人教版导与练总复习数学一轮教学课件：第十章第7节　二项分布、超几何分布与正态分布

1、第7节二项分布、超几何分布与正态分布课程标准要求1.通过具体实例,了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布,理解超几何分布与二项分布的区别与联系,并能解决简单的实际问题.3.通过误差模型,了解正态分布的意义,理解正态曲线的性质,会用正态分布解决实际问题.必备知识课前回顾 回归教材 夯实四基关键能力课堂突破 类分考点 落实四翼必备知识课前回顾 回归教材 夯实四基知识梳理1.两点分布两点分布X01P1-pp我们称X服从 或 .一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)= ,D(X)= .01分布p(1-p)p2.二项分布(1)n重伯努利试验我们把只

2、包含 个可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验 进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然,n重伯努利试验具有如下共同特征:同一个伯努利试验重复做n次;各次试验的结果 .(2)二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)= ,k=0,1,2,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作 .两独立地重复相互独立XB(n,p)(3)二项分布的均值与方差如果XB(n,p),那么E(X)= ,D(X)= .npnp(1-p)释疑(1)两点分布是二项分布的特殊情况.(2

3、)二项分布是放回抽样问题(独立重复).3.超几何分布(1)超几何分布次品率次品率np释疑超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征:(1)考察对象分两类.(2)已知各类对象的个数.(3)从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.4.正态分布(1)连续型随机变量随机变量不是离散型的,它们的取值往往充满某个 甚至 ,但取一点的概率为 ,我们称这类随机变量为连续型随机变量.区间整个实轴0正态密度曲线若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从 分布,记为XN(,2)

4、.特别地,当 , 时,称随机变量X服从标准正态分布.若XN(,2),则如图所示,X取值不超过x的概率P(Xx)为图中区域 的面积,而P(aXb)为区域 的面积.正态=0=1AB(3)正态曲线的特点曲线是单峰的,它关于直线x=对称;当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴;当取固定值时,正态曲线的位置由确定,且随着的变化而沿x轴平移,如图所示.瘦高集中矮胖分散(4)正态分布的均值与方差若XN(,2),则E(X)= ,D(X)= .(5)正态分布在三个特殊区间内的概率P(-X+) ,P(-2X+2) ,P(-3X+3) .释疑在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变量X只取-3,+3中的

5、值,这在统计学中称为3原则.20.682 70.954 50.997 3重要结论对于XN(,2),由x=是正态曲线的对称轴知(1)对任意的a有P(X+a);(2)P(Xx0)=1-P(Xx0);(3)P(aXb)=P(Xb)-P(Xa).对点自测D解析:随机变量的分布列为01P1-mm所以E()=0(1-m)+1m=m,所以D()=(0-m)2(1-m)+(1-m)2m=m(1-m).故选D.A2.若随机变量服从正态分布N(2,2),在区间(4,+)上取值的概率是0.2,则在区间(0,2)上取值的概率为( )A.0.3B.0.4C.0.6D.0.83.箱中有标号为1,2,3,4,5,6且大小相

6、同的6个球,从箱中一次摸出2个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖.若有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是.4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所选3人中女生人数不超过1人的概率是.考点一n重伯努利试验与二项分布关键能力课堂突破 类分考点 落实四翼例1 (2021安徽合肥模拟)某地历史文化积淀深厚,民俗和人文景观丰富,科教资源众多,自然风光秀美,成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目,某旅游学校一位实习生在某旅行社实习期间,把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型,并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”

7、的学校中,随机抽取了100所学校,统计如下:研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中,随机抽取了3所学校,并以统计的频率代替学校选择“研学游”类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类,且不受其他学校选择结果的影响).(1)若这3所学校选择的“研学游”类型是“科技体验游”和“自然风光游”,求这两种类型都有学校选择的概率;例1 (2021安徽合肥模拟)某地历史文化积淀深厚,民俗和人文景观丰富,科教资源众多,自然风光秀美,成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目,某旅游学校一位实习生在某旅行

8、社实习期间,把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型,并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”的学校中,随机抽取了100所学校,统计如下:研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中,随机抽取了3所学校,并以统计的频率代替学校选择“研学游”类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类,且不受其他学校选择结果的影响).(2)设这3所学校中选择“科技体验游”的学校数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.解题策略与二项分布有关的期望、方差的求法(1)求随机变量的期望与方差时,可首先分析是否服从二项

9、分布,如果B(n,p),则用公式E()=np,D()=np(1-p)求解,可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(a+b)=aE()+b以及E()=np,求出E(a+b),同样还可求出D(a+b).针对训练 (2021四川遂宁高三三模)某校数学教研组,为更好地提高该校高三学生圆锥曲线的选择填空题的得分率,对学生圆锥曲线的选择填空题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新,其学校教务处为了检测其质量指标,从中抽取了100名学生的训练成绩(总分50分),经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.(1)求所抽取的样本平

