自动控制原理第二章课件可编辑版(PPT 24页)

1、第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型 通过前面的学习我们知道，自动控制理论是研究自动控制系统三方面性能的基本理论。 设控制系统控制系统输入输出加上输入信号tr(t)0tc(t)0求出输出响应根据输出响应即可分析系统的性能。 怎样根据输入信号求系统的输出响应？ 如果知道控制系统的数学模型就可求出系统的输出响应。 分析系统性能的第一步就是建立系统的数学模型，这是第二章的主要内容。数学模型：描述系统动态特性的数学表达式。数学模型反映了系统各变量之间的关系。常用的数学模型：(2) 微分方程(3) 传递函数(4) 频率特性(1) 代数方程(5) 动态结构图 其中微分方程是最基本的，其

2、它可以通过微分方程求得。 建立微分方程的方法：(1) 解析法(2) 实验法这一章介绍解析法。第1页，共24页。第一节 控制系统的微分方程第三节 传递函数第四节 动态结构图第五节 反馈控制系统的传递函数第六节 数学模型的建立与化简举例 第七节 用MATLAB处理系统数学模型 第二节 数学模型的线性化第二章自动控制系统的数学模型第2页，共24页。第一节控制系统的微分方程一、建立微分方程的一般步骤二、常见环节和系统的微分 方程的建立 三、 线性微分方程式的求解上一目录第二章自动控制系统的数学模型第3页，共24页。第一节 控制系统的微分方程（1）确定系统的输入变量和输出变量一、建立系统微分方程的一般步

3、骤 系统通常由一些环节连接而成，将系统中的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系统的微分方程。列写系统微分方程的一般步骤： 根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程组。（2）建立初始微分方程组 将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。（3）消除中间变量，将式子标准化 下面举例说明常用环节和系统的微分方程的建立第4页，共24页。ucur二、常见环节和系统微分方程的建立1 RC电路+-ucur+-CiR输入量：输出量：第一节 控制系统的微分方程(1) 确定输入量和输出量(2) 建立初始微分方程组(3) 消除中间变量，使式子标准化ur= Ri + uc

4、i = Cducdt根据基尔霍夫定律得： 微分方程中只能留下输入、输出变量，及系统的一些常数。RCducdt+ uc= urRC电路是一阶常系数线性微分方程。第5页，共24页。2机械位移系统系统组成：质量弹簧阻尼器输入量弹簧系数km阻尼系数fF(t) 输出量y(t) (2) 初始微分方程组F = ma根据牛顿第二定律第一节 控制系统的微分方程系统工作过程：(1) 确定输入和输出F(t) FB(t) FK(t) = ma中间变量关系式:FB(t) = fdy(t)dtFK(t) = k y(t)a =d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ ky(t) = F(t)+消除中间 变

5、量得:第6页，共24页。3他激直流电动机Ud系统组成：直流电机负载输入:电枢电压励磁电流If电磁转矩Te负载转矩TL摩擦转矩Tf工作原理： 电枢电压作用下产生电枢电流，从而产生电磁转矩使电动机转动.输出:电动机速度n第一节 控制系统的微分方程第7页，共24页。根据基尔霍夫定律有 电动机的电路等效图:eb+-udLaidRadiddt ud = Rd id+Ld+ebeb =CenCe 反电势系数反电势根据机械运动方程式 dndt Te -TL Tf =GD2375Te =Cm id Cm 转矩系数GD2 飞轮惯量为了简化方程，设TL = Tf = 0id =GD2375Cmdndt.+ n =

6、+GD2 Ra375CmCedndtGD2375d2ndt2Cm CeRaLaRaudCe定义机电时间常数：GD2 Ra375Cm CeTm =电磁时间常数：LaRaTa = 电动机的微分方程式为：+ n =d2ndt2Tm Ta+ TmdndtudCe第一节 控制系统的微分方程第8页，共24页。4液位系统第一章里已经介绍了工作原理：其中:qi0流入箱体 的流量qo0流出箱体 的流量qi0qo0h0液面高度h0qi流入箱体 流量增量+qiqo流出箱体 流量增量+qoh液面高度 增量+hA箱体面积根据物料平衡关系dtAdh0+h(t)=qi0+qi(t)-qo0+qo(t)平衡时：qi0=qo0

