2014届高考理科数学创新题专题(有点难)

1、2014届高考数学创新题专题PAGE PAGE - 14 -2014届高考数学创新题专题1、已知集合，其中，且.则中所有元素之和等于（ ）A B C D2、函数f(x)=a+bx +c (a0) 的图象关于直线x=对称.据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程 mf(x)+nf(x) +p=0的解集都不可能是 （ ）A. B . C . D. 3、对数列，如果及，使成立，其中，则称为阶递归数列给出下列三个结论：若是等比数列，则为阶递归数列；若是等差数列，则为阶递归数列；若数列的通项公式为，则为阶递归数列其中，正确结论的个数是（ ）A B. C. D.4、如图，半径为2的

2、与直线相切于点，射线从出发绕点逆时针方向旋转到，旋转过程中，交于点，设为，弓 形 的面积为，那么的图象大致是（ ） 4x224SOx224SOx22SOx224SOA B C D5、在空间直角坐标系中，对其中任何一向量，定义范数，它满足以下性质： ，当且仅当为零向量时，不等式取等号；（2）对任意的实数，（注：此处点乘号为普通的乘号）。（3）。在平面直角坐标系中，有向量，下面给出的几个表达式中，可能表示向量的范数的是_（把所有正确答案的序号都填上） （1） （2） （3） （4）ACBDP6、如图，已知平面，、是上的两个点，、在平面内，且，在平面上有一个动点，使得，则体积的最大值是（ ） A.

3、B. C. D.7、已知线段AB上有10个确定的点（包括端点A与B）现对这些点进行往返标数（从AB AB进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）如图：在点A上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n的点称为点n），这样一直继续下去，直到1，2，3，2012都被标记到点上则点2012上的所有标数中，最小的是 8、有连续的自然数1、2、3、n，去掉其中一个数后，剩下的数的平均数是16，则满足条件的n的最小值是 9、从1到k这k个整数中最少应选m个数才能保证选出的m个数中必存在三个不同的数可构成一个三角形的三边长。(1

4、)若k=10，则m= （2）若k=2012，则m= 10、由19条水平直线与19条竖直直线组成的的围棋棋盘中任选一个矩形，（1）有 种不同的选法；（2）所得矩形为正方形的概率为 11、下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为，如图3.图3中直线与x轴交于点，则m的象就是n，记作. ()方程的解是 ;()下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)； 是奇函数;在定义域上单调递增; 的图象关于点 对称12、是抛物线的焦点，

5、过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，设，则： 若且，则的值为； = 2 * GB3 （用和表示）. 13、若正整数，称为N的一个“分解积”，当N分别等于6,7,8时，它们的 “分解积”的最大值分别为 当N=3m+1 （）时，它的 “分解积”的最大值为 14、若或，则称为和的一个位排列对于，将排列记为；将排列记为；依此类推，直至对于排列和，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做和的相关值，记作例如，则， 若，则称为最佳排列 （）写出所有的最佳排列 ； （）若某个是正整数为最佳排列，则排列中的个数 15、对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合. 已知，.（1）用列举

6、法写出集合= ；（2）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，当取最小值时集合X的可能情况有 种。16、若对于正整数,表示的最大奇数因数，例如，.设 （1）则= （2） 17、若数列满足，则称数列为“平方递推数列”已知数列中，点()在函数的图像上，其中n 为正整数（）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；（）设（）中“平方递推数列”的前n项之积为，即 ，求数列的通项及关于的表达式；（）记 ，求数列的前项和，并求使的的最小值18、已知函数，为函数的导函数（）若数列满足，且，求数列的通项公式；（）若数列满足，（）是否存在实数b，使得数列是等差数列？若存在，求出b的值；若不存在，请说明

7、理由；（）若b0，求证：19、直线相交于点.直线与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，这样一直作下去，可得到一系列，点的横坐标构成数列（1）当时，求点的坐标并猜出点的坐标(不用证明)；（2）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（3）比较的大小.20、在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列（I）求点的坐标；（II）设抛物线列,中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线 的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：；（III）设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，求的通

