秒杀题型04离心率椭圆与双曲线解析版

1、离心率说明：离心率在高考中属于高频考点，部分考题难度较大，要求考生熟练掌握以下类型。秒杀题型一：利用焦点三角形求离心率。，一,.2c秒杀思路：利用定义，求出 e 2c o 2a秒杀公式：椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为型一（正弦定理）。sin sin双曲线：利用焦点三角形两底角sin() sin sin1.（高考题）在平面直角坐标系 xOy中，已知2 x ABC顶点A（ 4,0）和C（4,0），顶点B在椭圆 一2521上，则9sin A sinCsin B:秒杀公式：sinA sinCsin B2.(2013年新课标全国卷2 x II)设椭圆C:2 a2y 1 b2(ab 0）的左、右焦点分

2、别为F1, F2 , P是C上的点，pf2PF1F230 ,则C的离心率为3A.61B.31C.23D.3秒杀公式:PF2sin 90PFi302 ，则 |FE3t,即 2a 3t, 2c V3t , e2c2a色选D。3sin 90 sin 3033.（高考题）已知Fi , F2是椭圆的两个焦点，过Fi且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于AB两ABF2点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是、3A. 一32B.32 C. 2-3D. 一2【解析】：AF1F2与上题完全相同，选 AoFi,F2,过Fl作倾斜角为30的直线交双曲224.（高考题）双曲线 萼 1 1（a 0,b 0）的左、右焦点分别是 a

3、 b线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（A. i6秒杀公式:PF2t, PE2t ,则 F1F23t ,即 2a2ce 3 3 ,选 B o 2asin 9030sin 90 sin 3033 ,选 Bo5.（高考题）设椭圆的两个焦点分别为Fi ,F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（b.H2C.2工PF22c, PFi272c,则 F1F2 2c,即 2a 2v 2c 2c , e2c2a2c2% 2cW2 1, 2c、2秒杀公式:sin 9045sin 90 sin 4522 2 1 ,选 D。1型26.（高考题）已知正

4、方形 ABCD，则以A, B为焦点，且过C, D两点的椭圆的离心率为【解析】：取一个焦点三角形，同上题,22一一x v7.（2013年辽宁卷）已知椭圆C : 匕 a b1(ab 0）的左焦点为F ,C与过原点的直线相交于A, B两点连接 AF,BF.若 AB| 10, AF| 6, cosABF4 一，一、一,则C的离心率e =5【解析】：由余弦定理得222462| BF |21022 10 | BF | -，得| BF | 8, A到右焦点的距离也是8,5由椭圆定义：2a 61058 14, 2c 10, e 10 51478.（2016年新课标全国卷22x yII11）已知E, F2是双曲

5、线E : 2 七 1的左、右焦点，点M在E上，MFi与x轴垂a b直，sinMF2F11 -一一一,则E的离心率为A. .233B.2【解析】：MF1 1 ,则 MF2秒杀公式:C. . 33,F1F22Csin 90MF2F1cosD. 2272 , 2a MF2 MF1 2, eMF2F1sin90 sin MF2F1C的两个焦点，P是C上的一点，若PFi9.（2018年新课标全国卷II文）已知Fi,F2是椭圆且 PF2F1 60，则C的离心率为A.1 32B.233 1C.2D. . 3 1PF2 1,则 PFi3,FiF22,2c2a .3v13 1 ,选 D。1sin 90秒杀公式:

6、sin 60sin 302、，一 ，一 x10.（图考题）椭圆：,a2 y b21(ab 0）的左、右焦点分别为F1 ,F2，焦距为2c,若直线y 3 3( x c)与椭圆的一个交点M满足MF1F22 MF2F1,则该椭圆的离心率等于【解析】：同上题，e3 1。N的两条渐近线与2 x 11.（2018年北东卷）已知椭圆M:二 a TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark31 o Current Document 22yx1(a b 0),双曲线 N ：2 bm椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为N的离心率为【解析】：设其中一个

7、交点为P,则PF1F2为焦点直角三角形，设则有 IPF2I 73,FiF22,椭圆的离心率为色 0 1,双曲线渐近线的倾斜角为 60 ,双曲线的离心率为 2。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark60 o Current Document 22 HYPERLINK l bookmark208 o Current Document xy12.（高考题）已知Fi,F2是双曲线二 气 1（a0,b 0）的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形 MF1F2, HYPERLINK l bookmark212 o Current Document ab若边MF1的中点在双曲

8、线上，则双曲线的离心率为D. 3 1A. 4 2.3B. . 3 1C. -1-【解析】：设中点为P（右），PF2 1 , PF13 , F1F22c 22c 2 , 2a 33 1 , e . 3 1,2a , 3 1秒杀公式：e sin-90 一 3 1 ,选 D。sin 60 sin 30. 3 122_x13.（高考题）F1和F2分别是双曲线 ar2_ 1（a 0,b 0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半 b径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心为（A. -.3B. 55 C. 2D.13【解析】：取 AF1F2,同上题，e网1 ,选D。2x

