电磁感应中微元法的应用技巧及实例

1、电磁感应中微元法的应用技巧及实例无锡市第六高级中学 曹钱建摘要：微元法是电磁学中极其重要的一种研究方法，电磁学中无时无刻都在利用微元法处理问题，使复杂问题简化和纯化， 从而确定变量为常量达到理想化的效果。间题中的信息进行提炼加工，突出主要因素，忽略次要因素，恰当处理，构建新的物理模型，从而更好地应用 微元法，学好电磁感应这部分内容。关键词：微元法；电磁感应；高考新课标物理教材中涉及到微分的思想，相应的派生出大量的相关问题。而微元法与电磁感应相结合的问题更是常考点也是难点，本文将就此类问题的解决提供一套简便实用的方 法，及部分经典实例。电磁感应问题中的动生电动势模型中，金属杆在达到稳定之前的过程

2、是一个变加速过程(其中涉及到的v、E、I、F安、a都是变量)，常规的原理、公式都无法直接使用，使得很多学生遇到此类问题都觉得无从下手， 但此类问题却在近两年各地模拟卷和江苏高考卷 中，作为压轴题出现。其实这时可以采取“微元法”，即将所研究的变加速物理过程，分割成许多微小的单元， 从而将非理想物理模型变成理想物理模型；将变加速运动过程变成匀加速运动过程，然后选择微小的单元， 利用下面介绍的方法进行分析和讨论，可用一种比较简单且相对固定的模式解决此类问题。例1、如图甲所示，光滑绝缘水平面上一矩形金属线圈abcd的质量为 m电阻为R ad 边长度为L,其右侧是有左右边界的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向

3、外，磁感应强度大小为B, ab边长度与有界磁场区域宽度相等，在t=0时刻线圈以初速度 V0进入磁场，在t=T 时刻线圈刚好全部进入磁场且速度为vi,此时对线圈施加一沿运动方向的变力F,使线圈在t =2T时刻线圈全部离开该磁场区，若 上述过程中线圈的 v t图象如图乙所示， 整个图象关于t=T轴对称.(1)求t=0时刻线圈的电功率；F所做的功分别为多少？(2)线圈进入磁场的过程中产生的焦耳热和穿过磁场过程中外力(3)若线圈的面积为 S,请运用牛顿第二运动定律和电磁学规律证明：在线圈进入磁场过_ 2 _钓小B LS程中 Vo -Vi 二D2 . 22B L Vo2Wf = mv02一 mv1mRE

4、2解:t=0时，E=BLv线圈电功率 P=E-R(2)线圈进入磁场的过程中动能转化为焦耳热1212Q = mv0 mv122外力做功一是增加动能，二是克服安培力做功 (3)根据微元法思想，将时间分为若干等分，每一等分可看成匀变速，利用牛顿第二定律分 析可得： TOC o 1-5 h z BLIB2L2va 二 m m R等式两边同时乘以 At可得:b2l2b2latVLtLvt HYPERLINK l bookmark4 o Current Document mRmR因为时间 加极短，则a可认为恒定不变， 所以adt等于此极短时间内的速度改变量Av,同2B2LSmR理v也可认为恒定不变，所以

5、vAt等于此极短时间内的位移 Ax。则：B2L .B2L , 一aa At =LvAt 可得：v0-v1=Lx 即v0v1=2. 2B L v , 中构建出mRmRmR BII【题后小结】因为题中涉及到金属杆扫过的面积S,则将2=空mB2L 一Lv At这样就能出现题中已知重S。mR例2、如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于竖直平面内，两导轨间的距离为 d,导轨上面横放着两根导体棒Li和L2,与导轨构成回路，两根导体棒的质量都为m电阻都为 R,回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有与导轨所在面垂直的匀强磁场，磁感应强度为Bo两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，保持Li向上作速度为

6、 u的匀速运动，在t=0时刻将靠近Li处的L2由静止释放(刚释放时两棒的距离可忽略)，经过一段时间后 L2也作匀速运动。已知d=0.5m , m=0.5kg , R=0.1 Q , B=1T, 2g 取 10m/s。(1)为使导体棒L2向下运动，L1的速度u最大不能超过多少？凸(2)若L1的速度U为3m/s,在坐标中画出L2的加速度a 2与速率u 2的关系图像；2 -(3)若L1的速度u为3m/s ,在L2作匀速运动的某时刻，两棒 止的间距4m,求在此时刻前 L2运动的距离。二解： L 2刚释放时电路中电动势E1 = Bdu回路中电流I1 =互安培力F=BId 导体棒L2能向下运动，则2R却(

7、m ,玲mg F 得 u 4m/ s当L2运动速度为u 2时，回路中电动势 E = Bd(u +4)导体棒L2的加速度a=mg F 得a=2.5 2.扶2 m(3)当导体棒L2做匀速运动时，Li和L2两棒的速度分别是U和U2,由平衡条件得2 2B2d2（：2）二 mg2R得. 2 = 4m/s根据微元法思想，将时间分为若干等分，每一等分可看成匀变速，设当导体棒L2、Li的相对速度为u相时，利用牛顿第二定律分析可得：2 . 2B d v相 a = g 2RmB2d2 .2Rm取极短时间 A t,在时间A t内速度变化 A uB2d2a. ：t = g. ：tv相.：t% a. ：t = g” .

