2022新高考总复习《数学》(人教)第七章　空间向量与立体几何7.4　直线、平面平行的判定与性质

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI7.4直线、平面平行的判定与性质第七章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破必备知识 预案自诊判定性质定义定理图形条件 结论aaab【知识梳理】 1.直线与平面平行的判定与性质 a= a ,b,且a ba,a,=b 判定性质定义定理图形条件 ,a结论aba2.面面平行的判定与性质 = a,b,ab=P,a,b ,=a,=b 常用结论1.平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(3)两条直线被三个平

2、行平面所截,截得的对应线段成比例.2.判断两个平面平行的三个结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)平行于同一平面的两个平面平行.(3)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.【考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.()(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.()(3)若直线a与平面内无数条直线平行,则a.()(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()(5)如果两个平面平行,那么分别在这

3、两个平面内的两条直线平行或异面.()2.(2020广东湛江高三一模)已知直线a,b,平面,a,b,则a,b是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 因为直线a,b,平面,a,b,由a,b,得,平行或相交;由,得a,b,所以a,b是的必要不充分条件.故选B.3.(2020安徽宣城高三模考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为棱AA1,BB1的中点,过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC,AC于点E,F,则下列说法正确的是()A.MFNEB.四边形MNEF为梯形C.四边形MNEF为平行四边形D.A1B1NE答案 B解析 在

4、AA1B1B中,AM=MA1,BN=NB1,AM=BN,又AMBN,四边形ABNM是平行四边形,MNAB.又MN平面ABC,AB平面ABC,MN平面ABC.又MN平面MNEF,平面MNEF平面ABC=EF,MNEF,EFAB.在ABC中,EFAB,EFMN,四边形MNEF为梯形.故选B.4.(多选)下列命题中正确的是()A.平面平面,一条直线a平行于平面,则a一定平行于平面B.平面平面,则内的任意一条直线都平行于平面C.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面,那么该三角形所在的平面与这个平面平行D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线答案 BCD解析 平面平面,一条直

5、线a平行于平面,则a可能在平面内,故A错误;平面平面,则内的任意一条直线都平行于平面,故B正确;一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,由面面平行的判定定理知,三角形所在的平面与这个平面平行,故C正确;分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线,故D正确.故选BCD.5.(2020江苏如皋中学月考)已知平面平面,点P是平面,外一点(如图所示),且直线PB,PD分别与,相交于点A,B,C,D,若PA=4,PB=5,PC=3,则PD=.关键能力 学案突破考点1直线与平面平行的判定与性质(多考向探究)【例1】 (一题多解)如图,在四棱锥E-ABCD中,ABCD,ABC=90,CD=2

6、AB=2CE=4,点F为棱DE的中点.证明:AF平面BCE.考向1直线与平面平行的判定与证明 证明 (方法1)如图,取CE的中点M,连接FM,BM.因为点F为棱DE的中点,所以FMCD,且FM= CD=2,因为ABCD,且AB=2,所以FMAB,且FM=AB,所以四边形ABMF为平行四边形,所以AFBM.因为AF平面BCE,BM平面BCE,所以AF平面BCE.(方法2)如图,在平面ABCD内,分别延长CB,DA,交于点N,连接EN.因为ABCD,CD=2AB,所以A为DN的中点.又F为DE的中点,所以AFEN.因为EN平面BCE,AF平面BCE,所以AF平面BCE.(方法3)如图,取棱CD的中

7、点G,连接AG,GF,因为点F为棱DE的中点,所以FGCE.因为FG平面BCE,CE平面BCE,所以FG平面BCE.因为ABCD,AB=CG=2,所以四边形ABCG是平行四边形,所以AGBC,因为AG平面BCE,BC平面BCE,所以AG平面BCE.又FGAG=G,FG平面AFG,AG平面AFG,所以平面AFG平面BCE.因为AF平面AFG,所以AF平面BCE.解题心得 1.判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba);(3)利用面面平行的性质(,aa).2.证明线面平行往往先证明线线平行,证明线线平行的途径有:利用几何体的

