高中数学知识点精讲精析绝对值不等式的解法

1、4.2.1 绝对值不等式的解法要点精讲1含有绝对值的不等式的性质|a|- |b| |a+b| |a|+|b| 证明： -|a| a |a|, -|b|b |b|, -(|a|+|b|) a+b(|a|+|b|),|a+b| |a|+|b| 又 a=a+b-b, |-b|=|b| 由得 |a|=|a+b- b| |a+b|+|-b| ，即 |a|- |b| |a+b| 由得 |a|- |b| |a+b| |a|+|b| 由以上定理很容易推得以下的结论：|a|- |b| |a-b| |a|+|b|a 1+a2+a3| |a 1|+|a 2|+|a 3|2 几个基本不等式的解集|x|-aa xa 或

2、 x0)|x-m|0) -aX-M m-aXa(a0) x-ma 或 x-mm+a 或 xM-A3绝对值的定义：|a|=由定义可知： |ab|=|a|b|,4绝对值不等式的解法解含有绝对值不等式的基本思路，绝对值符号的存在是解不等式的一大障碍。因此 如何去掉绝对值符号使其转化为等价的不含绝对值符号的不等式是解决这类问题的关键， 常 采取划分区间逐段讨论， 从而去掉绝对值符号转化为一般不等式， 或利用绝对值表达的几何 意义转化为图像或曲线为解决。几种主要的类型22|f(x)|g(x)| f 2(x)g 2(x)|f(x)|g(x) f(x)g(x) 或 f(x)-g(x)|f(x)| -g(x)

3、|b|(2) |a+b|a|+|b|取等号a,b同号(3) |a|-|b| |a-b|取等号a,b同号且 |a|b|(4) |a-b| |a|+|b|取等号a,b异号典型例题注意绝对值的定义，用公式法即若 a 0，|x| a，则 a x a；若 a 0，|x| a，则 x a或 xa。1 解不等式 |2x 3| 3x 1解析】由题意知 3x 1 0 ，原不等式转化为(3x 1) 2x 3 3x 12x,5x 4,2x 3 3x 1,2x 3 3x 1,3x 1 0. 注意绝对值的非负性，用平方法题目中两边都是非负值才能用平方法， 否则不能用平方法， 在操作过程中用到 |x|2 x2 。2. 解

4、不等式 |x 1| |2x 3|两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。【解析】原不等式 |x 1|2 |2x 3|2 (x 1) 2 (2x 3) 2 (2x 3) 2 (x 1)2 04解得 x 2或 x3故原不等式的解集为 x|x 2或x43. 注意分类讨论，用零点分段法不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。3. 解不等式 |x 2| |x 1| 3解析】利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令x 1 0 和 x 2 0 得分界点 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark31 o Current Document x 1

5、、 x22 x 1,于是，可分区间 ( ， 2), 2，1，1, ) 讨论原不等式(x 2) (x 1) 3 x 2 (x 1) 3 x 2 (x 1) 3 HYPERLINK l bookmark37 o Current Document 解得 x 1或x2 HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 综上不等式的解为 x ( ， 2) (1，). 平方法 +定义法有些题目平方之后仍有一个绝对值号， 需要用定义去绝对值符号求解， 这种方法叫 “平 方法 +定义法”。4. 解关于 x 的不等式 |loga ax2| |loga x| 2【解析】11化 为

6、 |1 2l o agx| |l o agx| 2 后 ， 通 常 分 l o agx2 ， 2 l o agx 0 ，loga x 0 三种情况去绝对值符号，再分 a 1或0 a 1进行讨论，这样做过程冗长，极 易出错。改变一下操作程序，思路将十分清晰，过程也简洁得多，即原不等式两边平方得 4(log a x)2 4loga x 1 (loga x)2 4|loga x| 4。再由定义去绝对值号，有：loga x 0,(1)a 2 0 loga x 1 ；(loga x)2 1log a x 0,（2）2 3 log a x 0。3log a2 x 8loga x 3 0综上知 3 loga

7、 x 1故当 a 1时，解为 a 3 x a ；当 0 a 1时，解为 a x a 3 5不等式 |8 3x| 0 的解集是 ABR88Cx|x 3D 3分析 |8 3x| 0，8 3x 0，即 x 83答 选 C6绝对值大于 2 且不大于 5 的最小整数是 A3B2C 2D 5分析 列出不等式解 根据题意得 2|x| 5从而 5x 2 或 2 x 5，其中最小整数为 5，答 选 D7 不等式 4 |1 3x| 7的解集为 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形【解析】原不等式可化为 4|3x1|7，即 4 3x 17 或7583x14解之得 53x 83或2x1，即所求不等式解集为335x|

8、 2x1或 3x8已知集合 A x|2 |62x| 5，xN，求 A 分析 转化为解绝对值不等式【解析】2|62x|5 可化为2 |2x 6| 552x 62或2x62，即 1 2x 8或2x 4，11 1 解之得 4x 或 x 222因为 x N，所以 A 0，1， 5说明：注意元素的限制条件9解不等式 |x 5| |2x 3|1分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分【解析】3区间讨论，事实上，由于 x5时，|x5|0，x 2 时|2x3|03所以我们可以通过，5将 x轴分成三段分别讨论23解 当x 2 时， x 5 0， 2x 3 0所以不等式转化为 （x5）（2x3）

9、1，得 x 7，所以 x 7；3当 x 5时，同理不等式化为2（x5）（2x3） 3 ，所以 3 5 时，原不等式可化为x 5 （2x 3） 9，所以 x51综上所述得原不等式的解集为x|x 3或x |2x 3|分析 本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂如果采取两边平方，即根据 |a|b| a2b2 解之，则更显得流畅，简捷【解析】原不等式同解于（2x 1）2（2x3）2，即 4x24x 14x2 12x9，即 8x 8，得 x 1所以原不等式的解集为 x|x 1说明：本题中，如果把 2x当作数轴上的动坐标，则 |2x 1| |2x 3|表示 2x 到 1 的距离大于 2x 到 3 的距离，则 2x 应当在 2 的右边，从而 2x 2 即 x1说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组11解关于 x 的不等式 |2x 1| 2m 1（m R）分析 分类讨论1解 若 2m 1 0即m ，则 |2x1| 0即m ，则 （2m 1） 2x 1 2m 1，所以 1m2x 21 时，原不