7、故dtAdh(t)=qi(t)-qo(t)qo(t)的流量公式qo(t)=ah(t)得:dtAdh(t)=qi(t)+ah(t)第一节 控制系统的微分方程第9页，共24页。 根据实例可知：系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成。第一节 控制系统的微分方程系统微分方程的一般表达式为：dtm+bmr(t) = b0dm-1r(t)dtm-1+b1+dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+dnc(t)dtna0dn-1c(t)dt n-1+a1dc(t)dt +an-1 将已知输入信号代入微分方程中，求解微分方程即可求得系统输的出响应。微分方程r(t)c(t)

8、第10页，共24页。三、线性微分方程式的求解第一节 控制系统的微分方程 工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。拉氏变换法求解微分方程的基本思路：线性微分方程时域t拉氏变换代数方程复数域s代数方程的解求解拉氏反变换微分方程的解第11页，共24页。第一节 控制系统的微分方程1拉氏变换的定义如果有一函数满足下列条件：(1) t 0 时 f(t)=0 (2) t0 时 f(t)是分段连续的 0(3) f(t)e dt -stf(t)的拉氏变换为：0F(s)= f(t)e dt -st记作 F(s)=Lf(t)拉氏反变换为： f(t)=L-1 F(s)第12页，共24页。2常用函数的拉氏变换第一

9、节 控制系统的微分方程(1) 单位阶跃函数I(t)f(t)t010F(s)= I(t)e dt -st=S1(2) 单位脉冲函数(t)f(t)t00F(s)=(t)e dt -st=1(3) 单位斜坡函数tf(t)t00F(s)= t e dt -st=S21(4) 正弦函数Sintt0f(t)=s2 +20F(s)= Sint e dt -st(5) 余弦函数Cost0F(s)= Cost e dt -st=s2 +2s(6) 指数函数-atef(t)t010F(s)= e e dt -at-st=1s+a(7) 抛物函数t212t2e120F(s)= -st dt f(t)t0=S31第1

10、3页，共24页。3拉氏变换的定理(1) 线性定理 Laf1(t)+bf2(t)= aF1(s)+bF2(s)例 求正弦函数f(t)=Sint的拉氏变换 解：2je -eSint =jt-jt LSint= 2j1s-j1-s+j1=s2 +2(2) 微分定理 L df(t)dt= sF(s)-f(0)例 求阶跃函数f(t)=I(t)的拉氏变换 解：已知 dtdt=I(t) Lt= s21 LI(t)= L( dtdt)=ss21-0=1s第一节 控制系统的微分方程 L d2f(t)dt2= s2F(s)-sf(0)-f(0)第14页，共24页。(3) 积分定理 Lf(t)dt=1sF(s)+f

11、-1(0)s(4) 延迟定理 Lf(t-)-s=eF(s)例 求f(t)=t-的拉氏变换 解：f(t)t0tt-sF(s)=Lte=s2-s1e(5) 位移定理-atLe f(t)=F(s+a)解：例 求f(t)=e Sint的拉氏变换 -atF(s)=(s+a)2+2(6) 初值定理Lim f(t )=lim sF(s)st0(7) 终值定理Lim f(t )=lim sF(s)ts0第一节 控制系统的微分方程第15页，共24页。4拉氏反变换象函数的一般表达式：F(s) =b0 sm + b1 sm-1 + + bm-1 s + bma0 sn + a1 sn-1 + + an-1 s +