8、特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.考向2直线与平面平行性质定理的应用【例2】 如图,五面体ABCDE中,四边形ABDE是矩形,ABC是正三角形,AB=1,AE=2,F是线段BC上一点,直线BC与平面ABD所成角为30,CE平面ADF.(1)试确定F的位置;(2)求三棱锥A-CDF的体积.解 (1)连接BE交AD于点O,连接OF,因为CE平面ADF,CE平面BEC,平面ADF平面BEC=OF,所以CEOF.因为O是BE的中点,所以F是BC的中点.解题心得在应用线面平行的性质定理进行平行转化时,一定注意定理成立的条件,通常应严格按照定理成立的条

9、件规范书写步骤,如:把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交,这时才有直线与交线平行.对点训练1(1)如图,四棱锥P-ABCD中,ADBC,AB=BC= AD,E,F,H分别是线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.求证:AP平面BEF;GH平面PAD.(2)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形且ABC=120,点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.求证:EFCD;(1)证明 连接EC,ADBC,BC= AD,E是AD的中点,BCAE,四边形ABCE是平行四边形,O为AC的中点.又F是PC的中点,FOAP.FO平面B

10、EF,AP平面BEF,AP平面BEF.连接FH,OH,F,H分别是PC,CD的中点,FHPD.PD平面PAD,FH平面PAD,FH平面PAD.又O是AC的中点,H是CD的中点,OHAD.又AD平面PAD,OH平面PAD,OH平面PAD.又FHOH=H,平面OHF平面PAD.又GH平面OHF,GH平面PAD.(2)证明 底面ABCD是菱形,ABCD,又AB平面PCD,CD平面PCD,AB平面PCD.又A,B,E,F四点共面,且平面ABEF平面PCD=EF,ABEF,即可得EFCD.考点2面面平行的判定与性质(多考向探究)考向1面面平行的判定与证明【例3】 已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,

11、ADBC,AD=2BC,E,F分别为CC1,DD1的中点.求证:平面BEF平面AD1C1.证明 取AD的中点G,连接BG,FG.因为E,F分别为CC1,DD1的中点,所以C1D1 CD EF,因为C1D1平面AD1C1,EF平面AD1C1,所以EF平面AD1C1.因为ADBC,AD=2BC,所以GD BC,即四边形BCDG是平行四边形,所以BG CD,所以BG EF,即四边形EFGB是平行四边形,所以BEFG.因为F,G分别是DD1,AD的中点,所以FGAD1,即BEAD1.因为AD1平面AD1C1,BE平面AD1C1,所以BE平面AD1C1.又BE平面BEF,FE平面BEF,BEEF=E,所

12、以平面BEF平面AD1C1.解题心得证明面面平行的常用方法1.利用面面平行的定义或判定定理.2.利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l,l).3.利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(,).对点训练2(2020河北邯郸二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,PA平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.(1)求证:平面CMN平面PAB;(2)求三棱锥P-ABM的体积.(1)证明 M,N分别为PD,AD的中点,MNPA.又MN平面PAB,PA平面PAB,MN平面PAB.在RtACD中,CAD=60,

13、CN=AN,ACN=60.又BAC=60,CNAB.CN平面PAB,AB平面PAB,CN平面PAB.又CNMN=N,平面CMN平面PAB.(2)解 由(1)知,平面CMN平面PAB,点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离.由已知,B=1,ABC=90,BAC=60,考向2面面平行性质定理的应用【例4】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试画出平面A1BC1与底面ABCD的交线l,并说明理由.解 在平面ABCD内,过点B作直线与AC平行,该直线即为所求的直线l(如图).理由:因为平面ABCD平面A1B1C1D1,平面A1BC1平面A1B1C1D1=A1C1,平面A1BC1平面ABC

