3、线性时不变系统的特性比例性4、线性时不变系统的特性时不变性5、线性时不变系统数学模型6、系统的频率响应函数及傅立叶变换对1、线性系统变换规则的定义 若x(t)是线性系统的输入信号，则输出y(t)可以表示成 y(t) = L x(t) L表示 x(t)和y(t)之间的相对应的变换规则，这个线性系统就由变换规则L来定义。2、叠加性对任意的 都成立，则称这一特性为线性系统的叠加性若等式3、比例性若k为任一常数，有下列等式成立则称这一特性为线性系统的比例性。4、时不变性若线性系统的输出对

5、输入的依赖关系不随时间的推移而改变，即则称线性系统为时不变系统，如常系数线性微分方程所描述的系统。如无特殊声明，以后提到的线性系统都指线性时不变系统。5、数学模型（1）线性时不变系统：常系数线性微分方程，一般形式为思考1：为什么nm?思考2：拉氏变换与 傅里叶变换运用拉氏变换来解方程式，则有5、数学模型（2）H(s)称为系统传递函数，与系统的特性有关6、系统的频率响应函数（1）若系统的输入x(t)是平方可积的函数，即则x(t)可表示为傅立叶积分。称为频谱函数6、系统的频率响应函数（2）x(t)是 的极限若L是连续的，当 收敛于x(t)时， 6、系统的频率响应函数（3）比较两式： 输出y(t)的

6、频谱函数， 为系统频率响应函数表明了系统输出、输入在频域上的关系6、系统的频率响应函数（4）系统的频率响应和冲激响应函数是一对傅立叶变换利用时域卷积定理，有 表明了线性系统的输出是输入和系统冲激响应的卷积。6、系统的频率响应函数（5）物理可实现系统，冲激响应函数应符合条件线性系统可表述为如果线性时不变系统的冲激响应函数h(t)绝对可积，即则该系统稳定。对于稳定的物理可实现系统，其频率响应函数为三、时域法冲击响应法1、系统的输出响应2、数字特征自相关函数3、数字特征协方差函数目的是寻找输出自相关、输入自相关和系统函数的关系1、线性系统的输出响应若线性系统的冲激响应为h(t)，输入随机过程为X(t

7、)，则系统输出端的随机过程Y(t)为系统的输出响应等于系统的输入响应与冲激响应的卷积。2、自相关函数(1)若假定输入、输出过程均为平稳随机过程，且输入过程的相关函数为则输出过程的自相关函数为2、自相关函数(2)作变量代换，令 ，则有2、自相关函数(2)得到令z=u-v，并消去u，上式可以改写为2、自相关函数(3)上式中称为系统权函数的自相关函数。可见，输出过程的自相关函数等于输入过程的自相关函数与系统权函数的自相关函数的卷积。3、协方差函数(1)输出过程Y(t)的协方差函数为证明：对于一个广义平稳过程，有3、协方差函数(2)输出随机过程的均值和自相关函数分别为 因此3、协方差函数(3)类似于求

8、 ，令z=u-v，并消去u,上式可以改写为4、协方差函数方法2思考题？既然微分变换与积分变换都是线性变换，那么借用自相关定理得出的结论是否与前面介绍的定理一致？微分变换的输出自相关函数、自协方差函数；积分变换的输出自相关函数、自协方差函数；四、频域法1、输出过程的功率谱密度2、时域法和频域法总结1、功率谱密度(1)对于平稳随机过程，按维纳辛钦定理，输出过程有和1、功率谱密度(2)将式 代入式 可得1、功率谱密度(3)令 ，则 ，有1、功率谱密度(4) 是功率增益因子，它是无相位因子，所以功率谱密度是无相位的实函数。即输出功率谱密度仅与系统传递函数的幅频特性有关，而与其相频特性无关。依据维纳辛钦定理改写为直接求解?两边求傅里叶变换问题：复杂证明的意义何在？可以简化证明吗？举例说明已知输入平稳过程X(t)的自相关函数 ，求通过RC积分电路后，输出随机过程Y(t)在稳态时的相关函数。解：第一种方法，时域法： 线性系统的冲击响应为第一项积分第二项积分于是可得：第二种方法：频域法输入过程得功率谱密度RC积分电路传递函数：2、时域法和频域法总结：时域法（或冲击响应法）是求随机过程