9、14.（图考题）设F1, F2是双曲线C : a2当 1（a 0,b 0）的两个焦点若在C上存在一点P使PF1PF2,b2且 PF1 F2 30，则C的离心率为 【解析】：同上题，e61。15.（高考题）设F1, F2分别是双曲线22彳4的左、右焦点，若双曲线上存在点a2 b2A,使 F1AF2 90 且AF1 3 AF2，则双曲线的离心率为（）A在B匝 C逅 D而.2. 2. 2.【解析】：设AF2 1,则AF13, F1F2 2c 10 , 2a 2, e 丝瓷，选 B。2a 216.（高考题）在4ABC中，A3）90 , tanB .若以A,B为焦点的椭圆经过点4C，则该椭圆的离心率【解

10、析】：设AC 3t ,则BC 5t , AB2c 4t12c 4t , 2a 8t, e 一一。2a8t24秒杀公式：e 51 3517.（高考题）已知长方形ABCD ,AB4,BC3,则以A, B为焦点，且过C,D两点的椭圆的离心率【解析】：取一个焦点三角形，同上题,2 x18.（2016年山东卷）已知双曲线 E : a2 y_ b21（a 0,b 0）,若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB,CD中点为E的两个焦点，且2 AB 3BC，则E的离心率是【解析】：取一个焦点三角形 AF1F2，设AB 6t ,则BC 4t3t, F1F2 4t 2c, AF25t,2a 2t, e2c 42a 2

11、t2。19.（Wj考题）设ABC是等腰三角形，ABC 120,则以A, B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（1.2A.21.3B.2C.12【解析】：ABBC 2c,AC_ _ _ 2c2 3c, 2a 2,3c 2c, e 22a2c2、3c 2c口选2Bo20.（高考题）在 ABC中，ABBC , cosB ，若以A, B为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率 18【解析】：AB BC由余弦定理得：AC2 4c2 4c228 2一 c9100 2c9AC102a c3162c c,32c2a2c16- c321.（高考题）设圆锥曲线C的两个焦点分别为 Fi,F2，若曲线C上存在点P满足

12、PFi : F1F2 : PF2 =4:3:2，则曲线C的离心率等于 （1 - 3A. 一 或一22C.1 或 22D.2或332【解析】：设 PR 4t, F1F2 3t, PF2 2t ,当曲线为椭圆时,2a 6t, 2c 3t , e当曲线为双曲线时,2a 2t , 2c 3t , e2c 12a 22c2a2222.（高考题）设E,F2是双曲线C：与当 a b1（a 0,b 0）的两个焦点，P是C上一点，若PF且2aIPF2I 6a,且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为:设P在双曲线右支上，由双曲线定义得 PF1PF22a,4a,PF1F2 最小，PF1F2 30,由余弦定理：

13、（2 a）24a2 16a2 4c2 .3 4a 2c,eV3 oPF1(4a)24a, PF2 2a, 2a 2c,(2c)2 2 (4a) (2c)cos30 ,23.（高考题）设F1, F2分别为双曲线22x y-y 2r 1(a 0,b 0)的左、a b右焦点,双曲线上存在一点P使得|PFi |IPF2I 3b,|PFi | |PF2|4A. 35B.-3-ab,则该双曲线的离心率为 49C.-4D.3:设P在双曲线右支上，由双曲线定义得 PF1 PF2PFi3b 2a2，PF23b 2a29b24a29-b4Tb15 ”ab，或一一(舍去)， e ,选 B。44 a 3 a 3322

14、24.（高考题）椭圆、匕 1（a为定值，且aJ5）的左焦点为F ,直线xa5m与椭圆相交于点A,B,FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是【解析】：设右焦点为F2, 由椭圆定义得：AF AF2 BF BF2 4a,由AF2 BF2AB ，FAB2的周长的最大值是 4a 12, a 3, c 2, e 2。32225.（高考题）设F是双曲线C :勺4 1的一个焦点，若C上存在点P ,使线段PF的中点恰为其虚轴的 a b一个端点，则C的离心率为【解析】：法一：设 F是双曲线的左焦点，可得 P c,2b，代入得e J5。法二：设F是双曲线的左焦点，F2是双曲线的右焦点，则 PF2 F1F2