10、均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2021四川遂宁高三三模)某校数学教研组,为更好地提高该校高三学生圆锥曲线的选择填空题的得分率,对学生圆锥曲线的选择填空题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新,其学校教务处为了检测其质量指标,从中抽取了100名学生的训练成绩(总分50分),经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.(2)将频率视为概率,从该校高三学生中任意抽取4名学生,记这4名学生圆锥曲线的选择填空题的训练的质量指标值位于(10,30内的人数为X,求X的分布列和数学期望.例2 在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随

11、机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;考点二超几何分布例2 在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A

12、2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列.典例迁移1 (变结论)在本例第(2)问,若用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数,求X的分布列.典例迁移2 (变结论)在本例第(2)问,若用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差,求X的分布列.解题策略求超几何分布的分布列的步骤第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.考点三 正

13、态分布角度一正态分布的计算例3-1 (2021安徽合肥高三二检)为了解A市高三学生的数学复习备考情况,该市教研机构组织了一次检测考试,并随机抽取了部分高三学生的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,试估计该市参加此次检测考试的学生的数学平均成绩0;(精确到个位)解:(1)由题意估计该市参加此次检测考试的学生的数学平均成绩为0=650.05+750.08+850.12+950.15+1050.24+1150.18+1250.1+1350.05+1450.03=103.2103(分).例3-1 (2021安徽合肥高三二检)为了解A市高三学生的数学复习备考情况,该市教研机

14、构组织了一次检测考试,并随机抽取了部分高三学生的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.(2)研究发现,本次检测考试的数学成绩X近似服从正态分布N(,2),其中=0,=19.3.按以往的统计数据,数学成绩能达到升一本分数要求的学生约占46%,据此估计在本次检测考试中达到升一本的数学成绩是多少分?(精确到个位)例3-1 (2021安徽合肥高三二检)为了解A市高三学生的数学复习备考情况,该市教研机构组织了一次检测考试,并随机抽取了部分高三学生的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.(2)研究发现,本次检测考试的数学成绩X近似服从正态分布N(,2),其中=0,=19.3.已知A市高三学生约有10

15、000名,某学生在此次检测考试中数学成绩为107分,则该学生在全市的排名大约是多少?解题策略(1)利用3原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的,进行对比联系,确定它们属于-,+,-2,+2,-3,+3中的哪一个.(2)利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=对称,及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面结论的活用:正态曲线关于直线x=对称,从而在关于x=对称的区间上概率相同.P(X0.977 25,所以A农场送来的这批棉花为合格的优质棉花.解题策略事件在-3,+3之外的为小概率事件,一旦发生,则说明生产存在问题,则要调整生产.针对训练 (202

16、1山东潍坊模拟)为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程,某企业每天从该生产线上随机抽取10 000个零件,并测量其内径(单位:cm).根据长期生产经验,认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X服从正态分布N(,2).如果加工的零件内径小于-3或大于+3均为不合格品,其余为合格品.(1)假设生产状态正常,请估计一天内抽取的10 000个零件中不合格品的个数;解:(1)抽取的一个零件的尺寸在-3,+3之内的概率为0.997 3,从而抽取一个零件为不合格品的概率为0.002 7,因此一天内抽取的10 000个零件中不合格品的个数约为10 0000.002 7=27.(2021山东潍坊模拟)为了

17、严格监控某种零件的一条生产线的生产过程,某企业每天从该生产线上随机抽取10 000个零件,并测量其内径(单位:cm).根据长期生产经验,认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X服从正态分布N(,2).如果加工的零件内径小于-3或大于+3均为不合格品,其余为合格品.备选例题例1例2例2 (2021江苏徐州一模)近日,某调查小组在一家大型超市进行了一项关于顾客使用移动支付情况的调查,调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人,得到如表统计数据:年龄段个数类型20,30)30,40)40,50)50,60使用移动支付45402515不使用移动支付0102045(1)现从这200人中随机依次抽取2人,在第1次抽到的人使用移动支付的条件下,求第2次抽到的人不使用移动支付的概率;例2 (2021江苏徐州一模)近日,某调查小组在一家大型超市进行了一项关于顾客使用移动支付情况的调查,调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人,得到如表统计数据:年龄段个数类型20,30)30,40)40,50)50,60使用移动支付45402515不使用移动支付0102045(2)现采用分层随机抽样的方法从使用移动支付的人中抽取25人做进一步的问卷调查.再从这25人中随机选出3人颁发参与奖,设这3人中年龄在40,50)中的人数为X