平面向量与解三角形-1981-2019年历年数学联赛50套真题答案

1、1981年2019 年全国高中数学联赛试题分类汇编平面向量与解三角形部分 第 PAGE 11 页 共 NUMPAGES 11 页1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编平面向量与解三角形部分2019A 3、平面直角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意实数恒成立，则的取值范围为 。答案： 解析：不妨设，由得，等价于，即，解得，所以。2019A 9、在中，若是与的等比中项，且是与的等差中项，求的值解析：因为是与的等比中项，故存在，使得由是与的等差中项，得，结合正余弦定理得，即，将代入得，解得，所以。2019B 2. 若平面向量与垂直，其中为实数，则的模为 答案： 解析：由条件得，解得，

2、所以。2019B 3. 设，是方程的两根，则的值为 答案： 解析：由已知得，从而2018A 7、设为的外心，若，则的值为 答案：解析：取的中点，则。由得，知，且在直线同侧。不妨设圆的半径为，则,，在中，有余弦定理得,在中，由正弦定理得。2017A 7、在中，为边的中点，是线段的中点，若，的面积为，则的最小值为 答案： 解析：由条件知，则，由得所以，所以，当且仅当时取等。则。2017B 4、在中，若，且三条边成等比数列，则的值为 答案：解析：由正弦定理知，又，于是，从而由余弦定理得：.2016A 9、（本题满分16分）在中，已知，求的最大值。解析：由数量积的定义及余弦定理知，同理得，故已知条件化

3、为即8分由余弦定理及基本不等式，得所以12分等号成立当且仅当因此的最大值是16分2016B 10、（本题满分20分）在中，已知（1）将的长分别记为，证明：；（2）求的最小值解析：（1）由数量积的定义及余弦定理知，同理得，故已知条件化为即（2）由余弦定理及基本不等式，得等号成立当且仅当因此的最小值为2015A 4、在矩形中，,边上（包含,）的动点与线段延长线上（包含）的动点满足,则向量与向量的数量积的最小值为 答案：解析：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) 设 P 的坐标为（, l) （其中），则由得Q的坐标为（2，-)，故,因此，当时，200

4、5*2、空间四点满足，则的取值 A. 只有一个 B. 有二个 C. 有四个 D. 有无穷多个答案：A解析：注意到由于则=即只有一个值为0，故选A。2014A 7、设等边三角形的内切圆半径为，圆心为。若点满足，则与的面积之比最大值为 答案： 解析：由PI=1知点P在以I为圆心的单位圆K上。设，在圆上取一点，使得取到最大值，此时应落在内，且是与圆的切点。由于，故 其中，由知，于是，所以根据、可知，当时，的最大值为2014B 4、若果三角形的三个内角的余切值依次成等差数列，则角的最大值是 答案： 解析：记，它们成等差数列，即，由于三个内角和为，所以中至多有一个小于等于，这说明.另一方面，即，即，联立

5、消去得，有，得，即，解得，当且仅当时，角取得最大值。2013A 3、在中，已知，则的值为 答案：解析：由于，即2013B1、已知锐角三角形的三条边长都是整数，其中两条边长分别为3和4，则第三条边的边长为 答案：或解析：设第三条边长为。因为是锐角三角形，所以，且，即，因为是整数，得或2012A 2、设的内角的对边分别为，且满足，则的取值为 答案：解析：由题设及余弦定理得,即，故2012B 5、在中，若,则面积的最大值为 答案：解析：记的中点为，则,因为，所以，从而所以（当且仅当，即时，取等号）故所求面积最大值为。另法：由得，由，平方可得，所以（当且仅当时，等号成立），所以所求面积最大值为。200

6、8AB 6、设D的内角所对的边成等比数列，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 答案：C解析：设的公比为，则，而 因此，只需求的取值范围因为成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必须且只需且即有不等式组即得从而，因此所求的取值范围是 2007*8、在和中，是的中点，若，则与的夹角的余弦值为 答案：解析：因为，所以，即。因为，所以，即。设与的夹角为，则有，即，所以。2006*1、已知，若对任意,，则一定为 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D.答案不确定答案：C解析：令，过A作于D。由，推出,令，代入上式，得，即 , 也即 。从而有。由此可得 。 2005

7、*3、内接于单位圆，三个内角的平分线延长后分别交此圆于.则的值为 A. B. C. D. 答案：A解析：如图，连，则所以，,。所以，即可求得。2004*4、设点在的内部，且有,则与的面积的比为 A. B. C. D. 答案：C解析：如图，设面积，则，进而得。2001*4、如果满足，的恰有一个，那么的取值范围是 A. B. C. D. 或答案：D解析：根据正弦定理得,得，显然，要使得恰有一个，则或，得或1999*9、在中，记，则_答案：解析：1993*5、在中，角的对边长分别为，若等于边上的高，则的值是( )A. B. C. D.答案：A解析：由题设得，即，即整理得，又，故选A1992*4、在中

8、，角的对边分别记为()，且都是方程的根，则( )A.是等腰三角形，但不是直角三角形 B.是直角三角形，但不是等腰三角形C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形，也不是直角三角形答案：B解析：由题意得根为，所以，即得选B 1991*8在中，已知三个角成等差数列，假设它们所对的边分别为，并且等于边上的高，则 答案：解析：易知，由已知，即，即 (舍去)，1988*8在中，已知，、分别是、上的高，则 答案：解析：注意到，1986*6、边长为的三角形，其面积等于，而外接圆半径为，若，则与的大小关系是（ ）A. B. C. D.不确定答案：C解析：，由，知且三角形不是等边三角形(且等号不成立)选C1985

9、*7、在中，角的对边分别为，若角的大小成等比数列，且，则角的弧度为等于 答案：解析：由余弦定理，故即所以 由，得，即，或 (不可能) 1985*一、在直角坐标系中，点和点的坐标均为一位的正整数与x轴正方向的夹角大于，与轴正方向的夹角小于，在轴上的射影为， 在轴上的射影为，的面积比的面积大，由组成的四位数试求出所有这样的四位数，并写出求解过程解析：由题意得，且都是不超过10的正整数 ，则或但，故舍去即， ，1984*9、如图，是单位圆的直径，在上任取一点，作，交圆周于，若点的坐标为，则当 时，线段、可以构成锐角三角形答案：解析：由对称性，先考虑的情况，设，则，且必有，于是只要考虑，即，解得1983*3、已知等腰三角形的底边及高的长都是整数，那么，和中（ ）A.一个是有理数，另一个是无理数； B.两个都是有理数； C.两个都是无理数； D.是有理数还是无理数要根据和的数值来确定。答案：B解析：为有理数，得和都是有理数选B1983*8、任意，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为、与，那么（ ）A B C D三种关系都不对答案：C解析：，当时，最大，而可大于任意指定的正数从而可有，否