2022新高考总复习《数学》(人教)第五章　平面向量、复数课时规范练28　平面向量的数量积与平面向量的应用

1、 课时规范练28平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固组1.(2020山东鄄城一中高三月考)在梯形ABCD中,ABDC,ADAB,AD=2,则BCAD=() A.-1B.1C.2D.22.(2019四川广元高三期末)在ABC中,若(CA+CB)BA=0,则ABC是()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形3.(2020黑龙江哈师大附中高三调研)已知向量a=(-2,m),b=(1,-2),c=(m+1,5),若ab,则a与b+c的夹角为()A.4B.3C.23D.344.(2020河南南阳中学高三月考)已知向量a=(1,2),A(6,4),B(4,3),|b|为向量AB在向量a

2、上的投影,则|b|=()A.455B.1C.5D.45.在ABC中,若AB=(1,2),AC=(-x,2x)(x0),则当BC最小时,ACB=()A.90B.60C.45D.306.(多选)(2020山东高考预测卷)已知向量a=(1,2),b=(m,1)(m0),且向量b满足b(a+b)=3,则()A.|b|=2B.(2a+b)(a+2b)C.向量2a-b与a-2b的夹角为4D.向量a在向量b上的投影为557.(多选)(2020海南中学高三期中)若ABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且3OA+4OB+5OC=0,则下列结论正确的是()A.BOC=90B.AOB=90C.OBCA=-45D.O

3、CAB=-158.在直角三角形ABC中,C=2,AC=4,取点D,E,使BD=3DA,AB=4BE,那么CDCA+CECA=.9.(2020浙江舟山高三期中)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,|a-2b|=13,则a与b的夹角为;a在b上的投影是.10.(2020河南中原名校质检)在ABC中,ABAC,M是BC的中点.(1)若|AB|=|AC|,求向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值;(2)若O是线段AM上任意一点,且|AB|=|AC|=2,求OAOB+OCOA的最小值.11.(2020山东齐鲁备考联盟校阶段检测)已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin )

4、,c=(-1,0).(1)求向量b+c的模的最大值;(2)设=4,且a(b+c),求cos 的值.综合提升组12.(多选)(2020湖北孝感一中考前诊测)已知e1,e2是两个单位向量,R,|e1+e2|的最小值为32,则下列结论正确的是()A.e1,e2的夹角是3B.e1,e2的夹角是3或23C.|e1+e2|=1或3D.|e1+e2|=1或3213.(多选)(2020山东济南历城第二中学高三开学考试)点O在ABC所在的平面内,则以下说法正确的有()A.若OA+OB+OC=0,则O为ABC的重心B.若OAAC|AC|-AB|AB|=OBBC|BC|-BA|BA|=0,则O为ABC的垂心C.若(

5、OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0,则O为ABC的外心D.若OAOB=OBOC=OCOA,则O为ABC的内心14.已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A,B两点,O为坐标原点,若AOAB=32,则实数m=()A.1B.32C.22D.1215.(2020上海复兴高级中学高三调研)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AH为边BC上的高,有以下结论:ACAH|AH|=csin B;BC(AC-AB)=b2+c2-2bccos A;AHAC=AH2;AH(AB+BC)=AHAB.其中结论正确的序号是.16.(2020甘肃武威第六中学高三段考)已知ABC为等腰直角三角形,OA=1

6、,OC为斜边上的高.若P为线段OC的中点,则APOP=;若P为线段OC上的动点,则APOP的取值范围为.创新应用组17.(2020陕西高三模拟)定义空间两个向量的一种运算ab=|a|b|sin,则关于空间向量上述运算的以下结论中:ab=ba;(ab)=(a)b;(a+b)c=(ac)+(bc);若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=|x1y2-x2y1|.其中恒成立的有()A.B.C.D.18.(2020山东济南一中二模)已知向量a=(cos x,-1),b=3sin x,-12,函数f(x)=(a+b)a-2.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)在ABC中,内角

