电子科技大学大学物理杨宏春质点动力学

1、力学(l xu) 质点动力学授课(shuk)教师 杨宏春共八十页质点动力学内容(nirng)结构力学(l xu)的内容结构体系共八十页质点动力学物理(wl)参量2.1 质点(zhdin)动力学的定量参量2.1.1 作用力力的相互作用是由力的传播子来实现的(1) 力的本质(2) 四种基本作用力(3) 生活中常见力及其受力分析方法 (p43，略)共八十页2.1.2 惯性质量与引力质量质点动力学物理(wl)参量(1) 万有引力(wn yu ynl)定律万有引力 一切物体都具有相互吸引的作用力引力常量：G=6.6710-11 Nm2/kg2引力质量 ：m1、m2 表征了两个物体产生与感受引力的量度(2

2、) 惯性质量与引力质量万有引力实验测试Nm2/kg2共八十页质点(zhdin)动力学物理参量地球表面同一地点重力(zhngl)加速度 g0 实验测试M：地球质量，mA 物体引力质量，mI 物体惯性质量，R 地球的半径1971 实验：同一地点 g0 测试误差不超过10-11 g0 ，为常数，于是对任意两质量应用方有引力定律取 G=6.6710-11，则 =1，或 mA=mI共八十页2.2 力对物体的瞬时(shn sh)动力学效应牛顿三定律质点动力学牛顿(ni dn)三定律2.2.1 牛顿三定律(1) 牛顿第一定律物体将保持其相对静止或匀速运动状态，直到外力迫使它改变这种状态 惯性：物体保持其相对

3、静止或匀速运动状态的内禀属性 惯性状态：物体保持相对静止或匀速直线运动的状态 惯性系：满足牛顿第一定律的参考系 惯性是保持物体运动状态原因，力是改变物体运动状态原因(2) 牛顿第二定律或共八十页质点(zhdin)动力学牛顿三定律 牛顿第二定律(dngl)的瞬时性、矢量性、独立性 给出了惯性质量与力的量度方法 牛顿第二定律定量给出了力、惯性质量、加速度间的关系 瞬时性、矢量性、独立性惯性质量与力的度量方法给定标准力与标准质量给定标准质量与标准加速度共八十页(3) 牛顿(ni dn)第三定律质点(zhdin)动力学牛顿三定律 作用力和反作用力分别作用于不同物体上，各自产生效应 作用力和反作用力性质

4、相同，大小相等，方向相反，在同一直线上 作用力与反作用力同时存在，同时消失(4) 牛顿三定律间的关系 牛顿第一定律提出惯性、惯性系概念 牛顿第二定律给出惯性量度及F、m、a之间的定量关系 牛顿第三定律指出受力分析的原则 三大定律共同构成牛顿力学体系的基础共八十页质点动力学牛顿(ni dn)三定律2.2.2 牛顿三定律(dngl)的应用(1) 牛顿定律应用的主要类型 已知受力求物体运动状态 已知物体运动状态求物体受力 已知物体部分运动状态和部分力求解未知力和运动状态 (2) 牛顿定律应用的解题步骤 确定研究对象，分析物体受力 建立坐标系，列动力学方程 解算及讨论(3) 牛顿定律的应用举例共八十页

5、质点(zhdin)动力学牛顿三定律例2.2.1 光滑水平面上固定一竖直圆筒，半径为 R，一物体紧靠内壁在水平 面上运动。设摩擦系数为，在 t=0 时，物体的速度为v0求：任意(rny)时刻物体的速率和运动的路程解：以小球为研究对象，选择自然坐标系(1) 任意时刻物体的速率，列动力学方程 联立求解方程 (2) 物体运动的路程 共八十页质点(zhdin)动力学牛顿三定律例2.2.2：颗粒质量(zhling)为 m，受水的浮力为B，受水的阻力：f= -kv，k为常数求：颗粒由静止下降过程中的速度随时间的变化规律及颗粒的极限速度 解：颗粒下降过程中速度随时间的变化规律 建立图示坐标系，设 t=0 时，

6、颗粒速度 v0=0 于是 解之得 当时间增大时，颗粒速度达到稳定， vT为极限速度共八十页质点动力学牛顿(ni dn)三定律例2.2.3 ：如图，已知环套在与竖直(sh zh)轴成 的杆上，其质量为 m， 杆绕竖直轴 以 的速度匀速转动，环距离轴心距离为 l求：(1) 当环与杆相对静止时，杆对环的静摩擦力(2) 若环与杆的静摩擦系数为s ，欲保持环静止，杆的 应在什么范围？ 解：建立图示坐标系，受力分析，设 f 向上，当杆与环保持相对静止时 解此联立方程组 (2) 欲保持环静止，须满足 共八十页质点动力学牛顿(ni dn)三定律讨论A 当 f0，下滑趋势(qsh)，存在最小角速度 min当 即

