第042讲总复习：数列求和及其综合应用提高知识梳理

1、数列求和与综合应用【考纲要求】.熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；.掌握数列的通项 an与前n项和$之间的关系式.注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟 练掌握求数列的前 n项和的几种常用方法；.能解决简单的实际问题.【知识络】【考点梳理】纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用， 如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关

2、数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性， 将数列分类定性，考察数列的图像特征,考察数列的极限存在与否等等 .有关实际应用问题： 某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列 有关知识解答此类应用题.数列的函数属性： 因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑【典型例题】类型一：数列与函数的综合应用例1.对于数列an

3、,规定数列Aan为数列an的一阶差分数列，其中 &an =an由an (nW N*)；kkk 1k 1般地，规7E an为an的k阶差分数列，其中 an = an用 an且kCN*, k2o5 o 13(1)已知数列an的通项公式an = n2 n(nw N*)。试证明Aan是等差数列;22(2)若数列an的首项a1=-13,且满足 Van Aan+an = 22n平(n wN*),求数列修-明及an的通项公式;(3)在(2)的条件下，判断an是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，说明理由。解析：(1)依题意：Aan =an+ -an,52 135 2 13, , an = (n -

4、 1) -(n 1)H - n - - n =5n42222 .：an 1 - an =5(n 1) -4 -(5n -4) 5,，数列蛇口是首项为1,公差为5的等差数列。(2) 瞥军=2 烝=22n 17 2n%(nN*)2nl 2n人217(3)令 f (x) =x -x , 217一 则当xW(Q,)时，函数f(x)单调递减；417当xW(一，七叼时，函数f(x)单调递增；4又因 an=22n-17,2n=(2n)2 - 2二2而I?卜：|23-千|, 44所以当n=2时，数列an存在最小值，其最小值为-18。举一反三:3【变式1】已知数列an的首项a1 = 35an+=dt；，n =

5、1,2川.2an 1(i)求an的通项公式；一-112一一(n)证明：对任息的 x 0 , an 占-2(七一x), n=1,2,|；1 x (1 x) 3(m)证明:a a2 IH an2nn 1解析:(I) an 13an2an 1 an 13 3a nan 11/1、(- - 1), 3 an又工1an2 ,、，一 1 是以-为首项，1为公比的等比数列.33(n)1-1an3n,一 3n设 f (x)1 x (1 x)2 31则 f (x)2(1 x)23n3n 2占-x),2(1x)2-x)-(1 x)2-(|n-x) 2(1 x) 32(1x)211I（出）由（H）知，对任意的aa?

6、a1 x (1 x)2 3(2-x)1 x (1 x)2 322 (-2-x) III1 x (1 x)2x)2 .一 .一,2 ,一 . 一*x0,.当 x-；7 时，f(x)0,3n3n,2 .一一 2、二当x = F时，f （x）取得最大值f （）= 3n3n二原不等式成立.21 x (1 x)22.2令一 十二十|十二一门*=0,贝U x3323nn(1-g)3(1n3na1 - a2 HI an3n11(1n二原不等式成立.【高清课堂：函数的极值和最值 388566典型例题三】3n 21【变式2】已知数列an和bn满足：&,4 1 =2a。n 4, bn =(-仔 an其中人为实数，

7、n为正整数.(D对任意实数 九，证明数列an不是等比数列；(n)试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；解析：(I)假设存在实数九，使得数列an是等比数列，则a1,a2,a3必然满足a22= a1总32c 4,a1 一 1, a2 = 一 1 一 3,a3 = 一 - 4 39由a22=a1 83得9=0,显然矛盾，即不存在实数 九使得数列an是等比数列。(n)根据等比数列的定义：bn i(-1)n1an3(n 1) 21H -(-1)n an -3n 21-2an n-4-3(n 1) 21_ an - 3n 21-2 a -2n 14= _3% -3n 21 TOC o 1-5 h

8、z %-3n212=-=-an-3n2132即 bn 1 -bn3又b1 = - a3 21 = -(18)所以当1 = -18时，数列bn不是等比数列；当 九# 18时，数列bn是等比数列.类型二：数列与不等式例2. (2016江苏高考)记U=1,2,，100.对数列an ( nW N*)和U的子集T,若T =0，定义St=0 若T=t1, t2,tk,定义St =a+at2+ +atk.例如:T=1,3,66时，S = a+ a3+a66.现设an(nCN*)是公比为3的等比数列，且当 T=2,4时，ST=30.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意正整数 k(1 k 100),若 TG