7、A,B,C的对边分别为a,b,c,已知函数f(x)的图象经过点A,12,b,a,c成等差数列,且ABAC=9,求a的值.参考答案课时规范练28平面向量的数量积与平面向量的应用1.D由题可知,因为四边形ABCD为直角梯形,所以BC在AD上的投影为2,由数量积的几何意义可知BCAD=(2)2=2,故选D.2.C设D为AB的中点,则CA+CB=2CD,2CDBA=0,即CDBA=0,CDAB,直线CD是线段AB的中垂线,ABC为等腰三角形.故选C.3.D因为ab,a=(-2,m),b=(1,-2),所以-21+(-2)m=0,解得m=-1.所以a=(-2,-1),c=(0,5),所以b+c=(1,3

8、).设a与b+c的夹角为,则cos =a(b+c)|a|b+c|=-21+(-1)3(-2)2+(-1)212+32=-552=-22,因为0,所以=34,故选D.4.AAB=(-2,-1),由题意知|b|=ABa|a|=-21+(-1)25=455.故选A.5.ABC=AC-AB=(-x-1,2x-2),|BC|=(-x-1)2+(2x-2)2=5x2-6x+5.令y=5x2-6x+5,x0,当x=35时,ymin=165,此时BC最小,CA=35,-65,CB=85,45,CACB=3585-6545=0,CACB,即ACB=90,故选A.6.AC将a=(1,2),b=(m,1)代入b(a

9、+b)=3,得(m,1)(1+m,3)=3,得m2+m=0,解得m=-1或m=0(舍去),所以b=(-1,1),所以|b|=(-1)2+12=2,故A正确;因为2a+b=(1,5),a+2b=(-1,4),14-(-1)5=90,所以2a+b与a+2b不平行,故B错误;设向量2a-b与a-2b的夹角为,因为2a-b=(3,3),a-2b=(3,0),所以cos =(2a-b)(a-2b)|2a-b|a-2b|=22,所以=4,故C正确;向量a在向量b上的投影为ab|b|=12=22,故D错误.故选AC.7.BD由于ABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且3OA+4OB+5OC=0,所以3OA+

10、4OB=-5OC,两边平方并化简得25+24OAOB=25,解得OAOB=0;3OA+5OC=-4OB,两边平方并化简得34+30OAOC=16,解得OAOC=-35;4OB+5OC=-3OA,两边平方并化简得41+40OBOC=9,解得OBOC=-45.所以BOC90,故A错误;AOB=90,故B正确;OBCA=OB(OA-OC)=OBOA-OBOC=45,故C错误;OCAB=OC(OB-OA)=OCOB-OCOA=-45-35=-15,故D正确.故选BD.8.8BD=3DA,CD-CB=3(CA-CD),化简得CD=34CA+14CB.同理可得CE=-14CA+54CB.C=2,CACB=

11、0,CDCA+CECA=CA(CD+CE)=CA12CA+32CB=12CA2+32CACB=12|CA|2=8.9.3422设a与b的夹角为,0,则|a-2b|=(a-2b)2=|a|2-2|a|2b|cos+|2b|2=13,将|a|=1,|b|=2代入上式,化简可得1-42cos+8=13,解得cos =-22.0,=34,即a与b的夹角为34.a在b上的投影的绝对值|a|cos |=22.10.解 (1)设向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角为,则cos =(AB+2AC)(2AB+AC)|AB+2AC|2AB+AC|,令|AB|=|AC|=a,则cos =2a2+2a25a5a=

12、45.(2)|AB|=|AC|=2,|AM|=1.设|OA|=x(0 x1),则|OM|=1-x.而OB+OC=2OM,OAOB+OCOA=OA(OB+OC)=2OAOM=2|OA|OM|cos =2x2-2x=2x-122-12.当x=12时,OAOB+OCOA取得最小值,最小值是-12.11.解 (1)b+c=(cos -1,sin ),则|b+c|2=(cos -1)2+sin2=2(1-cos ).因为-1cos 1,所以0|b+c|24,即0|b+c|2.当cos =-1时,有|b+c|=2,所以向量b+c的模的最大值为2.(2)若=4,则a=22,22.又由b=(cos ,sin

