动量守恒定律专题8动量守恒定律8“小球--圆弧轨道”模型

1、动量守恒定律专题8小球（滑块）弧轨道模型例题1、如左下图，一内外侧均光滑的半圆柱槽置于光滑的水平面上槽的左侧有一竖直墙壁.现让 小球（可认为质点）自左端槽口 A点的正上方从静止开始下落，与半圆柱槽相切并从A点进入槽内.正确小球在槽内运动的全过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒小球在槽内运动的全过程中，小球与槽组成的系统水平方向动量不守恒解析小球从下落到最低点的过程中，槽没有动，与竖直墙之间存在挤压，动量不守恒；小球经过最 低点往上运动的过程中，槽与竖直墙分离，水平方向动量守恒；全过程中有一段时间系统受竖直墙弹 力的作用，故全过程系统水平方向动量不守恒，选项D正确；小球离开右侧槽口时，水平方向有

2、速度， 将做斜抛运动，选项A错误；小球经过最低点往上运动的过程中，槽往右运动，槽对小球的支持力对 小球做负功，小球对槽的压力对槽做正功，系统机械能守恒，选项B错误，C正确.例题2、带有1/4光滑圆弧轨道质量为M的滑车静止置于光滑水平面上，如图所示，一质量也为M的小球 以速度vQ水平冲上滑车，到达某一高度后，小球又返回车的左端，则BC 小球将做自由落体运动此过程小球对小车做的功为D.小球在弧形槽上升的最大高度为备 例题3、如图所示，A和B并排放在光滑的水平面上，A上有一光滑的半径为R的半圆轨道，半圆轨道右 侧顶点有一小物体C，C由顶点自由滑下，设A、B、C的质量均为m.求：（1）A、B分离时B的

3、速度多大？（2） C由顶点滑下到沿轨道上升至最高点的过程中做的功是多少？ 解析:小物体C自由滑下时，对槽有斜向右下方的作用力，使A、B 一起向右做加速运动；当C滑至槽的最低点时，C、A之间的作用力沿竖直方向，这就是A、B分离的临界点，因C将沿c槽上滑，C对A有斜向左下方的作用力，使A向右做减速运动，而B以A分离时 厂国 尹 的速度向右，做匀速运动。所谓C沿轨道上升到最大高度，并不是C对地的速度为零，而是与A的相对速度为零，至于C在题述过程中所做的功，应等于A、B、C组成的系统动能的增量（实际上是等于C的重 力所做的功）。利昙古小日*4击土旦而Q利昙古小日*4击o “，【、工志，、湛间PA醐】首

4、 焙开II例题4、两质量分别为M1和虬的劈A和B,高度相同，放在光滑水平面上，A和B的倾斜面都是光滑曲面， 曲面下端与水平面相切，如图所示，一质量为m的物块位于劈A的倾斜面上，距水平面的高度为h。物块(M 1 + m)(M + m)解析：设物块到达劈A的低端时，物块和A的的速度大小分别为和V，由机械能守恒和动量守恒得设物块在劈B上达到的最大高度为占，此时物块和B的共同速度大小为阿，由机械能守恒和动量守恒得5井+站二*E.3故h = 当也 h联立式得（蚂+就/（甄+冲 例题5、如图所示，光滑水平面上有一质量M=4.0kg的平板车，车的上表面右侧是一段长L=1.0m的水平轨道，水平轨道左侧连一半径

5、R=0.25m的1/4 光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在0/点 相切.车右端固定一个尺寸可以忽略、处于 锁定状态的压缩弹簧，一质量m=1.0kg的小 物块紧靠弹簧，小物块与水平轨道间的动摩擦因数U=0.5.整个装置处于静止状态，现将弹簧解除锁定，小物块被弹出，恰能到达圆弧轨道的最高点A, g取10m/s2.求：解除锁定前弹簧的弹性势能；小物块第二次经过0/点时的速度大小；最终小物块与车相对静止时距0/点的距离.【答案】(1) E = 7.5J ； (2) 2.0m/s； (3) 0.5m解析：(1)平板车和小物块组成的系统水平方向动量守恒，故小物块恰能到达圆弧最高点A时，二者的共同速度V共=

6、0设弹簧解除锁定前的弹性势能为E ，上述过程中系统能量守恒，则有PE = mgR + pi mgL代入数据解得Ep = 7.5J设小物块第二次经过O时的速度大小为vm，此时平板车的速度大小为Vm，研究小物块在圆弧 面上下滑过程，由系统动量守恒和机械能守恒有0 = mv - MvmgR = mv 2 + Mv2 TOC o 1-5 h z 由式代入数据解得vm = 2.0 m/s最终平板车和小物块相对静止时，二者的共同速度为0.设小物块相对平板车滑动的总路程为s， 对系统由能量守恒有E = p mgs代入数据解得s=1.5m则距O点的距离x=sL=0.5m练习1、如图所示，半径为R，质量为M，内

