精选范文黄金分割专项练习题有答案

1、黄金分割专项练习 3 0 题(有答案).定义：如图1,点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB,则不K点C为线段AB的黄金分割点.如图 2, ABC 中，AB=AC=1, /A=36, BD 平分 /ABC 交 AC 于点 D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长.如图，用长为 40cm的细铁丝围成一个矩形 ABCD (ABAD).(1)若这个矩形的面积等于99cm2,求AB的长度；(2)这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出 AB的长度，若不能，说明理由；(3)若这个矩形为黄金矩形(AD与AB之比等于黄金比 遮 T),求该矩形的面积.(结果保留根号) 2

2、.定义：如图1,点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB,则不K点C为线段AB的黄金分割点.如图 2, AABC 中，AB=AC=2, / A=36 , BD 平分 /ABC 交 AC 于点 D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长.作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比.(1)尺规作图并保留作图痕迹；(2)写出你的作法；(3)证明：腰与底之比为黄金比. (1)已知线段 AB的长为2, P是AB的黄金分割点，求 AP的长； (2)求作线段 AB的黄金分割点 P,要求尺规作图，且使 APPB.如图，线段AB的长度为1.(1)线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB

3、,求线段AC的长度；(选做)(2)线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC,求线段AD的长度；(选做)(3)线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD,求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？(提示：在每一小题中设x和1).如图，在 ABC中，AB=AC, /A=36, /1 = /2,请问点D是不是线段 AC的黄金分割点.请说明理 由.在 AABC 中，AB=AC=2, BC=/5 1 , /A=36, BD 平分 / ABC,交于 AC 于 D.试说明点 D 是线段 AC 的黄金分割点.在数学上称长与宽N比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当AB=/BC时，称

4、矩形ABCD为黄金矩形ABCD.请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.如图，设 AB是已知线段，在 AB上作正方形 ABCD;取AD的中点E,连接EB;延长DA至F,使 EF=EB以线段 AF为边作正方形 AFGH.则点H是AB的黄金分割点.为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说.如图，已知 AABC 中，D 是 AC 边上一点， /A=36, / C=72, ZADB=108.求证：AD=BD=BC;(2)点D是线段AC的黄金分割点.已知AB=2,点C是AB的黄金分割线，点 D在AB上，且AD2=BD?AB,求噜的值.ar

5、 赤-1.如果一个矩形 ABCD （AB BP,设以AP为边长的正方形面积为 S1,以PB为宽和 以AB为长的矩形面积为 S2,试比较S1与S2的大小.如图，在平行四边形 ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且 D为AE的黄金分割点，即出1蛆,BE交DC于点F,已知AB=V+1，求CF的长.V5 - 1 I.图1是一张宽与长之比为:1的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形.同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDG那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由.（如图1）,点P将线段AB分成一条较

6、小线段 AP和一条较大线段 BP,如果需考，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设 鲤聿=k,则k就是黄金比，并且 k1BP AR（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰 AAPB （如图2）,等腰AAPB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足底.腰 能一底+德啕勺等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：;（2）如图1,设AB=1,请你说明为什么 k约为；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的黄金分割线”，类似地给出 黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设 S1GD） 29.三角形中，顶角等于 36 的等腰三角形称为黄金三角形，如图

7、 1,在AABC中，已知：AB=AC,且 /A=36 :（1）在图1中，用尺规作 AB的垂直平分线交 AC于D,并连接BD （保留作图痕迹，不写作法）；（2） BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设里二匕试求k的值；ACBC（4）如图 2,在 AAiBiCi 中，已知 A1B1=A1C1, /Ai=108,且 AiBi=AB,请直接写出 口 二 的值.B1C130.如图1,点C将线段AB分成两部分，如果些J丑，那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小AB AC组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到黄金分割线”，类似地给出 黄金分割线”的定义：直线l将一个面

8、积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，如那么称直线l为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想：在 AABC中，若点D为AB边上的黄金分割点 (如图2),则直线CD是AABC的黄 金分割线.你认为对吗？为什么？(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交 AB于点E,再过点D作直线DF/CE,交AC于点F,连接EF (如图3),则直线EF也是 ABC的黄金分割线.请你说明理由.(4)如图4,点E是平行四边形 ABCD的边AB的黄金分割点，过点 E作EF/ AD,交DC于点F,显然直 线EF是平行四边形 ABCD的黄金分割

9、线.请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点.黄金分割专项练习30题参考答案：1 . (1)证明：AB=AC=1,Z ABC=Z C(180 - Z A) (180 - 36 ) =72 ,22BD平分/ABC交AC于点D,Z ABD=Z CBDABC=36 ,2Z BDC=180 - 3672 =72 ；DA=DB, BD=BC,AD=BD=BQ易得BD3AABC,BC: AC=CD: BC,即 BC2=CD?AC, ad2=cd?ac,点D是线段AC的黄金分割点； (2)设 AD=x,贝U CD=AC AD=1 x,AD2=CD?AC,x2=1