12、an分解为K(s z1 )(s z2 )(s zm )(s p1 )(s p2 )(s pn )=零点极点转换为=s-p1A1+s-p2A2+s-pnAn则p1tf(t)=A1ep2t+A2epntAne+部分分式法求拉氏反变换 , 实际上是求待定系数A1 ,A2 ,An .极点的形式不同,待定系数的求解不同,下面举例说明. 待定系数第一节 控制系统的微分方程第16页，共24页。(1) 不相等实数极点Ai= F(s)(s-pi ) s=pi解：例 求拉氏变换 s2+4s+3 F(s)= s2+5s+5 (s+1)(s+3) F(s)=1+ s+2=1+s+1A1s+3A2A1=F(s)(s-p

13、1 ) s=p1(s+1)(s+3) = s2+5s+5 s=-1=(s+1)(s+3) (s+2)(s+1)21=A2=F(s)(s-p2 ) s=p2s=-3=(s+1)(s+3) (s+2)(s+3)21=21+f(t)=(t)+e-t21e-3t第一节 控制系统的微分方程第17页，共24页。(2) 复数极点A(s)(s p1 )(s p2 )(s pn )F(s)=p1 ,p2 共轭复数极点分解为=(s-p1 )(s-p2 )A1 s+A2+s-p3A3+s-pnAn F(s)(s-p1 )(s-p2 ) s=p1=A1s+A2 s=p1根据求待定系数A1 ,A2 . 例 求拉氏变换

14、s(s2+9) F(s)= s+1解：A1s+A2 +s (s2+9) F(s)=A3 =A1s+A2 s=j3F(s)(s2+9)s=j3A2=1 19A1= - 19A3= -s/9+1 +s(s2+9) =1/9 s/9 -s(s2+9) F(s)=1/9 1 +(s2+9) 1391-f(t)=Sin3t91Cos3t +第一节 控制系统的微分方程第18页，共24页。(3) 重极点第一节 控制系统的微分方程A(s)(s p1 )r(s pr+1 )(s pn )F(s)=有r个重极点分解为=(s-p1 )rA1 +s-pr+1Ar+1+s-pnAn+(s-p1 )r-1A2 +s-p1

15、Ar dr-1F(s)(s-p1 )rAr= s=p11 ( (r-1)! dsr-1)下面举例说明第19页，共24页。例 求拉氏变换 第一节 控制系统的微分方程(s+2)F(s)= s(s+1)2(s+3) 解：F(s)=+s+1A1s+3A2(s+1)2+sA3+A4分解为按不相等实数极点确定A1 ,A3 ,A4 得：-12A1= 23A3= 112A4= d2-1F(s)(s-p1 )2A2= s=p11 ( (2-1)! ds2-1)d= s=-1 ds(s+2) s(s+3) -34= -34A2= +-43+f(t)=e-t32e-3t2-te-t121将各待定系数代入上式得：第2

16、0页，共24页。5用拉氏变换解微分方程 下面举例说明求解线性微分方程的方法。第一节 控制系统的微分方程例 求拉氏反变换 r(t) =20I(t)+2c (t) = r(t)+3d2c(t)dt2dc(t)dt c(0)=5c(0)=15解：(1) 将微分方程拉氏变换s2C(s)-sc(0)-c(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s) = 20s20s+5s+30= C(s)(s2+3s+2) (2) 解代数方程 s(s2+3s+2) C(s)= 5s2+30s+20(3) 求拉氏反变换 s(s+1)(s+2)= 5s2+30s+20s+C(s)=+s+1A1s+2A2A3s+=+s+110s+25-10-10ec(t)=10+5e-t-2t第21页，共24页。例 已知系统的微分方程式，求系统的 输出响应。r(t) =(t) + 2c (t) = r(t) +2d2c(t)dt2dc(t)dt c(0) = c(0) = 0解：将方程两边求拉氏变换得：s2C(s) + 2sC(s) + 2C(s) = R(s)R(s) = 1 C (s) = s2 + 2s +21=(s+1)2 + 11求拉氏反变换得：c(t) = e t sin t 输出响应曲线 c(t)r(t)r(t)t0