等差数列典型例题及分析必看

1、第四章数列差数列的通项与求和 一、知识导学.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n项，.通项公式：一般地，如果数列 an的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来 表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.,.有穷数列：项数有限的数列叫做有穷数列 .无穷数列：项数无限的数列叫做无穷数列.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系 可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出ai,a 2,然后用递推关系逐一写出数

2、列中的项.,.等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表木.等差中项：如果a, A, b这三个数成等差数列，那么A= a.我们把A=- TOC o 1-5 h z 22叫做a和b的等差中项.二、疑难知识导析.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相 同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集（1, 2, 3,，n）的函数. 一个数列的通项公式通常不是唯一的.,S（n

3、1）3.数列an的刖n项的和Sn与an之间的关系：an右既适合&1 （n 2）.an（n2）,则an不用分段形式表布,切不可不求ai而直接求an.II4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a 1+（n-1）d=d - n+ a 1-d, a n是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（ n, an）均匀排列在一条直线上，由两点确定 TOC o 1-5 h z 一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.,5、对等差数列的前 n项之和公式的理解：等差数列的前 n项之和公式可变形为do ddd2Sn 一n （a1 一）n ,右令 A= ，B= ai,贝U Sn = An

4、 +Bn.22226、在解决等差数列问题时，如已知，a, an, d, Sn , n中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲例1已知数列1, 4, 7, 10,，3n+7,其中后一项比前一项大 3. （1）指出这个数列的通 项公式；（2）指出1+4+ （3n5）是该数列的前几项之和.错解：(1) an=3n+7;(2) 1+4+ + (3n5)是该数列的前 n项之和.错因：误把最后一项(含n的代数式)看成了数列的通项.(1)若令n=1,ai=10 1,显然3n+7 不是它白通项.正解：(1) an=3n 2;,(2) 1+4+ (3n5)是该数列的前 n-1项的和.,2.2例2已知数列an的

5、前n项之和为 Sn2n n Snn n 1求数列an的通项公式。错解： an 2n2 n 2(n 1)2 an n2 n 1 (n 1)2错因：在对数列概念的理解上，仅注意了(n 1) 4n 3I(n 1) 1 2n11an=SnSn-1与的关系，没注意 a1=S.正解： 当n 1时，a1 S11I当 n 2时，an 2n2 n 2(n 1)2 (n 1) 4n 3 I I经检验n 1时a11也适合，an 4n 3I当n 1时，a1 S13I当 n 2时，an n2 n 1 (n 1)2 (n 1) 1 2nI3 (n 1)an2n (n 2)例3已知等差数列 an的前n项之和记为Sw=10

6、, S30=70,则与。等于错解：&0= S10 , 2d.错因：将等差数列中d =30,S40= S30+d =100.,Sn, S 2m, S 3m成等差数列Sm, S 2m - Sm, S 3m Gm成等差数列误解为正解：由题意:10al30al10 9, d230 29 , d210得a1705，d215、一40 39代入得 S40 = 40al40d 120。2例4等差数列anbn的前n项和为Sn、Tn.若 STn7n 1a7(n N )，求；4n 27b7错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;b n=4n+27.a7b7104 7 2711S错因

7、：误认为STna nbn正解：包a7a7b7 b7b7S13T137 13 1924 13 2779例5已知一个等差数列an的通项公式an=25- 5n,求数列| an |的前n项和；错解：由an 0得n 5an前5项为非负，从第6项起为负,$=才 +a2+a3+a4+a5=50(n5)当 n 6 时，S= I a6 I + I a7 I + I a I + I an(205 n )( n 5 )250Sn= (20 5n)(n 5)2错因：一、把n 5理解为n=5,二、把“前n项和“误认为“从正解：n(45 5n)2(20 5n)(n 5)2,n 550, n 6例6已知一个等差数列的前10

8、项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前 n项和的公式吗？解：理由如下：由题设：S10 310S20 1220I I/口10al 45d 310 a1 4得：20al 190d 1220 d 6In(n 1)2Sn 4n6 3n n21 n例7已知：an 1024 lg2 (lg 2 0.3010) n N (1)问前多少项之和为最大？ ( 2)前多少项之和的绝对值最小？an1024 (1n) lg2010241024解：(1) n 1024n 102413401 n 3403an 11024 nlg2 0 lg 2 lg 2 n 3402(2) Sn 1024n n(n 1