10、x,解得即AD的长为Vs.解：(1)设 AB=xcm,则 AD= (20 x) cm, 根据题意得x (20 x) =99,整理得 x2- 20 x+99=0 ,解得 X1=9, x2=11 ,当 x=9 时，20 x=11;当 x=11 时，20 11=9,而 ABAD,所以x=11,即AB的长为11cm；(2)不能.理由如下：设 AB=xcm,则 AD= (20 - x) cm,根据题意得x (20 x) =101,整理得 x2 20 x+101=0,因为 A =202 4X 101= 4 BC),且使AC是AB和BC的比例中项(即AB: AC=AC: BC),则C点为AB的黄金分割点7

11、.解：D是AC的黄金分割点.理由如下：.在 ABC 中，AB=AC, /A=36 : zABC-zACB-1SQ36 z_ ABC乙 ACB-722- / 1-/2,/ 1-/2 -L ABC-36 :2在 ABDC中，/ BDC-180 , / 2 / C-72 ; / C-/ BDC,BC-BD.- / A-/ 1 , AD-BC. , AABC和 ABDC中，/ 2-/A, / C-/C, ABCsBDC,.且一二 一 ，BD CD又. AB-AC, AD-BC-BD,.AD2-AC?CD,即D是AC的黄金分割点8.证明：. AB-AC, /A-36, / ABC工(180 - 36 )

12、 -72 ；2BD平分/ABC,交于 AC于D, / DBC2 ABCX 72=36 ；22/ A-/ DBC,又 /C-/C,. BCMMBC,BC CDAB BC.AB-AC, AB-AC-2, BC-1 ,. (V5 1) 2-2 X (2-AD),解得 AD-J5 1,AD: AC-(诉 T) : 2.点D是线段AC的黄金分割点.9.证明：在 AB上截取 AE-BC DF-BC,连接EF. AE-BC, DF-BC. AE-DF-BC-AD又 / ADF-90 ,四边形AEFD是正方形.be郃-AE=-3-BC - BC=爬 JbC，.BE V5 - 1-,BC 2,.矩形BCFE的宽

13、与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形.黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.解：设正方形 ABCD的边长为2, 在RtAAEB中，依题意，得 AE=1, AB=2,由勾股定理知EB= 1V.i=卜1= R,AH=AF=EF AE=EB AE=/S 1 , HB=AB AH=3 V5;. .ah2= (Vs T)2=6 2/5,AB?HB=2X (3 4)=6 2在， . . AH2=AB?HB,所以点H是线段AB的黄金分割点.证明：(1) ./A=36, /C=72, / ABC=180 - 36 72 =72 ；/ ADB=108 : / ABD=180 - 36 108

14、=36 ；AADB是等腰三角形，/ BDC=180 - / ADC=180 - 108 =72 ；ABDC是等腰三角形，. AD=BD=BC(2) ./DBC=/ A=36 , /C=/ C,ABCsBDC,.BC: AC=CD: BC, BC2=AC?DC,BC=AD,. ad2=ac?dc,.点D是线段AC的黄金分割点.解：D 在 AB 上，且 AD2=BD?AB,点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，AC=O b=1, AD=AB- 1 3-5AB=2Ab=3 返或 AD=/5 1, AC=3 ,CD=* 1( 3-V5) =2/1 4,. 2v3-诋-CD 2- 4 V5 -

15、 1 记“-厂2或记3-我一皂.解：矩形 ABFE是黄金矩形. . AD=BC, DE=AB,AE AE-BE BC-AB BC 12. V5+1二二三 _ - _ 1 =AB_ Ab - AB AB 在 -12矩形ABFE是黄金矩形.解：D为AB的黄金分割点-1jAD=AB=1045 10,EC+CD=AC+CD=AD EC+CD=(10V5 10) cm . .解：设他的肚脐到脚底的长度为x:=,ADBD),xm时才是黄金身段,x= x 以 m).:他的肚脐到脚底的长度为时才是黄金身段.解：(1)在RtAAPD中，AP=1, AD=2,由勾股定理知AM=AF=PF AP=PA AP=75

