10.5matlab在级数中的应用教案

1、10.5matlab在级数中的应用教案10.5matlab在级数中的应用教案10.5matlab在级数中的应用教案山东理工职业学院教案首页 学年 第 学期课程名称 高等数学任课教师 授课班级授课时间第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 节第 节第 节第 节第 节第 节 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授课课题10.5 数学实验：MATLAB在级数中的应用教学目的1.了解级数的有关理论。2.了解函数的Taylor展开式。3.学习,掌握MATLAB软件中有关命令。教学重点1、级数的计算教学难点1、无穷级数的计算教学用具备 注新授课练习1 先用Taylor命令

2、观察函数Maclaurin展开式的前几项,若观察前6项,相应的MATLIB代码为clear;syms x;taylor(sin(x),0,1)taylor(sin(x),0,2)taylor(sin(x),0,3)taylor(sin(x),0,4)taylor(sin(x),0,5)taylor(sin(x),0,6)运行结果为 taylor(sin(x),0,1) ans =0 taylor(sin(x),0,2) ans = x taylor(sin(x),0,3) ans = x taylor(sin(x),0,4) ans = x-1/6*x3 taylor(sin(x),0,5)

3、ans = x-1/6*x3 taylor(sin(x),0,6) ans = x-1/6*x3+1/120*x5然后在同一坐标系里作出函数和其Taylor展开式的前几项构成的多项式函数,的图形,观察这些多项式函数的图形向的图形逼近的情况。在区间上作函数与多项式函数图形的MATLIB代码为x=0:0.01:pi; y1=sin(x); y2=x; y3=x-x.3/6;y4=x-x.3/6+x.5/120;plot(x,y1,x,y2,:,x,y3,:,x,y4,:)运行结果如图3.1，其中实线表示函数的图形。类似的，根据函数的Taylor级数作图观察其展开式的前几项多项式函数逼近原函数的情况

4、。练习2 利用幂级数计算指数函数。指数函数可展开为幂级数其通项为，因此用下列循环相加就可计算出这个级数。x=input(x=);n=input(n=);y=1;%输入原始数据,初始化yfor i=1:n y=y+xi/prod(1:i);end,vpa(y,10),%将通项循环相加，得y执行此程序，分别带入x=1,2,4,-4这四个数，取n=0，得到结果如下：2.718281801,7.388994709,54.44310406,.9671957672e-1用vpa(exp(1),10),vpa(exp(2),10),vpa(exp(4),10),vpa(exp(-4),10)命令可得?的有1

5、0位精确有效数字的结果为2.718281828,7.389056099,54.59815003,.1831563889e-1对照可知，用级数法计算的有效数字分别为8，4，2，0位。因此这个程序虽然原理上正确，但不适用。对不同的x，精度差别很大。还存在其它的问题：这个程序不能用于x的元素群运算；当x为负数时，它成为交错级数，收敛很慢；该程序要做次乘法，n很大时，乘法次数太多，计算速度很低；对不同的x，要取不同的n才能达到精度要求，因此n不应由用户输入，应该由程序按精度要求来选。针对上面的四个问题,可以采用下面的四种方法改进:(1)允许数组输入,改进输出显示x=input(x=);n=input(

6、n=);y=ones(size(x);%输入原始数据,初始化yfor i=1:ny=y+x.i/prod(1:i);%循环相加s1=sprintf(%13.0f,i);s2=sprintf(%15.8f,y);%将结果变为字符串disp(s1,s2)%显示end,执行此程序,输入x=1 2 4 -4,n=10,结果为 1 2.00000000 3.00000000 5.00000000 -3.00000000 2 2.50000000 5.00000000 13.00000000 5.00000000 3 2.66666667 6.33333333 23.66666667 -5.6666666

7、7 4 2.70833333 7.00000000 34.33333333 5.00000000 5 2.71666667 7.26666667 42.86666667 -3.53333333 6 2.71805556 7.35555556 48.55555556 2.15555556 7 2.71825397 7.38095238 51.80634921 -1.09523810 8 2.71827877 7.38730159 53.43174603 0.53015873 9 2.71828153 7.38871252 54.15414462 -0.19223986 10 2.71828180

8、 7.38899471 54.44310406 0.09671958(2)可以利用exp(-x)=1/exp(x)来避免交错级数的计算。（3）为了减少乘法次数，设一个中间变量z，它的初始值为z=ones(sine(x)，把循环体中的计算语句改为y=y+z;z=x.z/i;这样，求得的z就是z=x.i/i，于是每个循环只需做一次乘法，计算整个级数只需n次乘法。按这种方法，y的初始值改为y=zeros(size(x)。(4)为了按精度选择循环次数，不应使用for循环，而用while语句，它可以设置循环的条件语句，通常可用y+z-ytol，tol是规定的允许误差，只要相邻的两次y值之差大于tol，循环就继续进行，直到小于tol为止。当x较大时，exp(x)仍能很快收敛，还可以利用关系式，令x1=x/k。k通常取大于x而接近x的2的幂，例如x=100，就取k=128，可以保证x1的绝对值小于1，这时级数收敛的很快。从练习中可以看出，n取10时就能保证7位有效数字，而可以化为，即exp(x1)的7次自乘，总共享17次乘法就可完成？的计算，既保证了精度，又提高了速度。【练习与思考】习题1用T