7、 时，不存在 min B 当 f0火箭单位时间喷出燃气的质量等于箭体质量的减少 火箭箭体的运动方程 质点动力学火箭飞行问题共八十页质点(zhdin)动力学火箭飞行问题(3) 火箭的速度(sd)公式 如果只记重力而忽略空气阻力，这时，F=-Mg设 t=0 时 v=0，M=M0，任意时刻 t，箭体的速度为 v，质量为 M火箭箭体在任意时刻 t 的速度为 如果不考虑地球的重力，箭体的速度公式为 采用多级火箭 ，火箭最终的末速度为 共八十页2.4力对物体的空间(kngjin)效应能量守恒定律 2.4.1功与功率(gngl)(1) 功和功率 功：力和力方向下位移的乘积，称为力对物体所作的功记微分形式积分

8、形式 理解：A 质点动力学功与功率B 功是标量，有正负之分C 功是相对量D 功是过程量，不是状态量共八十页E 功的独立性原理(yunl)功率 力在单位(dnwi)时间所作的功(2) 几种常见保守力的作功 例2.4.1：重力沿任意路径所作的功 解： 定义重力势能 则 质点动力学功与功率共八十页例2.4.2：弹力(tnl)作功 解 定义弹性势能 例2.4.3：万有引力(wn yu ynl)作功 解 定义引力势能 质点动力学功与功率共八十页例2.4.4：研究质点系内部(nib)内力做功的特点 解：如图，i、j 质点在时刻 t 的位矢分别为 ri 和 rj，相对位置矢量为 rij； 经 t 的发生(f

9、shng)微位移 dri 和 drj；内力 fij 和 fji 所做元功之和为 因 讨论：内力做功的特点内力做功的代数和不为零 内力做功的多少与参考系的选择无关 质点动力学功与功率共八十页2.4.2 单质点的势能(shnng)与势能(shnng)定理 保守力：力对物体所作的功与中间过程(guchng)无关，称之为保守力非保守力：做功与中间过程有关的力称为非保守力 质点动力学势能定理保守力：满足条件或矢量微分算符 共八十页势能：由于(yuy)物体的某种相对位置而具有的能量，称为势能 只有在保守力场中，才可以引入势能函数势能存在于质点系的两个或多个质点之间 势能只有相对意义，而势能差具有绝对意义势

10、能定理：保守力所做的功，等于质点势能增量的负值 保守力与势能间的关系质点动力学势能(shnng)定理共八十页例2.4.5 轻质弹簧(tnhung)下端悬挂质量为 m 的物体，弹簧由原长o点伸长 x0 到A点求：以 A 点为原点，弹簧伸长任意长度时物体系的势能 解：设将物体(wt)从 A 点拉长至 B 点，弹簧的伸长量为 x1 因 B点的重力势能 (以A为参考点)物体系的总势能 结论：系统总势能等于以 A 为原点且没有悬挂重物时弹簧的势能 质点动力学势能定理共八十页2.4.3 单质点(zhdin)的动能与动能定理 动能：由于物体运动而具有的能量，称为动能 说明：动能(dngnng)与参考系的选择

11、有关，且恒为正 单质点动能定理：合外力对单质点所作的功等于质点动能的增量 微分形式 积分形式 推导：微分形式 质点动力学动能定理共八十页a 动能定理表明，动能定理与状态相联系b 动能定理中的合外力，包含所有外力保守力和非保守力c 单质点(zhdin)的动能守恒定理例2.4.6 质量 m 的滑块以初速度 v0 沿切线方向进入(jnr)固定于光滑水平桌面上的 半圆形屏障，滑块和屏障间的摩擦系数为 求：滑块滑过屏障的过程中，摩擦力的功 解：借助动能定理，摩擦力的功为 为求速度v，在法向与切向应用牛顿定律法向 切向 质点动力学动能定理共八十页质点(zhdin)动力学动能定理将积分(jfn)变量换为 ，

12、有 分离变量积分得 于是 共八十页2.4.4 质点系的功能(gngnng)原理 质点动力学质点系的功能(gngnng)原理(1) 质点系的势能定理 质点系势能定理：多质点体系的势能应该等于两两质点间势能之和求和式中使 ji 是为了保证在进行逐项计算中避免重复 例2.4.7 先将质量m=1.00104 kg 的登月舱构件从地面发射到地球的同步轨道 (r1=4.20107 m) 站，装配后再发射到月球。地月距离 r2=3.90108 m，地 球半径 Re=6.37106 m，质量 me=5.971024 kg ，月球 Rm=1.74106 m，质 量 mm=7.351022 kg求：(1) 只考虑

13、克服地球引力，上述两步骤发射中火箭推力各应做多少功？ (2) 考虑地球和月球的引力，上述两步骤发射中火箭应做多少功?共八十页质点(zhdin)动力学质点系的功能原理解：(1) 选无限远点为零势能点， A1 、 A2 分别表从地面到同步轨道(gudo)和从同步 轨道到月球表面火箭所做功。火箭做功至少应等于登月舱势能的增量(2) 万有引力是保守力，登月舱在地球表面的引力势能为 登月舱在同步定点的引力势能为 共八十页登月舱在月球(yuqi)表面的引力势能为 质点动力学质点系的功能(gngnng)原理于是 考虑到月球引力后，A1无多大变化，但 A2 的变化比较大，减少了大约35% 例2.4.8 如图，