16、1, 1=AD AM=3 75.AM的长为V5 1, DM的长为3-M写;2)点M是AD的黄金分割点.PD=. ：，= E ,14-15根: 即 答16DM 故(由17又18把解; 故，19 证I又点M是AD的黄金分割点.解：点P是线段AB的黄金分割点，且 AP BP,AP2=BPX AB, S1=AP2, S2=PBX ABS1=S2.解：四边形ABCD为平行四边形，/ CBF=/ AEB, / BCF=Z BAE, BCM EAB,国也加鲤旦CF AE 皿， AD=Xi_L皿,AB=/s+1 代入得,得：CF=2.咨案为：2.解：矩形EFDC是黄金矩形, 里：二四边形ABEF是正方形,AB

17、=DC=AF .AB_V5-1 .AD 2AF V5-1 也.2 ，点F是线段AD的黄金分割点.FD_AF_V5-1AF-AD- 2ManDC 2,.矩形CDFE是黄金矩形.20.解:(1)满足宽；长 长二宽+长啕勺矩形是黄金矩形(2)由世=k 得，BP=1X k=k,从而 AP=1 k, AB由三二上得，BP2=APXBP AR即 k2=( 1 k) x 解得k= - 1 土后, 2k0,(3)因为点P是线段AB的黄金分割点，所以 埋里BF AB设 ABC的AB上的高为h,则辽皿士 h辽丽/pMh二-二. =-=S断BP saabc 即SabpcSABPC AABC直线CP是 ABC的黄金分

18、割线.AQ与CP交于点(4)由(2)知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q,则AQ也是黄金分割线，设W,则过点 W的直线均是 ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条.21 .解：根据已知条件得下半身长是 160 X =96cm设选择的高跟鞋的高度是xcm,则根据黄金分割的定义得：96+工_一.160+x 解得：XN故她应该选择左右的高跟鞋穿上看起来更美.22.解：设正方形 ABCD的边长为2a,在 RtAAEB 中，依题意，得 AE=a, AB=2a,由勾股定理知EB= , r,- 1= . a,AH=AF=EF AE=EE52 AE=(收 T) a,HB=AB AH= ( 3_ V5) a

19、；AH2= (6 2巡)a2,AB?HB=2aX （3-5） a= （6 - 2后）a2, AH2=AB?HB,所以点H是线段AB的黄金分割点.证明：设正方形 ABCD的边长为2,E为BC的中点，BE=1=. .=又B E=BE=1. .AB，= AET 离 1,.ab，AB=（忘一 1） s 2点B是线段AB的黄金分割点.证明：,正方形 ABCD的边长为2, E为BC的中点,BE=1AE%AB?+BE咪后EF=BE=1AF=AE EF=75 1,AM=AF=f5 1 , AM : AB=（而 1）：2,.点M是线段AB的黄金分割点.25.解：（1） .BD=DC=AC.贝|J/B=/DCB,

20、 /CDA=/ A.设 / B=x,则 / DCB=x, / CDA=/ A=2x.又/ BOC=108 ,/ B+/A=108.x+2x=108, x=36 :/ B=36 ；（2）有三个： A BDC, A ADC, ABAC. , DB=DC, / B=36 ；ADBC是黄金三角形，（或CD=CA / ACD=180/ CDA / A=36 .ACDA是黄金三角形.或: /ACE=108,/ ACB=72又 / A=2x=72 , / A=/ACB.BA=BC.ABAC是黄金三角形.ABAC是黄金三角形，,AC_V5-1 ,BC 2 . BC=2, .AC=/T_BA=BC=2, BD=

21、AC=/5 1 ,AD=BA BD=2 （ V & 1） =3 V5, 存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3.）以CD为底边的黄金三角形：作 CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点Pi、P2.）以CD为腰的黄金三角形：以点 C为圆心，CD为半径作弧与 BC的交点为点 P3 .证明：在正方形 ABCD中，取 AB=2a,N为BC的中点，NCBC=a2在RtADNC中，加叱口引/+）工后a- 又. NE=ND,CE=NE NC= （VeF- 1） a. -CD 2a 2故矩形DCEF为黄金矩形.解：（1）（2） CM=AB （4 分）.证明：如图，连接 GF,设正方形 ABCD的边长为1,

22、则DF*j.在 RtBCF 中，BF啦卷，则 A F=BF BA 近12设 AG=A G=x 则 GD=1 x,解得x班二L 2在 RtAA G和 RtADGF 中，有 AF2+AG2=DF2+DG2,即即点G是AD的黄金分割点（AGGD）.解：（1）如图所示；ABCD是黄金三角形.证明如下：二点D在AB的垂直平分线上，. AD=BD, / ABD=/A. / A=36 ； AB=AC, / ABC=/ C=72 ； / ABD=/ DBC=36又 / BDC=/ A+/ ABD=72 , / BDC=/ C,BD=BC,ABCD是黄金三角形.（3）设 BC=x, AC=y,由（2）知，AD=BD=BC=x.,/DBC=/A, /C=/C,. . B