数列高考题综述与教学建议

1、2010数列高考题综述与教学建议（南昌市第三中学 蒋玉清330077）随着我国普通高中新课程改革的不断向前推进， 2011年多个省高考数学将首次进行新课标后的自主命题。中学数学教学必须体现知识与技能、过程与方法、情感、态度与价值观三维目标，同时高考命题的一个重要原则是有于中学教学，按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”的命题指导思想。高考又是检验教学效果的一个重要形式，是中学教学的指挥棒，也是我们中学教师向社会交的一份答卷，因此，研究高考命题趋势，把握高考命题方向，探索教学改革新路子是数学教师必须完成的功课。数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。数列内容普通

2、高中课程标准教科书（北师大版）安排在必修5，说明这部分知识的学习定位在所有必修课程完成之后。高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都会出现，一般情况下都是一个客观题和一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.一、2010年高考数学列题情况对比现在对2010年高考的15份理科试题进行对比，呈现的特点是：（1）均出现一道大题；（2）处于压轴位置的数列解答题有5道，占15份试题的，其它为中档题；（3）以等差数列、等比数列为主线兼有不等式、函数与方程、数学归纳法、反证法等知识点的交汇。其中涉及等差数列、等比数列通项与求和的题有10道，占15份试题的，涉及数学归纳法的题有2道，涉及不等式的

3、题有4道，涉及递推数列的题有3道。卷型题序分数主要考查的知识点全国 = 1 * ROMAN I2214数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等全国 = 2 * ROMAN II1812数列的基本公式，数列的极限，不等式江西2214等差数列 安徽2012等差数列，数学归纳法与充要条件北京1613等差数列求通项，等比数列求和湖南2013等差数列，等比数列的性质，数列求和山东1812等差数列的通项公式与前n项和公式、裂项法求数列的和， 陕西1612等差数列的通项公式，等比数列求和上海2013等比数列，数列求项，等比数列定义及求和，数列的性质，不等式江苏1916等差数列的通项、求和以及基本不

4、等式四川2112等差数列的通项、等比数列求和、错位相减法求和，递推数列天津2214等差数列的定义及通项公式、前n项和公式，等比数列的定义、数列求和重庆2112递推数列，数学归纳法，不等式浙江1912等差数列通项、求和等湖北2013等差数列，等比数列，反证法二、2010年数列高考题型剖析（一）、关于等差数列的通项、求和与不等式整合例1、（2010年江苏）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。解析 （1）由题意知：， ，化简，得：，当时，适合情形。故所求（2）（方法一），

5、 恒成立。 又，故，即的最大值为。（方法二）由及，得，。于是，对满足题设的，有。所以的最大值。另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。于是，只要，即当时，。所以满足条件的，从而。因此的最大值为。（二）关于数列求和、等比数列的定义、一阶递推数列及函数、不等式的整合例2.（2010年上海）已知数列的前项和为，且，（1）证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。 解析：(1) 当n1时，a114；当n2时，anSnSn15an5an11，所以，又a11150，所以数列an1是等比数列；(2) 由(1)知：，得，从而(nN*)；解不等式SnSn1，得

6、，当n15时，数列Sn单调递增；同理可得，当n15时，数列Sn单调递减；故当n15时，Sn取得最小值（三）关于等差数列、数论基础知识、几何知识的整合例3（2010年江西）证明以下命题：（1）对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列；（2）存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列解析 （1）对任一正整数，可选，则 则。此时， 即成等差数列。（2）对于正整数，要使成等差数列, 即 故均为奇数，且由 ， 各因子均为偶数，而等式两边能分解为不同的两个偶因数的积，可设积为，令 ，； 。得 ， ， 。当 时，均为正奇数，且故可够成三角形的三边，且当时，三角形的三边与三角形的三边不成比例，

7、故可取任意，够成的无穷多个三角形均不相似。（四）关于数列通项的基本公式、数列的极限及不等式的整合例4（2010年全国 = 2 * ROMAN II）已知数列的前项和（）求；（）证明：解析：（1）， ，（2）当（五）关于等差数列的定义、等比数列求和、错位相减法求和及二阶等差数列的整合例5（2010年四川）已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）设bna2n1a2n1(nN*)，证明：bn是等差数列；（）设cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn.解析：(1)由题意，令m2,n=1,可得a32a2

8、a126 再令m3,n1，可得a52a3a1820(2)当nN *时，由已知(以n2代替m)可得a2n3a2n12a2n18于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8w_w w. 即 bn1bn8，所以bn是公差为8的等差数列(3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1a3a16,公差为8的等差数列则bn8n2，即a2n+1a2n18n2另由已知(令m1)可得an-（n1)2.那么an1an2n1_w 2n1 2n，于是cn2nqn1.当q1时，Sn2462nn(n1)当q1时，Sn2q04q16q22nqn1.两边同乘以q，可得 qSn2q14q26q32nqn.上述两式相减得

9、(1q)Sn2(1qq2qn1)2nqnw_w w. k#s5_u.c 22nqn 2所以Sn2，综上所述，Sn（六）关于递推数列、数列的单调性、不等式及数学归纳法的整合例6（2010年重庆） 在数列中，其中实数() 求的通项公式；() 若对一切有，求c的取值范围解析（1）解法一： 猜想下用数学归纳法证明.当时，等式成立；假设当时，等式成立，即，则当时，综上， 对任何都成立.解法二：（已知递推公式（，为常数）求通项公式.）由原式得.令，则，因此对有 ，因此，. 又当时上式成立.因此.（）解法一：由，得，因，所以.解此不等式得：对一切，有或，其中，.易知，又由，知，因此由对一切成立得.又，易知单

10、调递增，故对一切成立，因此由对一切成立得.从而的取值范围为.解法二：由，得，因，所以对恒成立.记，下分三种情况讨论.（）当即或时，代入验证可知只有满足要求.（）当时，抛物线开口向下，因此当正整数充分大时，不符合题意，此时无解.（）当即或时，抛物线开口向上，其对称轴必在直线的左边. 因此，在上是增函数.所以要使对恒成立，只需即可.由解得或.结合或得或.综合以上三种情况，的取值范围为.（七）关于等差数列、等比数列定义、通项、求和及累加、累积等知识的整合例7（2010年天津）在数列中，且对任意.，成等差数列，其公差为。（）若=，证明，成等比数列（）（）若对任意，成等比数列，其公比为。（i）设1.证明

11、是等差数列； (ii)若，证明解析 （）证明：由题设，可得。所以=2k(k+1)由=0，得于是。所以成等比数列。（）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得当1时，可知1，k从而所以是等差数列，公差为1。（ii）证明：，可得，从而=1.由（i）有所以因此，以下分两种情况进行讨论：当n为偶数时，设n=2m()若m=1,则.若m2，则+所以(2)当n为奇数时，设n=2m+1（）所以从而综合（1）（2）可知，对任意,有证法二：（i）证明：由题设，可得所以由可知。可得，所以是等差数列，公差为1。（ii）证明：因为所以。所以，从而，。于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。从而。所以，由，可得。于是，由（i）可知.以下同证法一。三、2011年高考数列教学建议从以上分析可看出，数列的综合题难度都很大，甚至很多都是试卷的压轴题，它不仅考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数学归纳法等重要思想，还涉及了配方法、换元法、待定系数法、放缩法等基本数学方法. 教学建议：加强数列、等差数列 、等比数列的定义、基本概念的教学；强化等差数列、等比数列的通项及前N项和公式的应用；公式在求数列通项的作用；加强数学归纳法、数列的极限在数列问题的应用；强化累和、累积求数