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1、7.5二阶常系数线性非齐次微分方程（教案）7.5二阶常系数线性非齐次微分方程（教案）7.5二阶常系数线性非齐次微分方程（教案）山东理工职业学院教案首页 学年 第 学期课程名称 高等数学任课教师授课班级授课时间第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 节第 节第 节第 节第 节第 节 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授课课题7.4二阶常系数线性非齐次微分方程教学目的知道二阶常系数线性非齐次微分方程的解法教学重点二阶常系数线性非齐次微分方程的解法教学难点教学用具备 注 复习讲授新课小结二阶常系数线性齐次微分方程的解法二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式是 （1

2、）其中是常数。方程（1）的通解为对应的齐次方程 （2）的通解Y和方程（1）的一个特解之和。即 .在第四节中，我们已解决了求二阶常系数线性齐次方程通解的问题，所以，我们只需讨论求二阶常系数线性非齐次微分方程的特解的方法。下面我们只介绍当方程（1）中的为如下两种常见形式时求其特解的方法。一、由于方程（1）右端函数是指数函数与次多项式的乘积，而指数函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此，我们推测：方程（1）的特解应为( 是某个次数待定的多项式 )代入方程（1），得消去，得 （3）讨论、如果不是特征方程的根。即 由于是一个次的多项式，欲使（3）的两端恒等，那未必为一个次多项式，设为将之代入（3），

3、比较恒等式两端的同次幂的系数，就得到以为未知数的个线性方程的联立方程组，解此方程组可得到这个待定的系数，并得到特解、如果是特征方程的单根。即 ，但 欲使（3）式的两端恒等，那么必是一个次多项式。因此，可令 并且用同样的方法来确定的系数。、如果是特征方程的二重根。 即 ，且 。欲使（3）式的两端恒等，那么必是一个次多项式因此， 可令 并且用同样的方法来确定的系数。综上所述，我们有结论如果，则方程（1）的特解形式为其中是与同次的多项式，的取值应满足条件例1求 的通解。解 特征方程为 特征根为 齐次方程的通解为 因为是特征单根，所以，设非齐次方程的特解为 则将上述三式代入原方程，得 ，比较恒等式两端的系数，得解得 ， 因此 所以方程的通解为二、由于方程（1）右端函数为，这种形式得到非齐次方程的特解的过程稍微复杂些，所以我们这里就只给出结论其中，、是两个次多项式，且 例2求方程 的通解。解 特征方程 特征根 齐次方程的通解为 这里，由于不是特征方程的根，所以设方程的特解为代入原方程，得比较两端同类项的系数，得 解得 于是 所以非齐次方程的通解为小结：二阶常系数线性非齐次方程（1）形式： ，其中为常数， （2）求解： = 1 * GB3 若 ，则特解形式为 其中是与同次的多项式，且不是特征根时 ，是单重特征

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