7、表面光滑的半球物体放在光滑的水平面上，左端紧靠着墙壁， 一个质量为m的物块从半球形物体的顶端的a点无初速释放，图中b点为半球的最低点，c点为半球另一 侧与a同高的顶点，关于物块M和m的运动，下列说法的正确的有(BD ) 务十m从a点运动到b点的过程中，m与M系统的机械能守恒、动量守恒乡、人m从a点运动到b点的过程中，m的机械能守恒熟灯点m释放后运动到b点右侧，m能到达最高点c当m首次从右向左到达最低点b时，M的速度达到最大 练习2、如图5 11所示将一光滑的半圆槽置于光滑水平面上，槽的左侧有一固定在水平面上的物块。今 让一小球自左侧槽口A的正上方从静止开始落下，与圆弧槽相切自A点进入槽内，则以

8、下结论中正确 的 (C )图11小球在半圆槽内运动的全过程中，只有重力对它做功小球在半圆槽内运动的全过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒小球自半圆槽的最低点B向C点运动的过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒小球离开C点以后，将做竖直上抛运动。【分析解答】本题的受力分析应与左侧没有物块挡住以及半圆槽固定在水平面上的情况区分开来。图 5-19从A-B的过程中，半圆槽对球的支持力N沿半径方向指向圆心，而小球对半圆槽的压力N方向相 反指向左下方，因为有物块挡住，所以半圆槽不会向左运动，情形将与半圆槽固定时相同。但从B-C的 过程中，小球对半圆槽的压力N方向向右下方，所以半圆槽要向右运动，因而小球参

9、与了两个运动：一 个是沿半圆槽的圆运动，另一个与半圆槽一起向右运动，小球所受支持力N与速度方向并不垂直，所以支 持力会做功。所以A不对。又因为有物块挡住，在小球运动的全过程，水平方向动量也不守恒，即B也不 对。当小球运动到C点时，它的两个分运动的速度方向如图5-13，并不是竖直向上，所以此后小球做斜 上抛运动，即D也不对。正确答案是：小球在半圆槽内自B-C运动过程中，虽然开始时半圆槽与其左侧物块接触，但已不挤 压，同时水平而光滑，因而系统在水平方向不受任何外力作用，故在此过程中，系统在水平方向动量守恒， 练习3、如图所示，带有1/4圆弧的光滑轨道的小车放在光滑水平地面上，弧形轨道的半径为R，最

10、低点 与水平线相切，整个小车的质量为M。现有一质量为m的小滑块从圆弧的顶端由静止开始沿轨道下滑，求 当滑块脱离小车时滑块和小车的各自速度。【解析】在m由静止沿圆弧轨道下滑过程中，m和M组成的系统在水平方向不受外力作用；因此该系统在 水平方向动量守恒。在m下滑时，对M有一个斜向左下方的压力，此压力的水平分量使M在m下滑时向左 作加速运动，直到m脱离轨道飞出。从能量守恒的观点看，m与M获得的动能均来自口位置降低所减少的重力势能。此时小车的速度为v2.据能量守恒:mgRumvj+Mv：设向右为正方向，m脱离轨道时的速度为v据动量守恒定律，在水平方向上：0=mV Mv2 由以上两式解得七二m ：2 R

11、gM2 gRMm + m 2 M * m + M练习4、如图1 11所示，质量为M,半径为R的光滑半圆槽第一次被固定在光滑水平地面上，质量为m 的小球，以某一初速度冲向半圆槽刚好可以到达顶端C.然后放开半圆槽，使其可以自由运动，小球又以同 样的初速度冲向半圆槽，小球最高可以到达与圆心等高的B点，(g=10 m/s2)试求：半圆槽第一次被固定时，小球运动至C点后平抛运动的水平射程x=?解析 小球在C点时，重力提供向心力由于 mg=mv2/R，故有 V=JRg小球由C点平抛y=2R=|gt2 乙x=v，得：x=2R由题意对第一次过程据动能定理可知V2 = 5Rg由题意对第二次过程，对m、M系统根据

12、动量守恒、能量守恒得mv=(m+M)V2 TOC o 1-5 h z mgR=jmv2j(m+M)v2，得：另=3 2022M 2答案2R2练习5、质量为M的楔形物块上有圆弧轨道，静止在水平面上。质量为m的小球以速度v1向物块运动。不 计一切摩擦，圆弧小于90且足够长。求小球能上升到的最大高度H和物块的最终速度v。解析：系统水平方向动量守恒，全过程机械能也守恒。刀在小球上升过程中，由水平方向系统动量守恒得：皿二W +心1Mv ；mv 1 = (M + 理卜诲方 H :由系统机械能守恒得：22解得叩+樨)菖2解v = v全过程系统水平动量守恒，机械能守恒，得Me点评：本题和上面分析的弹性碰撞基本