15、,秒杀题型二：寻找 a,b,c关系求离心率。秒杀思路：如果建立 a,b或b,c或a,b,c的关系，一般情况要通过平方消去b2一 2b, b 2a, e J5 。 ab化简为a,c关系求离心率。221.（2018年新课标全国卷I）已知椭圆C：与 L 1的一个焦点为（2,0），则C的离心率为（）1A.31B.2C 2C.2D.a 42 -2【斛析】：a 8 e,选Co22.（2015年新课标全国卷II11）已知A,B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（）A. 5B.2C. 3D. . 2【解析】：可得 M2a, J3a，代入双曲线得a b,e J

16、2 ,选D。6 C.23.（2010年新课标全国卷）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点4,2，则它的离心率5D.2【解析】：双曲线的渐近线为，代入点得a一.52b ,平方得e，选2Do2一 ，一，一、x4.（图考题）已知双曲线a2 y b21的一条渐近线方程为4y gx,则双曲线的离心率为（5A.34B.3【解析】：双曲线的渐近线为y bxa5C.-4b3D.-245一， e 一,选。335.（2011年新课标全国卷7）设直线1过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，1与C交于A,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 （）A. 2B. 3C.2D.32 b2【解

17、析】： AB为通径长， AB =上匕 a4a，即 b2 2a2,得 e 旧，选 B。6.（2012年新课标全国卷4）设Fi,F2是椭圆E:22x ya2b21(ab 0）的左，右焦点，P为直线x 也上一2点，F2P弓是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（） TOC o 1-5 h z A. 1B. -C.-D.- HYPERLINK l bookmark167 o Current Document 233a3【解析】：|PF2| |F1F22c 2F2A 23a c，得 e j 选 C。24 1（a b 0）的左焦点，A, B分别 b22 x 7.（2016年新课标全国卷III11）已知。

18、为坐标原点，F是椭圆C :a为C的左、右顶点.P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M ,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 （1A. 31B.-22C.33D.4【解析】：由线段成比例得:MF a cOE a1OEMFa /日,得ea c HYPERLINK l bookmark148 o Current Document 22xy8.（2017年新课标全国卷I15）已知双曲线 C : 马 HYPERLINK l bookmark138 o Current Document ab1(a 0,b0）的右顶点为 A,以A为圆心，b为半径作圆A,圆A与双曲线C

19、的一条渐近线交于 M、N两点.若 MAN60，则C的离心率为. 一.3 一【解析】：可得MAN为等边三角形， A到渐近线的距离为 Bb,得a J3b ,2,3 _ b 八秒杀方法：由a _2 3可得（利用焦点到渐近线的距离为b）0 c b 2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark120 o Current Document 229.（2017年新课标全国卷II9）若双曲线C:勺 4 1（a 0, b 0）的一条渐近线被圆 x 2 2 y2 4 a b所截得的弦长为2,则C的离心率为（）A.2B. 3C. . 2D. 33【解析】：由圆心到渐近线的距离为屈,即,2

20、b ” V3 ,平方得e 2 ；a2 b2c秒杀方法：画图可得渐近线的倾斜角为,即b 3 ,平方得e 2。3 a HYPERLINK l bookmark124 o Current Document 22- xy10.（2017年新课标全国卷III10）已知椭圆C :二 2T 1 （a Qb 0）的左、右顶点分别为 A,4,且ab以线段 AA2为直径的圆与直线 bx ay 2abA 26B 4C1A.B.C.【解析】：因为圆与直线相切，即圆心到直线距离等号0相切，则C的离心率为 （）/曰 2ab 2aba 得：,a,即 c 2b, a v3b ,22a b c6e ，选 A。3 HYPERLI

21、NK l bookmark77 o Current Document 22xy11.（2018年新课标全国卷II12）已知RE 是椭圆C : 三 ab1（a b 0）的左 右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为 竺,的直线上,PFF2为等腰三角形FF2 P 120，则C的离心率为（2A.一31B.-2C.13D.【解析】：可得 P 2c, J3c , A a,0 , kPA. 3c2c a3/曰c1一，得e，选 D。6a412.（高考题）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为Fi,F2 , FMIF2 120，则双曲线的离心率B 6 B.2、6c.32 x 13.（图考题）过双曲线 a2 y

22、 b21 a 0,b 0的左焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线相交于以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于【解析】：设右顶点为b2A2 ,左焦点为F1,则MFiA,为等腰直角三角形，可得一ae 2 0, e 2, e 1（舍去）。2 一x 214.（高考题）如图，Fi,F2是椭圆C1 :一 y1与双曲线4C2的公共焦点，A,B分别是Ci,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率为A.、2B. 33C.2-6D. 一2【解析】：在双曲线中，可得 c屈,在椭圆中，利用焦点三角形面积公式得S AFiF2- 2b1 tan- 1 ,在2双曲线中，SAF1F2b22 tanb2 1 , a2e四选D。22215.（高考题）椭圆x2匕 a b1(a