函数大题的走向与教学建议

1、函数大题的走向展望与教学建议函数是高中数学的核心内容，是中学数学各主干知识的交汇点，也是数学思想、方法的综合点，又是初等数学与高等数学的衔接点，还是中学数学联系实际的切入点，所以函数理所当然地成为历年来高考的重点和热点。函数还常与其它如数列、不等式、解几等知识点相结合考查学生的综合数学素养，在考查函数基础知识的同时，往往会涉及对数学思想方法的考查，如函数与方程、分类讨论、数形结合、等价转化等。一、“函数”的高考内容首先，2015年浙江省的考试说明还未出来，我想关于“函数”的高考内容只是去年“导数”这一块内容，将其放在IB模块考查，而其他内容变化不会太大，摘录如下：(一)函数概念与基本初等函数（

2、指数函数、对数函数、幂函数）1函数（1）了解函数、映射的概念，会求一些简单的函数定义域和值域。 （2）理解函数的三种表示法：解析法、图像法和列表法。（3）了解简单的分段函数，并能简单应用。（4）理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性。（5）理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值。（6）会运用函数图像理解和研究函数的性质。2指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景。（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。（3）理解指数函数的概念，会解决与指数函数性质有关的问题。3对数函数（1）理解对数的

3、概念及其运算性质，会用用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。（2）理解对数函数的概念；能解决与对数函数性质有关的问题。 4幂函数(1）了解幂函数的概念。(2）结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=, y=x的图像，了解它们的变化情况。5函数与方程了解函数零点的概念，能判断函数在某个区间上是否存在零点。6函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征。（2）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。概括起来，我想重点是：1.函数图象与性质，包括定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，图象变换，对称性，函数的零点，最值等； 2.函数常与不等式、

4、数列、解析几何等知识综合起来考查；3.函数与方程的思想方法的运用，注意数形结合，分类讨论，等价转化等思想综合运用。函数解题策略：突出一个性质单调性；强化一类特殊函数二次函数；体现一种思想方法数形结合；凸显一种典型转化变量（参数）分离；注意一个易错点分类讨论混乱。这里顺便提醒：函数符号书写正确，如与是不同意义的；函数记号认识清楚，比如：是偶函数，而不是“是偶函数”等；审题要清楚，如不单调与单调，存在与任意，不等式有解与恒成立，等等。二、近五年浙江省高考试卷“函数与导数”考查情况统计分析2010理科卷题号题型分值主要考查内容9选择题5函数零点，三角函数10选择题5函数与集合，对数函数概念、定义域、

5、值域、图像22解答题14函数的极值、导数的运算，导数应用，等差数列，2010文科卷题号题型分值主要考查内容2选择题5求对数函数，及对数运算性质9选择题5函数零点的概念，零点的判断21解答题15函数的极值、导数的运算，切线方程，导数应用，等差数列2011理科卷题号题型分值主要考查内容1选择题5分段函数，求函数值10选择题5数学语言理解，函数零点22解答题14函数的极值、导数的运算，导数应用，不等式2011文科卷题号题型分值主要考查内容5选择题5函数的极值、图象11填空题4求函数值、解方程21解答题15函数的单调性、导数的运算，导数应用，不等式2012理科卷题号题型分值主要考查内容9选择题5函数的

6、性质（单调性）与不等式17填空题4函数与不等式22解答题14三次函数的导数，函数的单调性、最值 ，不等式，线性规划，绝对值的意义2012文科卷题号题型分值主要考查内容10选择题5函数的性质（单调性）与不等式16填空题4函数的性质（周期性、奇偶性）21解答题15三次函数的导数，函数的单调性 ，不等式，绝对值的意义2013理科卷题号题型分值主要考查内容3选择题5对数、指数运算法则4选择题2函数的奇偶性与三角函数，充要条件结合8选择题5函数的极值，指数函数22解答题14三次函数的导数，导数的几何意义，函数的单调性、最值 ，绝对值的意义2013文科卷题号题型分值主要考查内容7选择题5二次函数，不等式1

7、6填空题4函数与不等式21解答题15三次函数的导数，导数的几何意义，函数的单调性 、最值，绝对值的意义2014理科卷题号题型分值主要考查内容6选择题5三次函数与不等式7选择题5指数函数、对数函数的图象性质10选择题5二次函数，三角函数，绝对值的意义，函数的单调性15填空题4分段函数、复合函数与不等式22解答题14三次函数的导数，函数的单调性、最值 ，不等式，绝对值的意义2014文科卷题号题型分值主要考查内容7选择题5三次函数与不等式8选择题5指数函数、对数函数的图象性质15填空题4分段函数、复合函数与方程21解答题15三次函数的导数，函数的单调性、最值 ，不等式，绝对值的意义在浙江高考试题中，

