高中数学题型全面归纳（学生版）：3.2导数的应用15

1、第二节 导数的应用考纲解读1了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数最大值、最小值；3生活中的优化问题，会利用导数解决某些实际问题.知识点精讲1函数单调性与导函数符号的关系一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间内，如果，那么函数在该区间内单调递增；如果，那么函数在该区间内单调递减.2求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数的定义域；（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数的间断点（即的无定义

2、点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.注使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，当时，；当时，而显然在上是单调递增函数.若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不

3、必要条件.于是有如下结论：单调递增；单调递增；单调递减；单调递减.3函数极值的概念设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点.函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.4求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，

4、那么函数在这个根处取得极小值.注可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.是为极值点的既不充分也不必要条件，如，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.5函数的最大值、最小值若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.6求函数的最大值、最小值的一般步骤设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较

5、，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；函数的最值必在极值点或区间端点处取得.题型归纳与思路提示题型42 利用导函数与原函数的关系确定原函数图像思路提示原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）.例3.8 若函数的导函数在区间上是增函数，则

6、函数在区间 上的图像可能是（ ）D.C.yxOyxOyxOyxOABCD变式1 设是的导函数，将和的图像画在同一直角坐标系中，不可能的是（ ）变式2 已知函数的图像如图3-3所示.（其中是的导函数），下面4个图像中，的图像大致是（ ）变式3 设函数，若为函数的一个极值点，则下列图像不可能为的图像的是（ ）变式4 函数在区间上的图像如图3-4所示，则的值可能是（ ）0.51xyO0.5图3-4A B C D题型43 利用导数求函数单调区间思路提示求函数的单调区间的步骤如下：（1）求的定义域（2）求出.（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线.（4）在定义域内，令，解出的取值范围，得

7、函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.例3.9 求函数的单调区间.评注 单调区间的呈现形式，解题过程尽量列表.变式1 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设点在曲线上，若该曲线在点处的切线通过坐标原点，求的方程.变式2 已知曲线，且是奇函数.（1）求的值； （2）求函数的单调区间. 变式3 函数的定义域为，对任意，则 的解集为（ ）A B C D题型44 含参函数的单调性（区间）思路提示第1步求函数定义域；第2步求导函数；第3步以导函数的零点存在性进行讨论；第4步当导

8、函数存在多个零点时，讨论它们的大小关系以及与区间的位置关系；第5步画出导函数的同号函数的草图，从而判断导函数的符号；第6步根据第5步的草图列出，随的变化情况表，并写出函数的单调区间；第7步综合以上讨论的情形，完整写出函数的单调区间.例3.10 设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线.（1）求的值； （2）若函数，讨论的单调性.评注 本题导函数的符号是由有关含参数的二次函数来确定，导函数在区间上无变号零点则必单调；在区间上有变号零点则必不单调，故当二次函数的时，导函数无变号零点，故为单调函数；当时，此时导函数有变号零点，就是不单调函数，应分具体区间讨论不同的单调性. 变式1 已知函数.

9、（1）若函数在点处的切线为，求实数的值；（2）求函数的单调区间.变式2 已知函数，讨论的单调性.例3.11 求函数的单调区间. 分析 含参函数求解单调区间，讨论的关键在于导函数的零点区间端点的相对大小关系.评注 本题难度较大，在分类中要不重不漏，标准统一，分层不越级.讨论的重点在于比较导函数的零点，及定义域端点值的大小来确定的参数范围，但千万不要以二次项系数的正负作为对的分类的依据！即不要分讨论！易错点：容易忘记当时的情况.当时，二次函数的图像开口方向向下，单调性发生变化.综上，单调性相同的归为一类，但各个区间不能使用“”连接.变式1 求函数的单调区间.变式2求函数的单调区间.题型45 已知含

10、量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围思路提示（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.一、已知含参函数在区间上的单调性，求参数的范围例3.12 已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若在上是增函数，求的取值范围.评注 二次函数模型是在解决导数