9、 1,2，k,求证：S0,归纳可得3=ai a2 anan+i 0. TOC o 1-5 h z 2 an -12 k 口 k 口i i j产 f=1=F+F a +r%+广 0 0 0 nE 0no.对n=i, 2,，k0求和得：-i - - I +-=Vuuk.+l*k 口皂 “I-)=2+-3k0+l3k0+l - | -，k0 3k0+l 3k0+l另一方面，由上已证的不等式知，得ak +1 = &| -1口.白+；r+l胴: ,1 u k0 k0 kQaj +1 kq3z + l k0ak +l 2意，2k；+l + 2k：+l+ + 2k；+l)=2+2Vl 综上，2+士%产2+忐

10、.【变式2】设数列an的前n项和为Sn.已知a = a , an书=Sn +3n , n N* .(I )设bn =Sn 3n ,求数列bn 的通项公式;(n)右a2an，n = N，求a的取值范围.解析：(I)依题意，Sn 由Sn =an* =Sn+3n，即 Sn 书=2Sn +3n ,由此得 Sn 1 -3n 1 =2(Sn -3n).因此，所求通项公式为 bn =Sn _3n =(a3)2n,，nw N* .(n)由知 Sn =3n+(a3)2n,，nw N*,于是，当n22时,nn _1n _1n _2n _1n_2an =Sn Sn,=3 +(a3)x2-3-(a -3) 2=2父3

11、+(a3)2, an卡-an =4x3n-+(a 3)2n/ =2n12父(-)n +a-3,23 n 2当 n22 时，an 书 anu 12x(-)+a-3 0 a -9 .综上，所求的a的取值范围是-9,+8).类型三：实际应用问题例3.某地区现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食占有量比现在提1公顷)(粮食高10% ,如果人口年增长率为1% ,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？(精确到的一总产量单广=耕地面积人均粮食占有量=总：)解析：方法一:由题意，设现在总人口为 A人，人均粮食占有量为 b吨，现在耕地共有104公顷，于是现在的粮食单产量Ab10

12、二吨/公顷，10年后总人口为 A(1 + 0.01),人均粮食占有量 10b(1+0.1)吨，若设平均每年允许减少x公顷，则10年耕地共有(104-10 x)公顷，于是10年后粮食单产量为一一 10一A(1+0.0 )61+0.1)吨/公顷.10 -10 x由粮食单产10年后比现在增加22%得不等式:_ _ 10_A(1 0.01) b(1 0.1) Ab104 -10 x104(1 0.22)化简可得 104(1 0.01)10 (1 0.1) 1.5.得 n2 - 15n+540,即 6n9.【变式2】某地区原有森林木材存量为 a ,且每年增长率为25% ,因生产建设的需要每年年底要砍伐的

13、木材量为b ,设an为n年后该地区森林木材存量（1）写出an的表达式.（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于719a ,如果b = a 那97272lg2 = 0.30).1年后该地区森林木材存量为:2年后该地区森林木材存量为:5.a1 =一 a b ,45,5、2a2 = - a1 - b = () a -445(-1)b ,3年后该地区森林木材存量为:4年后该地区森林木材存量为:23 - - a? - ba4 =为-br/5、25a -()445 35：a-(4)叩1b,2 52 + +1b,4么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取解析：（1）依

14、题意，第一年森林木材存量为a,n年后该地区森林木材存量为:/5、n5、n4/5、n45 ,an (-) a -(-)(/. - 1b19（2）若b= - a时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于72即(5)na-n 197-1x a 5,即 nlg alg5 ,44.n .1-lg2 7=7lg5 -2lg 2 1 -3lg 2n =8.答：经过8年该地区就开始水土流失.【变式3】某种汽车购买时的费用为 10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年 2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少 年后报废最合算？(即

15、年平均费用最少)【答案】 设汽车使用年限为n年，f(n)为使用该汽车平均费用1 ，f n =10 0,9n (0.2 0.40.2n) 1n=10- 1-12=3n 10当且仅当 2= 即n=10 (年)时等到成立.10 n因此该汽车使用10年报废最合算.【变式4】某市2010年底有住房面积1200万平方米，计划从 2011年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.(1)分别求2011年底和2012年底的住房面积；(2)求2030年底的住房面积【答案】(1) 2011年底的住房面积为2012年底的住房面积为.(计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01)1200(1+5%) -20=1240 (万平方米)，1200(1+5%) 2- 20(1+5%) - 20=1282 (万平方米)，2011年底的住房面积为1240万平方米；2012年底的住房面积为1282万平方米.(2) 2011年底的住房面积为2012年底的住房面积为2013年底的住房面积为1200(1+5%) 20万平