9、)( lg 2) 0211当Sn 0或Sn近于0时其和绝对值最小一令：Sn0 即 1024+ 吗 1)( lg2) 0得：n 2048 1 6804.99lg2n Nn 6805px q 0的两根，求证此例8项数是2n的等差数列，中间两项为an和an 1是方程x2数列J白W口 s2n是方程lg2x (lg n21g p2)1g x (lg n1g p)20的根。(S2n0 )证明：依题意an an 1 pad an a a d p1 2n n n 1 p2n(a1 a2n)np5.已知a,b,c依次成等差数列，求证:222a bc,b ac,cab依次成等差数列 lg2x (lg n2 lgp

10、2)lgx (lg n lg p)2 0I2一(lg x lg np) 0-1 x np S2n(状证)。四、典型习题导练1 .已知 a13且anSn 1 2n，求 an及 Sn。2.设 an 1 22 33 4n(n 1) (n 1)2Jn(n 1),求证：an 。223.求和：(22 12)4.求和：(1002 992) (982 972)(42 32) TOC o 1-5 h z .在等差数列an中，a5 a1340 ,则a8 a9 a10()。A. 72B.60C.48D. 36.已知an是等差数列，且满足 am n,anm(m n),则am n等于，一.1 一1113.已知数列 成等

11、差数列，且a3,a5q，求a8的值。an 267比数列的通项与求和 一、知识导学.等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数歹U,这个常数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母q表示.等比中项：若a, G, b成等比数列，则称G(q 1)n a1a an q(q 1).等比数列的前n项和公式：sna1(1 qn)q二、疑难知识导析.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0,因此q也不为0.对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列

12、不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从.第2项或第3项起是一个等比数列.,.在已知等比数列的 ai和q的前提下，利用通项公式an=aiqn-1,可求出等比数列中的任一项.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=anqn-m可求等比数列中任意一项.等比数列 an的通项公式an=aiqn-1可改写为an 曳qn.当q0,且q 1时，y=qx q是一个指数函数，而y 亘qx是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列an q的图象是函数y 电qx的图象上的一群孤立的点. q.在解决等比数列问题时，如已知，ab an, d

13、, Sn , n中任意三个，可求其余两个。11三、经典例题导讲例1已知数列an的前n项之和S=aqn ( a 0,q 1, q为非零常数)，则an为()。11A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列.错解：an 1 Sn 1 Sn aqn 1 aqn aqn(q 1)n 1 .anSn Sn1 aq (q 1)am q (常数)an为等比数列,即Bo错因：忽略了 anSnSn中隐含条件n1.正解：当n=1时,ai=Si= aq;当n1时,anSnSn1aqn1(q 1)an 1a1既不是等差数列，也不是等比数列，选Co例2已知等比数列an的前n项

14、和记为S,So=10 , S30=70,则与0等于.错解：S30= S10 , q 2.S 40= S 30 q =错因：是将等比数列中Sm, S 2m - Sm, S 3m Gm成等比数列误解为Sm, S 2m, S 3m成等比数列.正解：由题意:a(1 q10)1 q30a(1 q )10得70a11 q q10102或q103(舍去)9。= (11 qq40)200.例3求和：a+a2+a3+an.n23 n 1 a错解： a+a +a + +a =1 a错因：是（1）数列 an不一定是等比数列,不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.正解：当a

15、= 0时,当a=1时,a+a2+a3+- +an= 0;a+a2+a3+an = n;当a 1时,a+a 2+a3+an=例4设a,b,c,d均为非零实数，a2b2 d2 2b a cd b2c2 0,证明:求证：a,b, c成等比数列且公比为 d 。证法一：关于d的二次方程 a2 b2 d 2 2b a c db2。有实根,4b2 a c4 a2 b2 (b2c2) 0b22ac 0则必有：b2 ac，非零实数a,b,c成等比数列aq ，2 .、c aq代入22 2.2a a q d 2aq a2 , aq d2qd证法二：: a2 b2 d 2 2b ab2 c20a2d2 2abd b2

16、,2.2 b d2bcd c2022-1 ad b bd c a,b,c,d 非零，ba例5在等比数列bn中，b43 ,求该数列前7项之积。解：bb2 b3b4b5b6b7bmb2b6 b3b5 b4b42b1b7b3 b5,2，刖七项之积3372187例6求数列n前n项和解：Sn2Sn1414181 3812n两式相减:2Snc1Sn2(1 5声）1_2n 1n2n11612n例7从盛有质量分数为 20%勺盐水2kg的容器中倒出次都倒出1kg盐水，然后再加入 1kg水，(n1)12n12n 12(1 日)n1 12n121kg盐水，然后加入1kg水，以后每问：（1）第5次倒出的的1kg盐水中

