投资分析Black-Scholes期权定价模型(PPT-59页)课件

1、投资学 第13章投资分析（4）：Black-Scholes 期权定价模型概 述Black、Scholes和Merton发现了看涨期权定价公式，Scholes和Merton也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖模型基本假设8个无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。标的股票不支付红利期权为欧式期权2022/7/212无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票对卖空没有任何限制标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗运动2022/7/213B-S模型证明思路ITO引理ITO过程B-S微分方程

2、B-S买权定价公式2022/7/21413.1 维纳过程根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性，这种特性可以采用Wiener process，它是Markov stochastic process的一种。对于随机变量w是Wiener process，必须具有两个条件：在某一小段时间t内，它的变动w与时段满足t2022/7/215（13.1）2. 在两个不重叠的时段t和s, wt和ws是独立的，这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！（13.2）有效市场2022/7/216满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻到未来的T时刻）随

3、机变量wt的满足2022/7/217证明：2022/7/218在连续时间下，由（13.1）和（13.2）得到（13.3）（13.4）所以， 概率分布的性质以上得到的随机过程，称为维纳过程。2022/7/21913.2 ITO定理一般维纳过程(Generalized Wiener process)可表示为（13.5）显然，一般维纳过程的性质为2022/7/2110一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程2022/7/2111B-S 期权定价模型是根据ITO过程的特例几何布朗运动来

4、代表股价的波动省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程（13.6）证券的预期回报与其价格无关。2022/7/2112ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO过程表示为（省略下标t）令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可以代表以标的资产x的衍生证券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可以表示为（13.7）2022/7/2113证明：将（13.7）离散化由（13.1）知利用泰勒展开，忽略高阶段项，f(x,t)可以展开为（13.8）2022/7/2114在连续时间下，即因此，（13.8）可以改写为（13.9）从而2022/7/2115即x2不呈现随机波动！（13.10）2

5、022/7/2116由（13.10）可得（13.11）由（13.11）得到（13.12）2022/7/2117 由于x2不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即当t0时，由（13.9）可得2022/7/211813.3 B-S微分方程假设标的资产价格变动过程满足这里S为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可由ITO引理近似为2022/7/2119假设某投资者以份的标的资产多头和1个单位的衍生证券空头来构造一个组合，且满足则该组合的收益为2022/7/2120下面将证明该组合为无风险组合，在t时间区间内收益为2022/7/2121注意到此时不

6、含有随机项w，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为r，且由于t较小（不采用连续复利），则整理得到2022/7/2122B-S微分方程的意义衍生证券的价格f，只与当前的市价S，时间t，证券价格波动率和无风险利率r有关，它们全都是客观变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对f的值产生影响。在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微分方程求出价格f。2022/7/2123若股票价格服从几何布朗运动设当前时刻为t，则T时刻股票价格满足对数正态分布，即13.4 几何布朗运动与对数正态分布2022/7/2

7、124令则这样由伊藤引理得到即2022/7/2125由（13.1）2022/7/2126则称ST服从对数正态分布，其期望值为所以2022/7/212713.5 B-S买权定价公式 对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权（买权）的在定价日t的定价公式为2022/7/2128（1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t的股票价格为St,则T时刻的股票价格的期望值为B-S买权定价公式推导（13.13）2022/7/2129（13.14）由（13.13）和（13.14）得到（13.15）根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性条件下，则资产的期望回报为无风险回报，则

8、这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金融资产的回报率均为无风险利率。2022/7/2130（2）在风险中性的条件下，任何资产的贴现率为无风险利率r，故买权期望值的现值为（13.16）2022/7/2131由于ST服从对数正态分布，其pdf为（13.17）第1项第2项将由(13.16)得到2022/7/2132（3）化简（13.17）中的第1、2项，先化简第1项（13.18）当前时刻价格，不是变量2022/7/2133（13.19）2022/7/2134 将（13.19）与（13.18）内的第2个指数项合并，即（13.20）2022/7/2135将（13.20）代入（13.18）下面，将利用

