南京市2020届高三年级数学第三次模拟考试

1、南京市2020届高三年级第三次模拟考试注意事项:.本试卷共4页，包括填空题（第 1题第14题）、解答题（第 15题第20题）两部分.本试卷满分为 160分，考试时间为120分钟.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答题卡 上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡. 一、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上） TOC o 1-5 h z .已知集合 A= x2 vx4, B= x|1 vx0,万 巾0, b0）的右焦点为F.若以F为a b圆心，a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A,

2、B两点，且AB= 2b,则该双曲线的离心率为 .若正方体 ABCP ABGD的棱长为2,则三棱锥 A-BCD的体积为 .若g（x-1） 1,则x的取值范围为.已知函数 f=；(+jx)：；0, g(x)=f( TOC o 1-5 h z .在平面直角坐标系 xOy中，A, B是圆Q x2+y2=2上两个动点，且 OA，OB.若A, B 两点到直线l： 3x + 4y10= 0的距离分别为d1, d2,则d1 + d2的最大值为.若对任意aCe, +8）（e为自然对数的底数），不等式xb0）经过点（2,0）和（1a b椭圆C上三点A, M B与原点O构成一个平行四边形 AMBO（1）求椭圆C的方

3、程；（2）若点B是椭圆C的左顶点，求点 M的坐标；（3）若A, M B, O四点共圆，求直线 AB的斜率.(本小题满分16分)x已知函数f(x)=Te(aCR),其中e为自然对数的底数.x ax+ a(1)若a=1,求函数f(x)的单调减区间；(2)若函数f(x)的定义域为R,且f(2) f(a),求a的取值范围；(3)证明：对任意 aC(2, 4),曲线y = f(x)上有且仅有三个不同的点，在这三点处的 切线经过坐标原点.(本小题满分16分)an若数列an满足n2, nCN*时，小金0,则称数列( nC N*)为an的“L数列”. an+1(1)若a1=1,且an的“L数列”为，,求数列a

4、n的通项公式；(2)若an=n+k-3(k0),且an的“L数列”为递增数列，求 k的取值范围；(3)若an=1+pn,其中p1,记an的“L数列”的前n项和为S,试判断是否存在等差数列Cn,对任意nCN*,都有CnVSVCn + 1成立，并证明你的结论.南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：.附加题供选修物理的考生使用.本试卷共40分，考试时间30分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题 的答案写在答题卡 上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡. 21 .【选做题】在 A、B C三小题中只能选做 2题，每小题10分，共计20分

5、.请在答卷 卡指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修42:矩阵与变换1 1已知矩阵A=, ae R.若点R1 , 1）在矩阵A的变换下得到点 P （0 , 2）.a 0（1）求矩阵A;（2）求点Q0, 3）经过矩阵A的2次变换后对应点 Q的坐标.B.选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为xlSi：C0s （ e为参数），直线l的参数方程为、=丫3） （t为参数），求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.y= 1 +1C.选修45:不等式选讲已知a, b为非负实数，求证：a3+b3/ab(a2+b2).【必做题】第22题、第23题，每

6、题10分，共计20分.请在答卷卡指定区域内 作答.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(本小题满分10分)如图，在直三棱柱 ABC ABC 中，ABAC AB= 3, AC= 4, BC,AC.(1)求AA的长.(2)试判断在侧棱 BB上是否存在点P,使得直线PC与平面AACC所成角和二面角 B-AC-A的大小相等，并说明理由.(第22题图).(本小题满分10分)口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球.现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n+1(nCN)次.若取出白球的累计次数达到n + 1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖.记获奖概

7、率为R.(1)求 R;(2)证明：p1+1 P!.南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果 后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.只给整数分数，填空题不给中间分数.、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答

8、题纸的指定位置上）1. x1 x5 a/5 2= 3l5.10, 550114分答：x的最小值为(3。5)小时.18.(本小题满分16分)解:22(1)因为椭圆点+看1= 1(ab0)过点(2, 0)和(1 ,所以 a=2, 02卜432= 1,解得2b2=1,所以椭圆C的方程为Ryj.(2)因为B为左顶点，所以 B ( -2,0).因为四边形 AMBO；平行四边形，所以 AM/ BQ且A阵BO= 2.设点 Mx。, y。)，则 A(xo+2, yo).2T- + y，=1 , 因为点M, A在椭圆C上，所以 ，、2 (X0+2)2 d4+y0 = 1X0= - 1 ,解得 ,3 丫。=上，所

