高考一轮复习通用版分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学案

1、第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题考向预测考情分析：分类加法计数原理、分步乘法计数原理、两个原理的综合应用是高考的热点，题型以选择题为主，难度将会变小学科素养：通过两个计数原理的应用考查数学抽象、数学建模的核心素养积 累 必备知识基础落实赢得良好开端一、必记1个知识点两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有_，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不种的方法完成一件事需要_，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有

2、N_种不同的方法完成这件事共有N_种不同的方法提醒分类的关键在于要做到“不重不漏”；分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步在分类与分步之前要确定题目中是否有特殊条件限制二、必明2个常用结论1分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类2分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”三、必练3类基础题(一)判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个

3、步骤的方法是各不相同的()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()(二)教材改编2选修23P10练习T4改编已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为()A16 B13 C12 D103选修23P12T5改编设集合A1，3，5，7，9，B2，4，6，8，aA，bB，则直线axby2 021有()条A4 B5 C20 D94选修23P5例3改编书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书从书架中任取1本书，则不同取法的种数为_(三)易错易混5(分类分步不清导致出错)有3女2男共5名

4、志愿者要全部分配到3个社区去参加志愿服务，每个社区1到2人，甲、乙2名女志愿者需到同一社区，男志愿者到不同社区，则不同的分法种数为_6(分类分步不清导致出错)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为_提 升 关键能力考点突破掌握类题通法考点一分类加法计数原理基础性、应用性 例1(1)椭圆x2m+y2n1(m0，n0)的焦点在x轴上，且m1，2，3，4，5，n1，2，3，4，5，6，7，则这样的椭圆的个数为()A10B12C20D35(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_听课笔记：一题多变1(变条件)在例1(1)中，若m1，

5、2，k，n1，2，k(kN*)，其他条件不变，则这样的椭圆有多少个？2(变条件)若例1(2)条件变为“个位数字不小于十位数字”，则这样的两位数有多少个？反思感悟应用分类加法计数原理解决问题的三个步骤【对点训练】12022湘赣十四校联考有一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为()A8 B15C18 D302.如图，从A到O有_种不同的走法(不重复过一点)3如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为_考

6、点二分步乘法计数原理基础性、综合性 例2(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18C12 D9(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有_种不同的报名方法听课笔记：一题多变1(变条件)若本例2(2)中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？2(变条件)若将本例2(2)条件中的“每人至多参加一项”改为“每人参加的项目数不限”，其他不变，则有多少种不同的报名方法？反思感悟用分步乘法计数

7、原理解决问题的三个步骤【对点训练】12022兰州市高三诊断考试2019年9月1日兰州地铁1号线启用新列车运行图，进一步增加上线列车数量、缩短列车运行间隔、延长运营时间两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人进入车厢的方法共有()A15种B30种C36种D64种22022东北三校联考永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区居民建筑，是中国古建筑的一朵奇葩.2008年7月，永定土楼成功列入世界遗产名录它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧土楼具体有圆楼、方楼、五角楼、八角楼、日字形楼、回字形楼、吊脚楼等类型现某大学建筑系学生要重点对这七种类型的土楼依次进行调

8、查研究要求调查顺序中，圆楼要排在第一个或最后一个，方楼、五角楼相邻，则不同的排法种数为()A480 B240 C384 D1 440考点三两个计数原理的综合应用综合性、应用性角度1与数字有关的问题例3用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成_个无重复数字的四位偶数(用数字作答)听课笔记：反思感悟与数字有关的问题常见的有以下4类：(1)组成的数为“奇数”“偶数”被某数整除的数”；(2)在某范围内的数；(3)各数字的和具有某种特征；(4)各数字满足某种关系.角度2与涂色、种植有关的问题例4现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则

9、不同的涂色方法的种数是()A120 B140C240 D260听课笔记：反思感悟涂色问题大致有两种解答方案(1)选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，这时用分步乘法计数原理进行计数(2)根据涂色时所用颜色数的多少，进行分类处理，这时用分类加法计数原理进行计数.角度3与几何图形有关的问题例5如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A48 B18C24 D36听课笔记：反思感悟求解此类问题可借助于空间几何体，仔细分析题意中涉及的点、线、面的位置关系，把握好分类的标准和分步的顺序是求解的