9、变量代换来简化（13.21），不妨令（13.21）2022/7/21362022/7/2137y的积分下限为y的积分上限为2022/7/2138将dy与y代入（13.21），即有这样就完成了第1项的证明。（13.22）2022/7/2139下面证明B-S公式中的第2项，首先进行变量代换，令2022/7/2140则z的积分下限z的积分上限2022/7/2141将z和dz代入（13.23）2022/7/2142则由（13.22）和（13.23）得到其中2022/7/2143pr0dN(d)例如:当d1.96时,N(d)913.5%2022/7/2144B-S买权公式的意义N(d2)是在风险中性世界

10、中ST大于X的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率。 e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的风险中性期望值的现值。 2022/7/2145其次， 是复制交易策略中股票的数量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。假设两个N(d)均为1，看涨期权价值为St-Xe-rT，则没有不确定性。如果确实执行了，我们就获得了以St为现价的股票的所有权，而承担了现值Xe-rT的债务。期权的价值关于标的资产的价格及其方差，以及到期时间等5个变量的非线性函数Ct=f(St,X,r)的函

11、数，具有如下性质2022/7/2146FactorEffect on valueStock price increasesExercise price decreasesVolatility of stock price increasesTime to expirationincreasesInterest rate increasesDividend RatedecreasesFactors Influencing Option Values: CallsSo = 100X = 95r = 0.10T = 0.25 (quarter)= 0.50d1 = ln(100/95) + (0.1

12、0+(05 2/2) / (050.251/2) = 0.43 d2 = 0.43 + (050.251/2) =0.18N (0.43) = 0.6664， N (0.18) =0 .5714Call Option Example2022/7/2148Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)Co = 100 X .6664 - 95 e- .10 X .25 X .5714 Co = 13.70P = Xe-rT 1-N(d2) - S0 1-N(d1)Call Option Value2022/7/214913.6 看跌期权的定价利用金融工程的原理来看待期权平价关系考虑如下两个组

13、合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产2022/7/2150组合A到期时刻T的收益组合B到期时刻T的收益两个组合具有相同的价格，且由于欧式期权不能提前执行，则在t时刻两个组合价值相等，否则就有套利，即此为看涨看跌期权平价公式。2022/7/2151从几何图性上看，二者对影响期权的关键指标都进行了负向变换，是关于纵向对称的。2022/7/2152标的资产价格期权价值2022/7/215313.7 有收益资产的欧式期权定价当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（StI）代替B-S公式中的St当标的证券的收益为按连

14、续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将2022/7/2154对于欧式期货期权，其定价公式为其中：F为到期日期货的价格，即付出X，得到一个价值为F的期货2022/7/2155根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项DeltaThetaVegaRhoGamma13.8 B-S公式的边际分析2022/7/2156命题：欧式看涨期权的Delta=N(d1)2022/7/21572022/7/2158利用Delta进行套期保值某人出售10份看涨期权并且持有6股股票，根据0.6的套期比率，股票价格每升高1美元，股票的收益增加6美元，同时看涨期权则损失100 . 6美元，即6美元。可见股票

15、价格的变动没有引起总财富的变动，这就使头寸得到了套期保值。Delta 对冲=对冲比。2022/7/2159（第14讲）考场作文开拓文路能力分解层次(网友来稿)江苏省镇江中学 陈乃香说明：本系列稿共24讲，20XX年1月6日开始在资源上连载【要义解说】文章主旨确立以后，就应该恰当地分解层次，使几个层次构成一个有机的整体，形成一篇完整的文章。如何分解层次主要取决于表现主旨的需要。【策略解读】一般说来，记人叙事的文章常按时间顺序分解层次，写景状物的文章常按时间顺序、空间顺序分解层次；说明文根据说明对象的特点，可按时间顺序、空间顺序或逻辑顺序分解层次；议论文主要根据“提出问题分析问题解决问题”顺序来分

16、解层次。当然，分解层次不是一层不变的固定模式，而应该富于变化。文章的层次，也常常有些外在的形式：1小标题式。即围绕话题把一篇文章划分为几个相对独立的部分，再给它们加上一个简洁、恰当的小标题。如世界改变了模样四个小标题：寿命变“长”了、世界变“小”了、劳动变“轻”了、文明变“绿”了。 2序号式。序号式作文与小标题作文有相同的特点。序号可以是“一、二、三”，可以是“A、B、C”，也可以是“甲、乙、丙”从全文看，序号式干净、明快；但从题目上看，却看不出文章内容，只是标明了层次与部分。有时序号式作文，也适用于叙述性文章，为故事情节的展开，提供了明晰的层次。 3总分式。如高考佳作人生也是一张答卷。开头：