9、以M 1, 土平). 因为直线AB的斜率存在，所以设直线 AB的方程为y=kX+m, a(X1,，)B(X2,y= kX+ m由 X22 消去 y,得(4 k2+1)X2+8kmX+ 4n2 4=0,z+y = 1，2,门上一8km 4m4贝有 X1 + X2= 2 , X1X2= 2 .1 + 4k1 + 4k一 一.， . . 、 一 _ -一 一 一因为平行四边形 AMBQ所以QMh QA+ QB=(X1 + X2, y1+y2).因为 X1 + X2=-km, 所以 y1 + y2= k( X1 + X2) + 2m= k , -km + 2m= 1 + 4ky y1 + 4k2mT2

10、1 + 4k 8km 2m、 所以me10分因为点M在椭圆C上，所以将点 M的坐标代入椭圆 C的方程,化彳导4m= 4k2 + 1.12分因为A, M B, Q四点共圆，所以平行四边形 AMBQb矩形，且 QAL QB所以 OA QB=X1X2+ yy = 0.2,、2 m2- 4 k 2因为 yiy2=(kxi+m)(kxi +m)= k X1X2 + km( xi +X2)+m=2,1 + 4k4m 4 m4k22所以 X1X2 + yiy2= -2-+ -2-= 0,化得 5m=4k+4.1 + 4k1 + 4k由解得k2=?, m2 = 3,此时 0,因此k=手.所以所求直线AB的斜率

11、为土卑.19.(本小题满分16分)X e 解：(1)当 a=1 时，f(X) =x2_x+1 ,X ,所以函数f(x)的定义域为r f(x)=e(xr )(x-2)(x -x+1)令 f (x) 0,解得 1 v xv 2,所以函数f(x)的单调减区间为(1,2).(2)由函数f(x)的定义域为R,彳导x2ax+aw0恒成立,所以 a2 - 4a 0,解得 0va4.方法1X e 由 f (x) = x2_ax+ a，得 f (x) =eX(xa)( x-2)(x ax a)当a=2时，f (2) =f(a),不符题意.当0va2时，因为当avx2时，f (x)f (2),不符题意. 当2V

12、a4时，因为当2vxva时，f (x)f(a),得六;e.4 a aa因为0vav4,所以不等式可化为 e2(4 - a). aX设函数 g(x) = e(4 -x) - e2, 0vxv4.x14分16分2分4分6分8分因为g (x) =ex (X：2) W0恒成立，所以g(x)在(0 , 4)上单调递减. x又因为g(2) =0,所以g(x)。的解集为(2, 4).所以，a的取值范围为(2,4).证明：设切点为(x0, f(x0),则f(刈去玉；)，e e (Xo 2)( Xo a),、xo axo+ a(xo axo+ a)x。x。上 c ee (x。 2)( x。 a)、, 小 、由

13、02= -；2-2 X (0 x。)，所以切线万程为y 2= 23 x( x X。).x ax+ a(x ax0+ a)化简得 x03(a+3)x02 +3ax0a=0. 10 分设 h(x) =x3( a+3) x2+3axa, a (2 , 4),则只要证明函数 h(x)有且仅有三个不同的零点.由(2)可知 aC (2 , 4)时，函数 h(x)的定义域为 R, h(x) =3x22(a+3)x+ 3a.因为= 4(a+ 3)236a=4(a3)2+ 270 恒成立，所以h(x) =0有两不相等的实数根xi和x2,不妨xix2.因为x(8, x1)x1h (x)十0h(x)增极大(x1 ,

