3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程 课件（人教B选修2-1）

1、空间向量在立体几何中的应用直线的方向向量与直线的向量方程第三章空间向量与立体几何学习导航学习目标重点难点重点:利用向量的方法证明平行与垂直问题.难点:用直线的方向向量求异面直线所成的角.新知初探思维启动1.用向量表示直线或点在直线上的位置(1)直线的方向向量与直线_的非零向量,叫做此直线的方向向量.平行或共线(2)空间直线的向量参数方程点A为直线l上的定点,a为直线l的一个方向向量,点P为直线l上任一点,t为一个任意实数.以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程.做一做1.若A(1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,

2、1,3) D.(3,2,1)答案:A2.用向量方法证明线线平行、线面平行、面面平行(1)设空间直线l1与l2的方向向量分别为v1,v2,则l1l2(或l1与l2重合)_.(2)已知两个非零向量v1,v2与平面共面,一条直线l的一个方向向量为v,则l(或l)存在两个实数x,y,使_.v1v2vx v1yv2(3)平面与平面平行已知两个不共线的向量v1,v2与平面共面,则或与重合_.3.用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成角为(锐角),则直线方向向量间的夹角与_.设直线l1与l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2_,cos_.v1且v2相等或互补v1v2|cosv1,v

3、2|想一想2.两条直线所成的角如何通过这两条直线的方向向量的夹角求得？提示:当两方向向量的夹角是锐角时,两者相等,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两直线所成的角.做一做3.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150,则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()或150D.以上均错答案:A典题例证技法归纳题型探究例1【名师点评】利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置,进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.变式训练题型二用向量法证明平行问题 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E、F分别是BB1、DD1的中点,求证:(1)FC1平面ADE；(2)平面

4、ADE平面B1C1F.例2【名师点评】用向量方法证明空间中的平行关系线线平行设直线l1、l2的方向向量分别是a、b,则要证明l1l2,只需证明ab,即akb(kR).线面平行根据线面平行的判定定理,在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.证明一条直线l与一个平面平行,只需证明l的方向向量能用平面内两个不共线向量线性表示.面面平行转化为相应的线线平行或线面平行.变式训练2.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB4,AD3,AA12,P、Q、R、S分别是AA1、D1C1、AB、CC1的中点.证明:PQRS.例3【名师点评】(1)证明两直线垂直,可转化成两直线的方向向量垂直,即证其数

5、量积为零.(2)求两条异面直线所成角常用的方法有两种:向量法即通过两条直线方向向量的夹角来求两条异面直线所成的角.定义法(平移法)由两条异面直线所成角定义将求两条异面直线所成角的大小转化为平面角求解.求解的方法是解三角形.变式训练3.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是B1C1,C1D1的中点,且AA12,ABAD1.(1)求证:EFA1C；(2)求直线A1C1与DF所成角的余弦值.如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,O是B1D1的中点.求证:B1C平面ODC1.备选例题方法技巧1.直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理.2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点.方法感悟3.两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得,但二者不完全相同,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角,即直线的方向向量的夹角与相等或互补.失误防范1.注意向量平行与直线平行