17、“人生就是一张答卷。它上面有选择题、填空题、判断题和问答题，但它又不同于一般的答卷。一般的答卷用手来书写，人生的答卷却要用行动来书写。”主体部分每段首句分别为：选择题是对人生进行正确的取舍，填空题是充实自己的人生，判断题是表明自己的人生态度，问答题是考验自己解决问题的能力。这份“试卷”设计得合理而且实在，每个人的人生都是不同的，这就意味着这份人生试卷的“答案是丰富多彩的”。分解层次，应追求作文美学的三个价值取向：一要匀称美。什么材料在前，什么材料在后，要合理安排；什么材料详写，什么材料略写，要通盘考虑。自然段是构成文章的基本单位，恰当划分自然段，自然就成为分解层次的基本要求。该分段处就分段，不

18、要老是开头、正文、结尾“三段式”，这种老套的层次显得呆板。二要波澜美。文章内容应该有张有弛，有起有伏，如波如澜。只有这样才能使文章起伏错落，一波三折，吸引读者。三要圆合美。文章的开头与结尾要遥相照应，把开头描写的事物或提出的问题，在结尾处用各种方式加以深化或回答，给人首尾圆合的感觉。【例文解剖】 话题：忙忙，不亦乐乎 忙，是人生中一个个步骤，每个人所忙的事务不同，但是不能是碌碌无为地白忙，要忙就忙得精彩，忙得不亦乐乎。 忙是问号。忙看似简单，但其中却大有学问。忙是人生中不可缺少的一部分，但是怎么才能忙出精彩，忙得不亦乐乎，却并不简单。人生如同一张地图，我们一直在自己的地图上行走，时不时我们眼前

19、就出现一个十字路口，我们该向哪儿，面对那纵轴横轴相交的十字路口，我们该怎样选择?不急，静下心来分析一下，选择适合自己的坐标轴才是最重要的。忙就是如此，选择自己该忙的才能忙得有意义。忙是问号，这个问号一直提醒我们要忙得有意义，忙得不亦乐乎。 忙是省略号。四季在有规律地进行着冷暖交替，大自然就一直按照这样的规律不停地忙，人们亦如此。为自己找一个目标，为目标而不停地忙，让这种忙一直忙下去。当目标已达成，那么再找一个目标，继续这样忙，就像省略号一样，毫无休止地忙下去，翻开历史的长卷，我们看到牛顿在忙着他的实验；爱迪生在忙着思考；徐霞客在忙着记载游玩；李时珍在忙着编写本草纲目。再看那位以笔为刀枪的充满着

20、朝气与力量的文学泰斗鲁迅，他正忙着用他独有的刀和枪在不停地奋斗。忙是省略号，确定了一个目标那么就一直忙下去吧!这样的忙一定会忙出生命灵动的色彩。 忙是惊叹号。世界上的人都在忙着自己的事，大自然亦如此，小蜜蜂在忙，以蜂蜜为回报。那么人呢?居里夫人的忙，以放射性元素的发现而得到了圆满的休止符；爱因斯坦在忙，以相对论的问世而画上了惊叹号；李白的忙，以那豪放的诗歌而有了很大的成功；张衡的忙，因为那地动仪的问世而让世人仰慕。每个人都应该有效率的忙，而不是整天碌碌无为地白忙。人生是有限的、短暂的，因此，每个人都应该在有限的生命里忙出属于他的惊叹号；都应在有限的生命里忙出他的人生精彩篇章。 忙是万物、世界、人生中都不可缺少的一部分。作为这世上最高级动物的我们，我们在忙什么呢?我们要忙得有意义，有价值，我们要忙出属于我们的精彩。我们的忙不能永远是问号，而应是省略号和感叹号。忙就要忙得精彩，忙得不亦乐乎。 解剖：本文将生活中的一句口头禅“忙得不亦乐乎”机智翻新，拟作标题，亮出一道美丽的风景。并据此展开述说，让人神清气爽。文章开篇扣题，亮出观点：忙，是人生中一个个步骤，不能碌碌无为地白忙，要忙就忙得精彩，忙得不亦乐乎。然后，