14、 x2)x2(x2,+8)一0十减极小增所以函数h(x)最多有三个零点. 12分因为 ae (2 , 4),所以 h(0) =- a0, h(2) =a-40,所以 h(0) h(1) 0, h(1) h(2) 0, h(2) h(5) 0),且 n2, nC N*时，anW0,所以 kw1.方法1an仅 bnF，n C N*,所以 bn =n+ k 3(n+ 1) +k31n+ k 2因为bn为递增数列，所以bn+1bn0对nC N*恒成立， TOC o 1-5 h z r一11.,、即-0对nC N*恒成立. n+ k- 2 n+ k 1111因为一11 =1,n+k-2 n+k-1 (

15、n+k2)( n+k1)11，一所以： ：-0等价于(n + k 2)( n+k1) 0.n+k2 n+k1当0v kv 1时，因为n = 1时，(n+ k2)( n + k 1) 1 时，n+k 1n+ k20,所以(n+ k2)( n+k 1) 0, TOC o 1-5 h z 综上，k的取值范围是(1 , +oo ) , 8分方法2.1令f(x) = 1，所以f(x)在区间(一8, 2k)和区间(2 k, +8)上单调递x+ k- 2当0vkv1时，f (1) = 1 - J 1, f (2) = 1 一:v 1,所以 b2Vb1,不符合题意. 6 分k-1k当k1时，因为2-k1,所以

16、1 p0,所以pv&vp+(1 p) (p+帝+ 歹1+?)14分即nv S1n+- - 1 -(1)n .p p p p因为1 1 -(1) n b 时，jagb,从而（ga（qb）,得（下一乖广（洞5（乖）510 6分若 ab时，qayb,从而（ya）5（qb）5, 得（,一”）（g）5（Vb）5 o. 8分综上，a3+ b3 /ab( a2+ b2).(本小题满分10分)解：(1)因为三棱柱 ABC- ABC为直三棱柱，所以 AAL平面 ABC所以 AAXAB AAXAC . -_又ABL AC,所以以 AB, AC, AA为正交基底建立如图所本的空间直角坐标系 A xyz.设 AA=t

17、(t0),又 AB= 3, AC= 4,则 A(0, 0, 0), G(0, 4, t), B(3, 0, t), C(0, 4, 0),所以 AG = (0, 4, t), BiC= (3, 4, -t).因为 Bid AC,所以 BC - AC = 0,即 16 12=0,解得 t=4,所以AA的长为4. 4分(2)由(1)知 B(3 ,0, 0), C(0, 4, 0), A1(0 , 0, 4),所以 AC=(0, 4, 4), BC= (3, 4, 0).设n=（x, y, z）为平面ACB的法向量,取y=3,解得z=3, x=4,所以n=（4, 3, 3）为平面ACB的一个法向量.

18、又因为ABJ面AACC,所以AB= (3, 0, 0)为平面ACA的一个法向量,一AB n12“ coS=| AB| .|n| = 3 . g 32+ 32所以 sin = -f=. .17设 P(3 , 0, m),其中 OWmc4,则 CP=(3 , 4,m) 因为AB=(3, 0, 0)为平面ACA勺一个法向量,所以 cosv CP,AB CPAB= I AB| | CP|9 33 32+ ( - 4) 2+ mi yjm+ 253所以直线PC与平面AAGC的所成角的正弦值为f 2.mi+25因为直线PC与平面AAGC所成角和二面角 B- AiC-A的大小相等,所以2=,此时方程无解，y

19、m2+25 /所以侧棱BB上不存在点P,使得直线PC与平面AAC1C所成角和二面角 B- AiC- A的大小相等10分23.(本小题满分10分)解：(1)根据题意，每次取出的球是白球的概率为之取出的球是黑球的概率为 3.55所以Pi=2X2+C2X (2)2X3 = 45 555 252412544125(2)证明：累计取出白球次数是n + 1的情况有：前n次取出n次白球，第n + 1次取出的是白球，概率为Cnx(2)n+1；5前n +1次取出n次白球，第n +2次取出的是白王概率为Cnx (1) n+1x|； TOC o 1-5 h z 55前2n 1次取出n次白球，第前2n次取出n次白球，第2n2n次取出的是白球，概率为C2n-1X(-)n+1x(-)n；55+1次取出的是白球，概率为 ixAr+x3)则 Pn=dx(|)n+1+d+1X(|)n+1 5555x5+$