数字信号处理：第四章 无限长单位脉冲响应（IIR） 1

1、第四章 无限长单位脉冲响应（IIR） 概述: 许多信息处理过程，如信号的过滤、检测、预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统环节，是数字信号处理的重要基础。 数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理机和计算机软件。 数字滤波器线性时不变系统。数字滤波器的数学描述：1)差分方程2)系统函数3)脉冲响应分类: 递归系统 IIR 非递归系统 FIR 高通 低通 经典 带通 现代数字滤波器：卡尔曼滤波器 带阻 维纳滤波器数字滤波器模拟滤波器 数字滤波器的设计步骤： 1）确定滤波器的性能指

2、标。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近性能指标， 即 求 h(n) 的表达式； 或确定 H(z) 的系数 、 或极零点 、 。 （第四、五章） 3）用一个有限精度的运算去实现这个传递函数。包括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率 采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第六章)。 4）确定工程实现方法。设计方法： 1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。 由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟，模拟滤波器不仅有简单而严格的设计公式，而且设计参数已表格化，设计起来方便、准确，可将这些理论继承下来，作为

3、设计数字滤波器的工具。2）最优化设计方法分两步： a)确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即使设计出的实际频率响应的幅度特性 与所要求的理想频率响应 的均方误差最小， 此外还有其它多种误差最小准则。 b)在此最佳准则下，求滤波器的系数 和 （ 通过不断地迭代运算，改变 、 ，直到 满足要求为止。） 以上两种设计方法中，着重讲第一种，因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同，如作低通、高通、带通及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是“模仿”模拟滤波器。在IIR滤波器设计中，采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机技术的发展，最优化设计方法的使用也逐渐增多。滤波器的性能指标滤波器的性能

4、指标 通带: 使信号通过的频带 阻带：抑制噪声通过的频带 过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围 ：通带截止频率。 最小阻带衰减： 过渡带为零； 阻带|H(j)|=0，以对数表示阻带衰减，则为； 通带内幅度|H(j)|=cons.； H(j)的相位是线性的。 理想滤波器滤波器的作用x=sin(2*pi*f1*n/fs)+sin(2*pi*f2*n/fs)+sin(2*pi*f3*n/fs)f1=200; f2=600; f3=900; fs=3000;带通滤波器频响滤波后时域波形4.1 根据模拟滤波器设计IIR滤波器利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数 设计数字滤波器传递函

5、数 H(z) ，这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换，这种映射变换应遵循两个基本原则：1）H(z) 的频响要能模仿 的频响，即S平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆 上。2） 的因果稳定性映射成 H(z) 后保持不变，即S平面的左半平面 ReS0 应映射到Z平面的单位圆以内|Z|1。下面讨论两种常用的映射变换方法：一、脉冲响应不变法 利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可从不同的角度出发。 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列 h(n) 正好等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，即 h(n)=ha(nT),

6、T为采样周期。 如以 Ha(s) 及 H(z) 分别表示 ha(t) 的拉氏变换及 h(n) 的 Z 变换，即 Ha(s)=Lha(t) , H(z)=Zh(n) 根据采样序列 z 变换与模拟信号拉氏变换的关系，得： 理想采样 的拉氏变换 与模拟信号 的 拉氏变换 之间的关系。 理想采样 的拉氏变换 与采样序列 的 Z 变换 之间存在的 S 平面与 Z 平面的映射关系。 的周期延拓与 H(z) 的关系。 由 式知，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器的设计步骤： 1）对Ha(s)作周期延拓， 2）利用 的映射关系映射到 Z 平面上。所完成的 S 平面到 Z 平面的变换，正是以前所讨论

7、的拉氏变换到 Z 变换的标准变换关系，即映射关系 ： 频率变换关系是线性的* S平面上每一条宽为 的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上: 每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内， 每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外；* 轴映射到单位圆上， 轴上每一段 都对应于绕单位圆一周。S 平面Z 平面应指出， 的映射关系反映的是 Ha(s) 的周期延拓与 H(Z) 的关系，而不是 Ha(s) 本身与 H(Z) 的关系，因此，使用脉冲响应不变法时，从 Ha(s) 到 H(z) 并没有一个由S平面到Z平面的一一对应的简单代数映射关系，即没有一个 S=f(z) 代数关系式。 频谱混迭： 由式，

8、还可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓： 延拓周期为 正如第一章的采样定律中所讨论的，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率S/2 以内，即 这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响（存在于折叠频率S/2以内） 但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。 脉冲响应不变法中的频响混淆计算 H(Z) : 脉冲响

9、应不变法特别适用于用部分分式表达传递函数，模拟滤波器的传递函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数 NM，则可表达为部分分式形式； 其拉氏反变换为： 单位阶跃 对 ha(t) 采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列 再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数： 第二个求和为等比级数之和，为 ，如果它收敛， 必有 所以， 比较式和式，看到： S平面上的极点 S=Si 变换到Z平面上是极点 ,而Ha(s)与H(Z)中部分分式所对应的系数不变，但要注意，这种Ha(s)到H(Z)的对应变换关系，只有将Ha(s)表达为部分分式形式才成立。稳定性： 如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 Si 都在S左

10、半平 面，即 Resi0 , 那么变换后H(Z)的极点 也都在单位圆以内，即 , 因此数字滤波器保持稳定。 虽然脉冲响应不变法能保证S平面与Z平面的极点位置有一一对应的代数关系，但这并不是说整个S平面与Z平面就存在这种一一对应的关系，特别是数字滤波器的零点位置与S平面上的零点没有一一对应关系，而是随着 Ha(s) 的极点 Si 与系数 Ai 的不同而不同。例 将一个具有如下传递函数 的模拟滤波器数字化。 解： 直接利用式，得 模拟滤波器的频率响应为: 示于图a数字滤波器的频率响应为: 显然 与采样间隔T有关，如图b，T越小，衰减越大，混叠越小，当 fs=24Hz ,混叠可忽略不计，为什么有混迭? 小结 1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，与是线性关系。（优点） 因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。 例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。 2) 在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应不变法。 3)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映射后得到的H(Z)也是稳定的。 4)脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延