8、项公式21、已知数列满足，且当时，令（）写出的所有可能的值；（）求的最大值；（）是否存在数列，使得？若存在，求出数列；若不存在，说明理由 22、将正整数2012表示成个正整数之和.记.（ = 1 * ROMAN I）当时，取何值时有最大值.（ = 2 * ROMAN II）当时，分别取何值时，取得最大值，并说明理由.（ = 3 * ROMAN III）设对任意的15且|2,当取何值时，S取得最小值，并说明理由.2014届高考数学创新题专题参考答案123456DDDD(1)(4)C5、解析：知当且仅当为零向量时，=0 因此可以排除(2),(3). 现在探索一下（1）是否满足性质（3） 这是显然成

9、立的，所以（1）满足性质（3）又（1）显然满足性质（2）；所以（1）能表示X的范数同理可以知道（4）也可以表示所以经过验证后可以知道正确的是（1）（4）7、 38、30 9、 (1)若k=10，则m= 6 （2）若k=2012，则m= 17 10（1）有 29241 种不同的选法；（2）所得矩形为正方形的概率为11、解析：(i) 则; (ii) 当时，ACM=,此时故 错的定义域为不关于原点对称 错显然随着m的增大,n也增大;所以在定义域上单调递增 对又整个过程是对称的,所以 对12、 ； 或13、（1） 9；12；18 （2）14、解：（）最佳排列为， （） 或，得， ， 因为 ，所以 与每

10、个有个对应位置数码相同，有个对应位置数码不同，因此有， ，以上各式求和得， 另一方面，还可以这样求和：设中有个，个，则所以 解得或 所以排列中的个数是或 15、解：（）.（）根据题意可知：对于集合，若且，则；若且，则.所以 要使的值最小， 2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素.所以 当为集合1,6,10,16的子集与集合2,4,8的并集时， 最小值4， X的可能情况有16种 16、解：不难发现对，有 所以当时， 于是，所以 ， 又，满足上式， 所以对，17、解：（I）因为 所以数列是“平方递推数列” . 2分 由以上结论， 所以数列为首项是公比为

11、2的等比数列. （II）， . ， . （III） . . 18、解：（）因为 ， 所以 所以 ，所以 ，且， 所以数列是首项为2，公比为的等比数列 所以 ， 即 4分（）（）假设存在实数，使数列为等差数列，则必有，且，所以 ，解得 或当时，所以数列为等差数列；当时，显然不是等差数列所以，当时，数列为等差数列 9分（），则；所以 ；所以 因为 ，所以 ；所以 19、解：(1),可猜得. （2）设点的坐标是，由已知条件得点的坐标分别是：由在直线上，得 所以 即 所以数列 是首项为公比为的等比数列.由题设知 从而 （3）由得点的坐标为（1，1）.所以 （i）当时，,而此时 （ii）当时，.而此时

12、20、解：（I） （II）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为： 把代入上式，得，的方程为：. 当时， = （III），T中最大数. 设公差为，则，由此得 21、解:（）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：（1）此时；（2）此时；（3）此时；（4）此时；（5）此时；（6）此时； 所以，的所有可能的值为：， 4分（）由， 可设，则或（，），因为，所以 因为，所以，且为奇数，是由 个1和个构成的数列 所以 则当的前项取，后项取时最大，此时证明如下：假设的前项中恰有项取，则的后项中恰有项取，其中， ，所以 所以的最大值为 9分（）由（）可知，如果的前项中恰有项取，的后项中恰有项取，则，若，则，

13、因为是奇数，所以是奇数，而是偶数，因此不存在数列，使得 13分22、解：（ = 1 * ROMAN I）根据均值不等式，当x1=x2=1006时，S有最大值10062. -2分（ = 2 * ROMAN II）当x1=x2=x3 =402，x4=x5=403时，S取得最大值. -4分由x1+x2+x3 +x4+x5=2012， QUOTE 1ijnxixj 取得最大值时，必有|xi-xj|1（ 1ix1x2 =x1x2+x1+x2x3+x4+x5+x3x4+x3x5+x4x5，同时S=x1x2+x1+x2x3+x4+x5+x3x4+x3x5+x4x5，S-S=x1x2-x1x20这与S取得最大值矛盾.所以必须有|xi-xj|1（ 1ij5）. -8分因此当x1=x2=x3 =402，x4=x5=403时，