8、函数与导数（不含三角函数）占较大的比重，分值一般在2025分，题量题型：“1大两小或三小”，但在2014年高考略有超出，有33分。近年，我们浙江在对重点内容的考查，其命题设计的追求目标有这么一种倾向：“出活题，创新意，重知识，显能力”，函数作为重点内容之一，当然也不例外，但考查的最多的是它的工具性和思想性。而导数作为函数内容的延续，在考查导数的概念及其几何意义的同时，着重考查了导数在函数中的应用，其命题形式也在标新立异之列，且以压轴题的形式出现。从近三年的试题内容来看，对函数的考查，主要特点有：力重问题情境的创新，力重表述形式的新颖，力重知识点的交汇，力重能力的立意等，形式还是小题与大题并存，

9、考查的难度高、中、低档同在。对导数的考查，则常以函数为载体，以导数为工具，以函数诸多性质和导数极值理论、单调性质、几何意义及其应用为目标，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向。再从同年份的文、理科试卷来分析，都是采用部分共同题、部分背景相似但要求不同的“姐妹题”（如2014年文科21题与理科22题），以及部分试题背景和要求完全不同的试题。把抽象思维和运算能力要求相对较高的试题放在理科卷，文科卷则将这些试题具体化，并简化运算过程。这里需要指出的，近三年2012，2013，2014年压轴题考查的都是“三次函数的导数，函数的单调性、最值 ，不等式，绝对值的意义”，而且解析几何大题也与函数最值

10、有关，来进一步说明函数的重要性、工具性、思想性。三、函数大题的出题展望由于2015年高考内容与以往有较大变化，将导数列入IB模块考察，因此，明年的高考将会不同于往年，往年将函数与导数问题列为高考压轴题的状况将出现变化，我认为，这里的变化将会有两个方向：（1）仍将函数问题作为压轴题，只是将导数内容移出；（2）压轴题出现变数，不再只限于函数问题。当然，我认为也有不变的是：函数在整卷所占的份额应该不会变，函数在整卷中的地位不会变，函数在整卷中的题量题不会有大变，还会是“一大两小或三小”（注：2014年理科“一大四小”文科还是“一大三小”，我认为2015年“一大四小”可能性小，因为你中要看一下近五年的

11、高考，也只有2014年的理科）。下面就函数大题的出题作一点展望，至于是否仍将作为压轴题，我认为这要看函数大题的难度是否“够格”，更重要的也是关键的，要看命题组组长的命题思路，因为组长确定函数问题作为压轴题，函数问题的难度也就上去了。另外，可参考一下2015年的高考考试说明，一般而言，我省高考题型与考试说明一致，尤其是数学，到目前为此还没有出现变化现象（小变化有的，如三道题选二道），当然，别的科目是有变化情况的，如语文。首先，作为大题的函数问题，以“三个二次”（即二次函数，二次方程，二次不等式）问题为最有可能。因为“三个二次”问题可以多参量，可以与绝对值结合，可以与整数性质（简单的数论知识）结合

12、，也可与对数、指数、三角结合，等等，内容五花八门，要难度有难度，而且处理问题的思想方法丰富，分析问题解决问题的能力要求高，在以往的高考竞赛中常常出现，下面摘录一二。1.（2013年1月省学考压轴题）（i）在区间（，1）上单调，求取值范围；(ii) 已知存在实数，使当时恒成立，试求的最大值及此时的值。(ii)解一：（按二次函数对称轴分类讨论）具体见参考答案，这里省略。需要指出，其解答的关键是对各种不等关系的巧妙处理，这还是需要平时教学中有意识地加以培训。解法二：（分离参数法）首先，由，得。由，知存在实数，使得对恒成立，2.（全国卷高考题）已知当时，恒成立。（I）证明：当时，；（II）当时，在-1

13、,1上的最大值为2，求的表达式。分析：（I）由一次函数性质可知，只要证即可；（II）先由在-1,1上的最大值为2可得，再，知对恒成立，再由二次函数性质得的图象对称轴为，3. （全国卷高考题）设。已知方程的两个实根满足。（I）当时，求证：；（II）设的图象对称轴为，求证：。本题将三个“二次”及函数图象综合在一起，涉及一元二次方程的根的分布，一元二次不等式的解特点，二次函数的图象，还涉及二次函数的解析式的不同形式。也就当然可从不同角度得到多种解法，是一道好题，也有一定难度。其中，较好的方法是，用“两根式”来设二次函数的解析式，即，4.（北约自主招生试题）不等式对恒成立，求的最大值。分析：设，则不等

