工程振动测试技术01-第1章-振动的基本理论课件

1、刘习军工程振动测试技术工程振动测试技术刘习军 教授天津大学机械工程学院力学系振动是指物体在其稳定的平衡位置附近所作的往复运动。第1章 振动的基本理论为了研究振动现象的基本特征，首先建立理想化的力学模型，即振动系统。具有连续分布的质量与弹性的系统，称为连续弹性体系统，其运动方程是偏微分方程。对连续系统进行简化，形成有限个弹簧质量的离散系统。称为离散系统或多自由度系统，运动方程是常微分方程。最简单的情况是单自由度系统。1.1 振动系统的组成一般来说，振动系统主要由弹簧、质量、阻尼器和激振力系统组成。1恢复力 弹簧是产生恢复力的弹性部件(具有势能)。它可以是线性的也可以是非线性的。2惯性力 质量产生

2、惯性力(转动惯量) 具有动能。 应用能量观点来说，产生的振动过程就是两种能量的反复交换。3阻尼力 阻尼是对振动系统产生的阻尼力的总称，阻尼是客观存在的，阻尼只能消耗能量。4激振力激振力是振动系统之外的物体对振动系统的作用，是对振动系统进行能量补充的系统。a、周期函数形式的力f ( t ) = f ( t + m T ), m = 0, 1, 2, b、正弦函数形式的力c、周期性矩形波形式的力d、 冲激函数形式的力关于单自由度系统振动的概念弹簧质量系统 1. .1 自由振动方程1 .2 单自由度系统的振动 当物块在任意位置x时，物块的运动微分方程为 其中以物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向

3、下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件无阻尼自由振动微分方程 固有圆频率整理得其通解为：其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时， 可解 两种形式描述的物块振动，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。 另一种形式 无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动 初相位角 振 幅振动的周期系统的固有频率系统的固有圆频率为固有频率只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关，而与运动的初始条件无关。 单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程等效的概念这一方程，可以等效为广义坐标的形式meq-等效刚度。keq -等效质量。等效系统内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中常常产

4、生扭转振动，简称扭振。 根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程固有圆频率扭振的运动规律 阻尼系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的阻力。物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系c粘性阻尼系数或粘阻系数。它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿米/秒(Ns/m)。 1.2.2 有阻尼系统的衰减振动 图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模型。以静平衡位置O为坐标原点，选x轴铅直向下为正，有阻尼的自由振动微分方程 整理得引入阻尼比2.临界阻尼(n = pn即1)情形的解 这两种情形下，没有振动的性质。11Otx临界阻尼系数1.强阻尼（npn即1）情

5、形的解3.弱阻尼(npn即1)情形的解其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t = 0时， 可得C1=x0 另一种形式初相位角 振 幅 这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的衰减运动。 衰减振动:物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复运动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。设衰减振动经过一周期Td，在同方向的相邻两个振幅分别为Ai和Ai+1，即两振幅之比为称为振幅减缩率或减幅系数。由此可见 ，在弱阻尼情况下，周期的变化虽然微小，但振幅的衰减却非常显著 ，它是按几何级数衰减的。 强迫振动激励形式振动系统在外界激励下产生的振动。 外界激励一般为时间的函数，可以

6、是周期函数，也可以是非周期函数。 简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。 1.2.3 简谐激励作用下的强迫振动简谐激振力F0为激振力的幅值，w为激振力的圆频率。物块运动微分方程为 具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。 整理得其中 微分方程的解齐次解: x1(t)特解: x2(t)运动微分方程的全解运动微分方程的全解 有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应：这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。其中则有称为放大系数 在低频区和高频区，当 1时，1，Bb，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频

7、率时，该系统受迫振动的振幅趋近于 。 幅频特性曲线和相频特性曲线例 在图示的系统中，物块受粘性欠阻尼作用，其阻尼系数为c，物块的质量为m，弹簧的弹性常量为k。设物块和支撑只沿铅直方向运动，且支撑的运动为 ,试求物块的运动规律。 建立物块的运动微分方程 整理得即设解为 令则得 由于 则 其中 幅频特性曲线和相频特性曲线当频率比0和 时，无论阻尼比 为多少，振幅B恒等于支承运动振幅b； 在实际问题中，遇到的大多是周期激励。设粘性阻尼系统受到周期激振力谐波分析方法，得到系统的运动微分方程为周期基频 1.2.4 周期激励作用下的受迫振动由叠加原理，并考虑弱阻尼情况，得到系统的稳态响应Theory of