8、 ：t2Rm又u相At = Ax相得 口2 = gt 二二一X相2Rm代入数据得两棒间距为4m所用时间t=1.1s导体棒Li运动的位移 xi=ut= 3X1.1 n=3.3 m导体棒L2运动的位移x2 = 乂相x, = 0.7m【题后小结】因为题中涉及到金属杆的位移 x,则将a2 , 2B d v相 g 2Rm中构建出2 , 2B dv相.: t2Rm这样就能出现题中已知量x。例3、如图所示，光滑金属导体 ab和cd水平固定，相交于 O 点并接触良好，ZaOc=60 . 一根轻弹簧一端固定， 另一端连 接一质量为m的导体棒ef, ef与ab和cd接触良好.弹簧的 轴线与/ bOd平分线重合.虚

9、线吊血磁感应强度大小为 B、方 向竖直向下的匀强磁场的边界线，距O点距离为L. ab、cd、ef单位长度的电阻均为 r.现将弹簧压缩，t = 0时，使ef从距磁场边界 L处由静止释放，进入磁场后4刚好做匀速运动，当 ef到达O点时，弹簧刚好恢复原长， 并与导体棒ef分离.已知弹簧形变量为x时，弹性势能为1kx2 , k为弹簧的劲度系数.不计感应电流之间的相互作用. 2证明：导体棒在磁场中做匀速运动时，电流的大小保持不变；求导体棒在磁场中做匀速运动的速度大小vo和弹簧的劲度系数 k ；求导体棒最终停止位置距O点的距离.解：设匀速直线运动的速度为 vo, ef有效切割长度为l ,则电流：BlvoB

10、voI =，由于v。不变，所以I不变。或由平衡条件证明同样正确 3rl 3r由能量守恒，得：k (5L)2 - - kL2 =mv；2422设弹簧形变量为X,由平衡条件，得:2BIxtan30 = kx解得V0=并8mrk=黑 12mr ef越过O点后，与弹簧脱离，设导体棒最终停止位置距O点的距离为X。，某时刻回路中ef有效切割长度为Li, ef的速度为v,加速度为a,电流为I ,据牛顿第 TOC o 1-5 h z _ 2 2_ 2BIL1B2L1 vB2L1V二定律，得:a 二 -二二m3mL1r3mr取一小段时间 t ,速度微小变化为 v,回路面积微小增加为 S,则 等式两边同时乘以 A

11、t可得：B2 ,ait =L1V 工 t3mr即：、a. ：tB2, L1Vt 3mr 1B2S 3m r2得 x2 tan 300 = 0 - v03mr将第（2）问结果代入可得x0 =3区4【题后小结】虽然本题涉及的物理模型较前两题更为复杂，且切割的金属杆的长度也在不断变化，但在前两题的基础之上，还是容易发现题中涉及到金属杆的位移x与金属杆的有效切割长度及扫过的面积之间存在着定量的关系.BIL1B2L2vB2L1Vq ,贝U将a = -= -= -中构建m 3mr 3mr2出-BL1VAt这样就能出现问题中的 3mrx。【规律总结及问题拓展】 此类问题中对于金属杆的变加速运动过程的相关求解

12、,其基本步骤为（1）对金属杆进行正确的受力分析，再应用牛顿第二定律其加速度a肯定是包含F安在内的一个表达式；（2）根据题中条件或问题，对加速度a表达式中的5安=81部分进行合理的构建，具体的见上述例题中的“题后小结”。（3）对微分表达式进行求和， 等式左边的ait 的求和结果就是此过程的速度改变量，等式右边的求和就可得到问题的答案。除上述情况外， BI如题中出现通过金属杆的电量q ,则只要在表达式中构建出 BLIAt即可。m【成功应用】（2009年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷）15如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为a ,条形匀强磁场的宽度为 d,磁感应强度大小为 B、方向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“ a ”型装置，总质量为 m置于导轨 上。导体棒中通以大小恒为 I的电流（由外接恒流源 产生，图中未图出）。线框