14、式等价于，对恒成立。在分类讨论过程中，有一个核心（或关键）部分：，如何求的最大值？这里有两条思路：一是转化为在直角坐标系下的非线性规划问题，即图解法，有超纲之嫌；二是，设代入不等式，得，将此看成关于的不等式有实数解，从而应有判别式，进而得，再验证等号可成立。（这里特别指出：一元二次不等式有解也有判别式法，不要认为一元二次方程有解才有判别式法）5.（2009年浙江省赛题）设，证明：当时，。分析：若采用按二次函数图象对称轴位置讨论来解时，要用二次函数的图象特点，知的最大值总在区间端点处或图象的顶点处取得。当然，我们也看到还有不用分类讨论的方法，但用绝对值不等式性质。这里特别指出：绝对值不等式性质绝

15、对要加强，很有必要。6.（2009年浙江省夏令营试题），求证：至多有2个不同的整数满足。分析：用反证法：假设有三个不同整数满足，就利用两个整数至少相差1的特点。7.（2013年外省高考试题）已知。设关于的不等式的解集为M，若，求的取值范围。分析：首先，由得。大大缩小的取值范围，起简化讨论的作用。再结合的图象可由的图象向右平移个长度单位而得到，8.（2013年浙江省赛试题）设在区间3,4上至少有一个零点，试求的最小值。分析：将方程化为，看成在直角坐标系下的直线方程，于是原点到该直线的距离为，这里采用几何法，非常规化的思维，当然利用根的分布去分析，就比较难了。纵观历年的高考或竞赛试题，“三个二次”

16、的问题很多，近几年浙江省赛中都有考查，2010，2011，2012，2013，2014均有，这里不再一一列举了，还有很多，而且命制角度还是很丰富的，难度也大，需要学生有较强的分析问题和解决问题能力，因此望大家多多收集，给学生以多角度的思考和训练，肯定大有裨益的。当然，还是要掌握“三个二次”的基本知识和基本技能，如学会一元二次方程根的分布问题的讨论方法，一元二次不等式的解集特点，二次函数的图象与性质，等。其次，函数大题也有可能与抽象函数（函数方程）联系救起来考查，如：1.（2001年全国卷压轴题）设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意的都有，且。（I）求及的值；（II）证明是周

17、期函数；（III）设，求。2.定义在R上的函数满足：；对于均有；当时，。（I）求证：奇函数；（II）求证：。再次，函数大题也有可能与数列相结合来考查。如上面第2题的第2小题，就涉及数列求和，其方法就是裂项求和法。四、复习建议1研读高考考试说明，把握好复习的方向遵循浙江省学科教学指导意见，把握好知识的广度与深度，认真研读考试说明是搞好高考复习的必要条件，要研究命题的指导思想，各知识点的高考要求，弄清哪些是必考点，哪些是重点，哪些是非重点，特别要关注哪些知识不列入高考范围，另外，要注意研究参考卷的形式与结构特点，只有这样，才能少做“无用功”，使复习工作更加突出重点，加强复习的目的性、针对性、有效性

18、。新的考试说明还未出来，题型是否有变化还不明朗，大家要关注。2构建函数知识网络，掌握基本类型问题的基本解法。高考对函数定义域、值域、解析式、图像、单调性、奇偶性、对称性等内容的考查，往往是综合性的，要求学生的知识脉络一定要清晰，对有关知识、有关方法的运用一定要灵活，特别要注意：优先考虑定义域；重视函数图像的应用，函数图像能直观地反映函数的许多性质，适时借助函数图像不仅使求解易于上手，而且使解答显得更加明快、简捷，准确而迅速，能有效降低问题的难度，提高解题的效率。有关函数中参变量的取值范围（尤其多参数的问题）、不等式恒成立等问题，是高考考查函数部分最常涉及的问题，是名副其实的“重量级内容”。应加

19、强这类问题的常规解题方法、常用数学思想以及常见的解题类型上进行专题学习与训练。同时要注意这类问题的新的表现形式，注意分清“恒成立”“恒有解”“恒存在”及“成立、存在”“有解、有意义”等关键词的区别与联系，要典型问题、创新问题并举，把握这类问题的制高点。在新的考纲（就2015，2016两年）下，务必要特别重视“三个二次”问题的教学和训练。3“三基”与数学思想并重历在年各省市的高考中，均重视对数学的基本思想方法的考查。我国的数学教学具有重视“基础知识”、“基本技能”的传统，但是随着时代的发展，特别是数学被广泛应用于现代信息技术，我们的教学更应该注意学生的“基本思想方法”的训练，也就是要夯实学生的“三基”。函数的教学应注重基础知识，对常见函数图象、性质要复习到位。定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性等对于这部分知识，直