8、 Vibration with Applications设t=时，大小为I的冲量作用在单自由度系统中，根据碰撞理论，可得物块受冲量作用获得的速度 1.2.5 冲量激励作用下的受迫振动系统的初始条件为则物块的响应为同理，对于在单位脉冲力作用下的受迫振动响应为有一任意激振力F(t)作用于系统运动微分方程为将激振力看作是一系列元冲量的叠加，t=时元冲量为得到系统的响应1.2.6 系统对任意激振力的响应由线性系统的叠加原理，系统的响应单自由度系统对任意激振力响应的统一表达式这个结论称为杜哈梅(Duhamel)积分。 1.3 两自由度系统的自由振动应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题

9、。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。下面以两个自由度系统为例，论述一些基本概念、方法和结论。然后推广到多自由度系统。这就是两自由度系统的自由振动微分方程 图示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼。取两物体为研究对象，以各自的静平衡位置为坐标原点，由牛顿第二定律得 1.3.1 两自由度系统的自由振动方程整理得质量矩阵刚度矩阵质量影响系数刚度影响系数加速度列阵 坐标列阵写成矩阵形式根据微分方程的理论，设方程的解为代入微分方程 1.3.2 频率方程化简可得代数齐次方程组 系数行列式等于零 这就是两自由度系统的频率方程，也

10、称特征方程 它的展式为 则特征方程可改写为 引入记号 这就是特征方程的两组特征根。 p1、p2就是系统的自由振动频率，即固有圆频率。较低的频率p1称为第一阶固有圆频率；较高的频率p2称为第二阶固有圆频率。得振幅比 第二主振型第一主振型将固有圆频率分别代入方程的解 1.3.3 主振型在第一主振动中，质量m1与m2沿同一方向运动；在第二主振动中， m1、m2的运动方向则是相反的。 这表明，在振动过程中，振幅比决定了整个系统的相对位置。 根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的通解，是它的两个主振动的线性组合，即由运动的初始条件确定。例 如图所示为一带有附于相同质量m并杆长相等为l的双摆，

11、采用质量的微小水平平移 x1和x2 为坐标，试求系统的固有频率和振型。解：分别以各质点m为研究对象，受力图如图所示由于运动微分方程为质量矩阵和刚度矩阵为由频率方程即由特征矩阵的伴随矩阵的第一列分别代入频率值，得解得两个质点的运动相互影响的现象叫做耦联，具有耦联性质的系统叫耦联系统。振动位移项的耦联，称为静力耦联或弹性耦联。振动加速度项耦联，称为动力耦联或质量耦联。如果坐标选择得当，方程式没有耦联项。这正是我们所希望的，经特别选择的没有耦联的坐标称为主坐标。 1.3.5 坐标的耦联与主坐标例：图示为两个摆长、质量相同的单摆，中间以弹簧相连，形成两自由度系统。可以证明，当弹簧刚度k很小，在一定的初

12、始条件下，系统将作拍振。 取 、 表示摆的角位移，逆钟向转动为正，每个摆的受力如图。摆的微分方程为 得到系统的第一阶和第二阶固有频率为得到系统的第一阶和第二阶主振型为第一主振动第二主振动系统振动的一般解初始条件：t = 0时 因此得到双摆作自由振动的规律代入得到 这时p1 、p2相差很少，摆将出现拍振。将上式写成 如果弹簧的刚度k很小，因而拍频率令拍振周期若改变初始条件为：t = 0时 双摆的原微分方程将以上两式相加、相减便得到令上式变为 可见 是系统的主坐标，可直接得到其固有频率为设主坐标方程的解为双摆系统的物理坐标的解为其结果与直接求解微分方程的结果一样的，在多自由度系统振动中，就是主要介

13、绍寻找系统主坐标和求解的方法。 一般情况下，n个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式 1.4 多自由度系统的振动实际工程结构，其质量和弹性是连续分布的，系统具有无限多个自由度。可利用质量聚缩法等，使系统简化为多自由振动系统，或称为多自由度振动系统。它的运动需要n 个独立的坐标来描述。 1.4.1 多自由度系统的振动微分方程质量矩阵刚度矩阵坐标矢量和加速度矢量若用矩阵表示，则可写成设n个自由度系统运动微分方程的解为矩阵形式为1.4.2 频率方程其中将解代入运动微分方程得或特征矩阵A不全为零的条件是系数行列式等于零令 此式是关于p2的n次多项式，由它可以求出n个固有频率(或称特征值

14、)。频率方程可以证明 频率方程中所有的固有频率值都是实数，并且是正数或为零。一般的情况， 各个固有频率按照由小到大的顺序排列为 其中最低阶固有频率p1称为第一阶固有频率或称基频，然后依次称为二阶、三阶固有频率等。 将pi代入 可以求得A(i) A(i)为对应于pi的特征矢量。它称为第i阶主振型，也称固有振型或主模态。 对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对应的n阶主振型1.4.3 主振型 满足 在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其它元素的过程称为归一化。 由于振型是相对值，将每一项均除以An(i)得 ，于是可得第i阶主振型矢量为例 图是三自由度振动系统，设k