13、相同，唯一的不同点仅在于重力势能代替了弹性势能。练习6、如图所示，光滑水平面上有带有1/4光滑圆弧轨道的滑块，其质量为2m，一质量为m的小球以速 度vo沿水平面滑上轨道，并能从轨道上端飞出，则：小球从轨道上端飞出后，能上升的最大高度为多大？JH. %滑块能达到的最大速度为多大？= 分析：(1)小球在轨道上滑行过程，小球和滑块在水平方向上不受外力，水平方向动量守恒，机械能守 恒也守恒，当小球从轨道上端飞出时，小球与滑块具有水平上的相同的速度，根据两个守恒列方程求解小 球从轨道上端飞出后，能上升的最大高度.(2)小球滑回轨道，从轨道左端离开滑块时，滑块的速度最大，根据水平方向动量守恒和机械能守恒结

14、 合求解.解答：设小球上升到最高点时，小球和滑块的水平速度为 ,系统水平方向动量守恒.由动量守恒得nmvo=(m+2m)vx所以v3小球上升到最高点时v y=011忒对系统由机械能守恒得* mvo2= (m+2m)vx2+mgh解得h=，.小球从轨道左端离开滑块时，根据动量守恒，则有：mvmv+2mv21 1 1根据机械能守恒，则有：mvo2= mv：+ 2mv：&联立可得：v2=32.%所以此时滑块的速度大小为二J点评：本题是系统水平方向动量和机械能守恒的问题，容易出错的地方是认为小球上升到最高点时，滑块 的速度最大，要注意分析过程，在小球上滑和下滑的过程中，滑块都在加速，则小球滑回轨道，从

15、轨道左 端离开滑块时，滑块的速度最大.练习7、一质量为2m的物体P静止于光滑水平地面上，其截面如图所示.图中ab为粗糙的水平面，长度 为L；bc为一光滑斜面，斜面和水平面通过与ab与bc均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接.现有一质量 为m的木块以大小为v的水平初速度从a点向左运动，在斜面上上升的最大高度为h，返回后在到达a点 前与物体P相对静止.重力加速度为g.求：(1)木块在ab段受到的摩擦力f； (2)木块最后距a点的距离s.解析 木块m和物体P组成的系统在相互作用过程中遵守动量守恒、能量守恒.(1)以木块开始运动至在斜面上上升到最大高度为研究过程，当木块上升到最高点时两者具有相同的速度，根

16、据动量守恒，有mvo=(2m+m)v根据能量守恒，有mv2 = (2m+m)v2+fL+mgh联立得三=肾罕=mv2 ；mgh2023L L3L(2)以木块开始运动至最后与物体P在水平面ab上相对静止为研究过程，木块与物体P相对静止，两 者具有相同的速度，根据动量守恒，有mv=(2m+m)v根据能量守恒，有112=1(2口+口赤+0+，)联立得s=丝二6骅2 o 2v23gh练习8、如图所示，在光滑的水平面上，有一 A、B、C三个物体处于静止状态，三者质量均为m，物体的 ab部分为半径为R的光滑1/4圆弧，bd部分水平且粗糙，现让小物体C自a点静止释放，当小物C到达b 点时物体A将与物体B发生

17、碰撞，且与B粘在一起(设碰撞时间极短)，试求：(1)小物体C 刚到达b点时，物体a的速度大小？ (2)如果bd部分足够长，试用文字表述三个物体的最 rn t-f . 后运动状态。需简要说明其中理由。匕/解：(1)设小物体滑到b点时，小物块C的速度为匕，滑块A的速度为匕，设水平向右为正方向，那么在 TOC o 1-5 h z 小物块下滑的过程中，由机械能守恒可得：1211mgR = 2 mV 2 + 2 mV 2小物块C和滑块A组成的系统，由水平方向动量守恒可得：mV - mV = 03 分由、可得：V = v2 =、涎 即物体a的速度大小为gR3分(2)当滑块A与滑块B碰撞后粘在一起，且物体A、B、C组成的系统在水平方向上不受外力作用，对 整个系统在水平方向上动量守恒(2分)但小物体C在bd部分滑动时由于受摩擦力的作用，速度不断 减小，因为bd部分足够长，故小物体C最后要停下来，(3分)由于系统动量守恒，且系统水平方向 总动量为零，故物体A、B也要同时停下来。(2分)练习9、如图所示，在光滑水平地面上有一辆质量为M的小车，车上装有一个半径为R的光滑圆环.一个质量 为m的小滑块从跟车面等