14、D=l,所以A1C1l.又ACA1C1,故lAC.解题心得证明线线平行的方法(1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.(2)平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行.(5)反证法:假设两条直线不平行,然后推出矛盾,进而证明两条直线应当是平行的.对点训练3如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的多面体中,AF平面ABCD,DE平面ABCD,ADBC,BC=2AD.请在图中作出平面,使得DE,且BF,并说明理由.解 如图,取BC的中点P,连接PD,PE,则平面PDE即为所求的平面.下面证明BF.因为BC=2AD,ADBC,所以ADBP,且AD=BP,所以四边形ABPD为平行四边形,所以

15、ABDP.又AB平面PDE,PD平面PDE,所以AB平面PDE.因为AF平面ABCD,DE平面ABCD,所以AFDE.又AF平面PDE,DE平面PDE,所以AF平面PDE.又AF平面ABF,AB平面ABF,ABAF=A,所以平面ABF平面PDE.又BF平面ABF,所以BF平面PDE,即BF.考点3平行关系的综合应用【例5】 如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.答案 (1)1(2)1解析 (1)如图,连接A1B交AB1于点O,连接OD1,因为BC1平面AB1D1,平面AB1D1平面A1BC1=OD1,所以BC1OD1,由棱柱的性质,知四边形A1ABB1

16、为平行四边形,所以点O为A1B的中点,所以D1为A1C1的中点.(2)由已知,平面BC1D平面AB1D1,且平面A1BC1平面BDC1=BC1,平面A1BC1平面AB1D1=D1O.所以BC1D1O,同理AD1DC1.解题心得利用线面平行或面面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置.对于线段长或线段比例问题,常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决.对点训练4(1)(2020江西吉安一模)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1D1,A1B1的中点,过直线BD的平面平面AMN,则平面截该正方体所得截面的面积为()(2)如

17、图所示,侧棱与底面垂直,且底面为正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,M,N分别在线段AD1,BC上移动,始终保持MN平面DCC1D1,设BN=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是()答案 (1)B(2)C解析 (1)如图,取B1C1的中点E,C1D1的中点F,连接EF,BE,DF,B1D1,则EFB1D1,B1D1BD,所以EFBD,故EF,BD在同一平面内,连接ME,因为M,E分别为A1D1,B1C1的中点,所以MEAB,且ME=AB,所以四边形ABEM是平行四边形,所以AMBE.又因为BE平面BDFE,AM平面BDFE,所以AM平面BDFE,同理AN平

18、面BDFE,因为AMAN=A,所以平面AMN平面BDFE.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,(2)过M作MQDD1,交AD于点Q,连接QN.MN平面DCC1D1,MQ平面DCC1D1,MNMQ=M,平面MNQ平面DCC1D1.又平面ABCD与平面MNQ和平面DCC1D1分别交于QN和DC,NQDC,可得QN=CD=AB=1,AQ=BN=x.在RtMQN中,MN2=MQ2+QN2,即y2=4x2+1,y2-4x2=1(0 x0,函数y=f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分.故选C.考点4平行关系的探究性问题【例6】 (2020河南南阳高三二模)在直角梯形ABCD中(如图

19、1),ABDC,BAD=90,AB=5,AD=2,CD=3,点E在CD上,且DE=2,将ADE沿AE折起,使得平面ADE平面ABCE(如图2),G为AE的中点.(1)求四棱锥D-ABCE的体积;(2)在线段BD上是否存在点P,使得CP平面ADE?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由.解 (1)因为G为AE的中点,AD=DE=2,所以DGAE.因为平面ADE平面ABCE,平面ADE平面ABCE=AE,DG平面ADE,所以DG平面ABCE.(2)在BD上存在点P,使得CP平面ADE.过点C作CFAE交AB于点F,过点F作FPAD交DB于点P,连接PC,如图所示,因为CFAE,AE平面ADE,CF平面ADE,所以CF平面ADE,同理FP平面ADE,又因为CF