15、1= k2= k3= k， m1= m2= m， m3= 2m，试求系统的固有频率和主振型。将M和K代入频率方程解：选择x1、 x2、 x3坐标。则系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为解方程得到求出系统的三个固有频率为再求特征矩阵的伴随矩阵 设取其第三列，将p1值代入，得到第一阶主振型为得到第二、三阶主振型为三个主振型由图所示1.4.4 主振型矩阵和正则振型矩阵以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个n n阶方阵，称为主振型矩阵或模态矩阵与质量矩阵和刚度矩阵加权正交 根据主振型的正交性，可以导出式中分别是主质量矩阵和主刚度矩阵。由于主振型的正交性，各阶主振动是互相独立的， 各阶主振动之间不会发生能量的

16、传递。为了统一归一化方法，规定了质量归一化称为正则振型。由正则振型的正交关系得则1. 主坐标首先用主振型矩阵进行坐标变换，即主坐标 1.4.5 主坐标和正则坐标 代入振动微分方程第i阶主质量或模态质量第i阶主刚度或模态刚度n个自由度运动微分方程2. 正则坐标用正则振型矩阵AN进行坐标变换，设 正则坐标由正则振型矩阵的两个性质代入运动方程第i阶固有频率 例 试求上例中系统的主振型矩阵和正则振型矩阵。由质量矩阵 ，可求出主质量矩阵 解：将在例中求得的各阶主振型依次排列成方阵，得到主振型矩阵于是，可得各阶正则振型以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵由刚度矩阵可求出谱矩阵可写出以正则坐标表示的运动方程

17、展开式为n自由度自由振动运动微分方程为初始条件为求系统对初始条件的响应。 1.4.6 无阻尼系统对初始条件的响应设微分方程变换为初始条件变换为 由单自由度系统振动的理论，得到关于对初始条件的响应为 系统的响应是由各阶振型叠加得到的，本方法又称振型叠加法系统对初始条件的响应为设n自由度无阻尼振动系统受到激振力的作用则系统的运动微分方程为 1.4.7 有阻尼振动系统对激励的响应1.多自由度系统的阻尼阻尼矩阵为阻尼矩阵中的元素cij称阻尼影响系数。 为了求系统对此激振力的响应，可采用正则振型分析法方程解偶。 首先假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合a、b是正的常数若用正则振型矩阵变换Cni称为

18、振型比例阻尼系数或模态比例阻尼系数，i称为振型阻尼比或模态阻尼比 当振动系统的计算模型已经确定，写出计算模型阻尼矩阵C，然后经过正则坐标变换，求出 若CN不是对角阵，则可这样处理，即考虑到工程上大多数振动系统中的阻尼都比较小，可将CN中的非对角元素改为零。由实验测定各阶振型阻尼比 对于实际系统，阻尼矩阵中各个元素往往有待于实验确定。有时更方便的办法是，通过实验确定各个振型阻尼比。这样，在写系统的运动微分方程式时，先不考虑阻尼，等经过正则坐标变换后，再在以正则表示运动微分方程式中引入阻尼比，直接写出有阻尼存在时的正则坐标表示的运动微分方程式。实践证明，这一方法具有很大的实用价值。它一般试用于小阻

19、尼系统，即i 0.2的情形 当多自由度振动系统中的阻尼矩阵是比例阻尼时，利用正则坐标变换解偶。得 2 存在比例阻尼时的强迫振动则每一个方程可表示为稳态响应为由正则坐标变换关系式得到系统的稳态响应这种方法称有阻尼系统响应的振型叠加法例 图所示有阻尼的弹簧质量振动系统，如k1= k2= k3= k ; m1= m2= m3= m，各质量上作用有激振力F1(t)= F2(t)= F3(t)= Fsinwt，其中w=1.25(k/m) 1/2 ，各阶振型阻尼比为 1= 2= 3= 0.01,试求系统的响应。解：写出无阻尼受迫振动方程 求固有频率和正则振型，由频率方程由特征矩阵B=Kp2M的伴随矩阵的第一列得求出主振型和正振型矩阵进行坐标变换引入振型阻尼比i振动方程为关于对正则坐标的响应求出系统的响应多自由度系统振动问题的求解思路利用力学方法列出系统的运动微分方程1.首先求出固有频率和正则振型2.利用正则振型进行正则坐标变换3.形成n个独立的单自由度运动微分方程；4.利用单自由度系统求解理论和方法，求得用主坐标或正则坐标表示的响应；5.反变换至原物理坐标求出n自由度系统对激励的响应。实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此，称之为弹性体系统。其运动方程是偏微分方程，由于偏微分