10、关键.角度4与集合、数列有关的问题例6(1)已知集合M1，2，3，4，集合A，B为集合M的非空子集，若对xA，yB，xn.以m的值为标准可分为四类：m5时，n有4种选择；m4时，n有3种选择；m3时，n有2种选择；m2时，n有1种选择故由分类加法计数原理可知，符合条件的椭圆共有10个(2)根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5 6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8765432136(个)答案：(1)A(2)36一题多变1解析：因为mn，所以当mk时，n1，2，k1；当mk1

11、时，n1，2，k2；当m3时，n1，2；当m2时，n1.所以共有12(k1)kk-12(个)2解析：分两类：个位数字大于十位数字的两位数，由例1(2)知共有36个；个位数字与十位数字相同的有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个由分类加法计数原理知，共有36945(个)对点训练1解析：由题意知本题是一个分类计数问题：证明方法分成两类，一是用综合法证明，有5种选法，二是用分析法证明，有3种选法，根据分类加法计数原理知共有358种选法答案：A2解析：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有ABO和ACO2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有ABCO

12、和ACBO2种不同的走法由分类加法计数原理可得共有1225(种)不同的走法答案：53解析：若a22，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120，121，共2个；若a23，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有236(个)；若a24，满足条件的“凸数”有3412(个)；若a29，满足条件的“凸数”有8972(个)所以所有凸数共有26122030425672240(个)答案：240考点二例2解析：(1)由题意可知EF共有6种走法，FG共有3种方法，由分步乘法计数原理知，共有6318(种)走法解析：(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人：第一个项目有6

13、种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理可得，不同的报名方法共有654120(种)答案：(1)B(2)120一题多变1解析：每人都可以从这三个智力项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理可得，不同的报名方法共有36729(种)2解析：每人参加的项目数不限，因此每一个项目都可以从六人中任选一人，根据分步乘法计数原理可得，不同的报名方法共有63216(种)对点训练1解析：设这两位同学分别为甲、乙，由题意，可分为两步：第一步，甲同学从这6节车厢中选择一节进入有6种选法，第二步，乙同学从这6节车厢中选择一节进入有6种选法，所以两人进入车厢的方法共有6

14、636(种)答案：C2解析：解决本题分三步，第一步，由于方楼、五角楼相邻，故先将二者捆绑看成一个整体，有A22种排法；第二步，圆楼要排在第一个或最后一个，有A21种排法；第三步，其余五种(八角楼、日字形楼、回字形楼、吊脚楼、方楼五角楼)全排列，有A55种排法故不同的排法种数为A22A21 A55225432480.答案：A 考点三例3解析：要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不能为0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中四个数字不重复，因此应先分类，再分步第1类，当千位数字为奇数，即取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一个，百位数字不能取与这

15、两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字根据分步乘法计数原理，有3454240(种)取法第2类，当千位数字为偶数，即取2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字根据分步乘法计数原理，有3354180(种)取法根据分类加法计数原理，共可以组成240180420(个)无重复数字的四位偶数答案：420例4解析：由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，最后涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，到C处有3种涂法，D处有3

16、种涂法，由此可得不同的涂色方法有54(1433)260(种)答案：D例5解析：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个所以正方体中“正交线面对”共有241236(个)答案：D例6解析：(1)A1时，B有231种情况；A2时，B有221种情况；A3时，B有1种情况；A1，2时，B有221种情况；A1，3，2，3，1，2，3时，B均有1种情况故满足题意的“子集对”共有7313317(个) (2)根据题意知a，b，c的取值分别是区间7，14中的8个整

17、数之一，故公差d的取值范围是区间3，3中的整数当公差d0时，有C818(种)；当公差d1时，b不取7和14，有2C6112(种)；当公差d2时，b不取7，8，13，14，有2C418(种)；当公差d3时，b只能取10或11，有2C214(种)综上，不同的分珠计数法有8128432(种)答案：(1)17(2)32对点训练1解析：由题意可得，比40 000大的五位数万位只能是4或5，当万位是4时，由于该五位数是偶数，个位只能从0或2中任选一个，其余三位数字从剩下的四个数中任选三个，有243248(种)情况；当万位是5时，由于该五位数是偶数，个位只能从0，2或4中任选一个，其余三位数字从剩下的四个数中任选三个，有343272(种)情况；由分类加法计数原理可得，满足题意的数共有4872120(个)答案：B2解析：如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按ABCD顺序涂色，下面分两种情况：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有432248(种)(2