13、),c=(-1,0)得a(b+c)=22,22(cos -1,sin )=22cos +22sin -22.因为a(b+c),所以a(b+c)=0,即cos +sin =1,所以sin =1-cos ,平方后化简得cos (cos -1)=0,解得cos =0或cos =1.经检验cos =0或cos =1即为所求.12.BC由题可知,(e1+e2)2=2+2e1e2+1=(+e1e2)2+1-(e1e2)21-(e1e2)2.e1,e2是两个单位向量,且|e1+e2|的最小值为32,(e1+e2)2的最小值为34,则1-(e1e2)2=34,解得cos =12,e1与e2的夹角为3或23,|

14、e1+e2|2=1+2e1e2+1=2212=1或3,|e1+e2|=1或3.故选BC.13.AC对于A,设D为BC的中点,由于OA=-(OB+OC)=-2OD,所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D),所以O为ABC的重心,故A正确;对于B,向量AC|AC|,AB|AB|分别表示与AC,AB方向相同的单位向量,设为AC和AB,则它们的差是向量BC,则当OAAC|AC|-AB|AB|=0,即OABC时,点O在BAC的平分线上,同理由OBBC|BC|-BA|BA|=0,知点O在ABC的平分线上,故O为ABC的内心,故B错误;对于C,OA+OB是以OA,OB为邻边的平行四边形的一条对角线,而AB

15、是该平行四边形的另一条对角线,AB(OA+OB)=0表示这个平行四边形是菱形,即OA=OB,同理有OB=OC,于是O为ABC的外心,故C正确;对于D,由OAOB=OBOC得OAOB-OBOC=0,OB(OA-OC)=0,即OBCA=0,OBCA.同理可证OACB,OCAB.OBCA,OACB,OCAB,即O是ABC的垂心,故D错误.故选AC.14.C联立y=x+m,x2+y2=1,消y可得2x2+2mx+m2-1=0.由题意知=-2m2+80,解得-2m2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-m,x1x2=m2-12,y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x

16、2)+m2,AO=(-x1,-y1),AB=(x2-x1,y2-y1).AOAB=32,AOAB=x12-x1x2+y12-y1y2=1-m2-12-m2-12+m2-m2=2-m2=32,解得m=22.故选C.15.AH为边BC上的高,ABAH=ACAH=|AH|2,ACAH|AH|=|AH|2|AH|=|AH|=csin B,正确;BC(AC-AB)=BCBC=a2=b2+c2-2bccos A,正确;AHAC=AH2,正确;AH(AB+BC)=AHAC=|AH|2=AHAB,正确.16.140,1ABC为等腰直角三角形,CO为斜边上的高,则CO为边AB上的中线,所以AC=BC=2,AO=

17、BO=CO=1.当P为线段OC的中点时,在ACO中,AP为边CO上的中线,则AP=12(AC+AO),所以APOP=12(AC+AO)OP=12(ACOP+AOOP)=12|AC|OP|cos 45+0=1221222=14.当P为线段OC上的动点时,设OP=OC,01,APOP=(AC+CP)OP=ACOP+CPOP=OCAC-(1-)OC(OC)=1222-(1-)=-+2=20,1,所以APOP的取值范围为0,1.17.A由定义可知ab=ba,故正确;(ab)=|a|b|sin,(a)b=|a|b|sin=|a|b|sin,当0时,(ab)=(a)b不成立,故错误;(a+b)c=|a+b|c|sin,ac+bc=|a|c|sin+|b|c|sin,显然不恒成立,例如取a,b,c为两两垂直的单位向量,易得(a+b)c=2,(ac)+(bc)=2,故错误;由ab=|a|b|sin,ab=|a|b|cos,可知(ab)2+(ab)2=|a|2|b|2,则(ab)2=|a|2|b|2-(ab)2=(x12+y12)(x22+y22)-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2,故ab=|x1y2-x2y1|,故正确.18.解 (1)f(x)=(a+b)a-2=|a|2+ab-2=cos2x+1+3sin xcos x+12-2=