17、含盐多kg?(2) 经6次倒出后，一共倒出多少 kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少?解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为an,则:1 - ai 0.2(kg) ,a2 x 0.2由此可见：an ( l)n 1x0.2 (kg),2(kg) ,as ( 1 )2x 0.2 (kg)2a5 ( J)51* 0.2 ( 1 )4X 0.20.0125 22(kg)。1由(1)得an是等比数列a10.2 ,q-2“6、0.2(1 )S6 a(q 20.39375(kg)q 1 120.4 0.39375 0.00625(kg)0.00625 2 0.003125(kg)0.39

18、375kg答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg； 6次倒出后，一共倒出 盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。四、典型习题导练1.求下列各等比数列的通项公式：a1 2, a3 8a15,且 2an+1 3a3)a15,且与口 an TOC o 1-5 h z .在等比数列 an ,已知a1 5 , a9al0 100 ,求a18. 012n 1.已知无穷数列 105,105,105,10,求证：(1)这个数列成等比数列 1(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的一，10(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 23n 1.设数列 an为1,2x,3x

19、 ,4x nx x 0求此数列刖n项的和。.已知数列an中，a1 2 且 an+1Si,求 an , Sn.是否存在数列an,其前项和 S组成的数列S也是等比数列，且公比相同?.在等比数列 an中，a1a3 36, a2 a460, Sn 400 ,求n的范围。列的综合应用、知识导学.数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利 用数列知识建立数学模型.应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（

20、1）阅读理解材料，且对材料作适当处理； （2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列， 是求Sn还是求an. 一般情况下， 增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式.若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.二、疑难知识导析.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式 an 0或an 0 解决;an 1 0an 1 0n项和公a nam.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前

21、式时，勿忘分类讨论思想；.等差数列中，a m=an+ (n m)d, d am an ；等比数列中，an=amqn-m; qn m m n.当m+n=p+q （m n、p、qC N ）时，对等差数列 an有：am+an=ap+aq;对等比数列an /f ： arr3n二apHq；.若an、bn是等差数列，则kan+bbn（k、b是非零常数）是等差数列；若an、bn 是等比数列,则 kan、a nbn等也是等比数列;.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a 4+a5+a6,a 7+a8+a9）仍是等差（或等比）数列；.对等差数列 an,当项数为2n时，S偶6

22、奇=门;项数为2n1时，S奇一S偶=a中 （nC N ）;.若一阶线性递推数列 an=kan 1+b （kw 0,k w 1）,则总可以将其改写变形成如下形式：a_b_ k（a 1 _bn 2）,于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；n k 1 n k 1三、经典例题导讲例1设an是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.证明log1 Snlog 1 Sn 2即证：logNSn Sn2)log1S3由对数函数的单调性，只需证 （SnSn 2 ) logSn2只需证10gl Sn2log 1 Sn 222log Sn 1即证：log 1 (Sn2Sn 2 ) log 1 S2由对数函数的单调性

23、，只需证（Sn Sn 2） S：1由已知数列 an是由正数组成的等比数列,q 0, a10 .则Sn1)a122Sn 2 - Sn 1 = na(n 2)a1 (n1,SnSn 2 - Sn 1a2(1n 1、2q )(1 q)2(1 q)22 na q02Sn Sn 2 V Sn 1原不等式成立.例2 一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米）错解：因球每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形，一 一，1 ,成了一公比为 的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时,2共经过的路程

24、应为前 10项之和.1001 （）10即 So 2=199 （米）1 12错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况正解：“100了 2 -2=100 （米）因此到球第10次着地时共经过的路程为100100100 100100(1=10022印100tF10021 1 2 答：共经过300米。300 (米)球第一次着地时经过了 100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过例3 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄 a元一年定期，若年利率为 r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）

25、全部取回，则取回的钱的总数为多少？错解：年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以 a为首项，公比为1+r的等比数列的第19项，即a19=a（1+r） 18.错因：只考虑了孩子出生时存入的a元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入 a元.正解：不妨从每年存入的为 a（1+r） 18,1岁生日时的a元到2岁生日时的a元到a元到18年时产生的本息1718夕时成为a(1+r),18岁时成为a(1+r) 16,入手考虑，出生时的 a元到18年时变17岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r) ;a(1+r) 18+ a(1+r) 17+ a(1+r) 1a(1 r)1 (1 r)18 =1 (1 r)= a(1 r)19(1 r)r答：取出的钱的总数为 a(1 r)19 (1 r)。r111例 4求数列 1 1, 4 7 , 10,23a a a解：设数列的通项为 an,前n项和为Sn,则(3n 2),的前n项和。1an $ (3n 2) aSn(11时,14 7(3n 2)Sn(13n 2)n23n2