14、求任意形状物体的重力势能 解：设质量密度分布为(x,y,z)，总质量为m，选择 xoy 平 面为零势能面，建立图示坐标系，体微元 dV 重力势能 共八十页(2) 质点系的动能定理(dn nn dn l)质点系所受的所有合外力及所有内力(nil)所作的功，等于物体系动能的增量 其中，zc 为物体质心的 z 分量坐标 质点动力学质点系的功能原理微分形式 积分形式 推导：质点 i 的初动能记为 Ei0，末动能记 Ei ，由单质点动能定理 共八十页质点(zhdin)动力学质点系的功能原理将上述(shngsh)各式相加 记 由于 于是 或共八十页质点(zhdin)动力学质点系的功能原理A 适用条件：惯性

15、系，所有质点相对于同一参考系 B 动能定理中的合外力，包含所有外力保守力和非保守力C 质点系的动能守恒定理：当 时，质点系动能守恒 例2.3.9 链条总长为 l，质量为 m，链条与桌面之间的滑动摩擦系数为，链 条伸出桌面长度为 a，令链条由静止(jngzh)开始运动 求(1) 到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功(2) 链条离开桌面时的速率是多少？ 解(1) 如图建坐标系，某一时刻的摩擦力为 摩擦力做的功 共八十页(2) 链条(lintio)在下化过程中，重力做功为 质点动力学质点系的功能(gngnng)原理应用质点的动能定理，考虑到链条得初速度 v0=0，有 求解上式，可得 共八十

16、页质点动力学质点系的功能(gngnng)原理(3) 质点系的功能(gngnng)原理 考虑质点系动能定理 同时令 联立上述三个方程，得 定义机械能：物体系动能与势能的总和称为机械能 功能原理：外力与非保守内力对物体系所作的功，等于系统机械能的增量 共八十页A 成立条件：惯性系B 功能原理中，只计及非保守(boshu)内力和合外力作功质点动力学质点系的功能(gngnng)原理(4) 机械能守恒与能量守恒定律 当外力与非保守内力做功的代数和为零时，物体系机械能守恒 孤立系，开放系 能量守恒定律 能量守恒定律对应物理规律的时间平移对称性或不变性 共八十页例2.4.10 倔强系数为 k 的轻弹簧竖直放

17、置，下端连接一质量为 m 的物体， 开始时使弹簧为原长而物体 m 恰好(qiho)与地面接触求 将弹簧缓慢提起，使 m 刚能脱离地面时止，此过程中外力作的功 质点(zhdin)动力学质点系的功能原理解 建立如图所示的坐标系，物体 m 脱离地面的条件所以外力作的功为例2.4.11 质量为 m 的质点在 xoy 平面上运动，位矢量式中 a、b、 是正值常数，且 ab求 t=0 到 t=/(2) 时间内合外力的功及分力 Fx、Fy 的功共八十页解：合外力(wil)所作的功合外力当 t=0 时，x=a， y=0；当 t= /(2) 时，x=0， y=b质点动力学质点系的功能(gngnng)原理合外力的

18、功为分力 Fx、Fy 的功为 共八十页质点(zhdin)动力学质点系的功能原理例2.4.12 光滑地面上有一辆质量为 M 的小车，小车上一长为 l 的轻绳将小 球 m 悬挂于 o 点。把绳拉至水平(shupng)并静止释放求 小球运动到最低点时的速率解： 取小车、小球和地球为系统，只有保守内力重力作功(1)水平方向(不受外力)动量守恒(2)解式(1)、(2)得小球运动到最低点时的速率为共八十页例2.4.13 半径为 R 、质量为 M 且表面光滑的半球置于光滑水平面上，在其 正上方放置一质量为 m 的物体，当物体从顶端无初速地下滑，在如 图所示的 角位置处，开始脱离球面求 (1) 角满足(mnz

19、)的关系式 (2) 分别讨论 m/M1 时 cos 的取值 解 (1) 小物体脱离球面(qimin)前相对球面(qimin)作圆运动，沿法向有 质点动力学质点系的功能原理(1)脱离球面的条件是：N=0取地面为参考系，以 m、M 为系统，水平方向动量守恒(2) 共八十页以 m、M 和 地球 为系统(xtng)，机械能守恒，于是(3)质点(zhdin)动力学质点系的功能原理式(2)、(3)中的 vx、v 是 m 相对地面的速度(4)(5)解式(1)-(5)得共八十页质点(zhdin)动力学质点系的功能原理(2) 当 m/Mm 时，cos=2/3，这相当于 M 不动 当 m/M1，即 mM 时，有：cos3 -3cos +2=0， 分解(fnji)因式： (cos -1)2(cos +2)=0，即 cos =1，=0，M 瞬时滑出，m 竖直下落例2.4.14 质量为 M 的弹簧振子水平放置并静止在平衡位置， 质量为 m 的子 弹以水平速度 v 射入振子并随之运动。M 与地面间的摩擦系数为 求：弹簧的最大压缩量解：碰撞过程 忽略(M+m)在水平方向受到的摩擦力和弹性力，动量守恒(1)压缩过程 由功能原理得(2