11、问题中常用的模型，经常用来类比解决三次函数（其导数为二次函数）以及函数的导数只有一个极值点的函数（类二次函数）的某些问题.若一个三次函数在某区间上单调递增或递减，可相应转化为其导函数（二次函数）在此区间上恒为非负或非正的问题.设，若在区间上恒成立在上的最小值大于0，如图3-5所示.mn图3-5当时，；当时，；当时，.若在区间上恒成立在上最大值小于0，如图3-6所示.mn图3-6，这是因为对于开口向上的抛物线，最大值必在区间的端点处取得.对于开口向下的抛物线，只要结合图像类似讨论即可.变式1 函数在区间内单调递增，求的取值范围.变式2 已知函数，其中为常数，且.（1）若，求函数的极值点；（2）若

12、在区间内单调递增，求的取值范围.变式3 已知函数的图像过点，且在点处的切线恰好与直线垂直.（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.二、含参函数在区间上不单调，求参数范围例3.13 已知函数.（1）若函数的图像过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；（2）若函数在区间上不单调，求的取值范围.评注 若在某区间上不单调，则在此区间有变号零点，可先考虑在整个定义域内根的情况，结合函数的图像和性质找出给定区间有变号零点的充要条件，若不易直接求解极值点，应分离自变量与参变量，转化为函数的值域求解.变式1 已知函数，其中，若函数在区间上不单调，求的取值范围.三、含参函数在区间上

13、存在单调增（或减）区间，求参数范围例3.14 设函数中，若函数在上存在单调递增区间，求的取值范围.评注 解本类题目的一般思路是：含参函数在区间上存在单调递增（减）区间，则在区间上有解的最大（小）值大（小）于0在区间上成立.变式1 已知函数，且函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围.例3.15 已知函数，其中.（1）求的极值；（2）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围.题型46 函数的极值与最值的求解思路提示有关极值问题要从极值存在的充分条件与必要条件上考虑，不仅要注意导数为零点，同时也要注意导数为零附近导数变号情况.例3.16 （2012陕西理7）设函数，则（ ）A为的极

14、大值点 B为的极小值点C为极大值点 D为的极小值点.21-2Oyx图3-7变式1 （函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图3-7所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A函数有极大值和极小值B函数有极大值和极小值C函数有极小值和极小值D函数有极大值和极小值变式2 若，且函数在处有极值，则的最大值等于（ ）A2 B3 C6 D9例3.17 已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处有公共切线，求的值；（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值.评注本题求解在给定区间上的最值，将零点与区间的端点加以比较，分析函数在区间上的单调性，从而求出最值变式已知函数（）当时，求函数的单调区间；（）

15、若函数在上的最小值是，求的值变式已知中函数，其中（）若是的极值点，求的值（）求的单调区间（）若在上的最大值是，求的取值范围题型方程解（函数零点）的个数问题思路提示研究函数的零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化（）已知含参函数存在零点（即至少一个零点），求参数范围问题，一般可作为代数问题求解即对进行参变分离，得到的形式，则所求的范围就是的值域（）当研究函数的零点个数问题，即方程的实根个数问题时，也常要进行参变分离，得到的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解例设为实数，函数（）求的极值；（）若方程有个实数根，求的取值范围；（）若函数恰好有两个零点，求的值评注 本类题要结合函数的单调性和

16、极值，体现数形结合的数学思想变式1 已知，且当和时，函数取极值（1）求的解析式（2）若曲线与有两个不同的交点，求实数的取值范围变式2 已知函数, 在点处的切线方程为（1）求的解析式；（2）若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值；（3）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围题型48不等式恒成立与存在性问题思路提示在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成

17、立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立不等式在区间D上恒成立例3.19 已知函数（1）求的最小值（2）对所有都有，求实数的取值范围评注 对于恒成立问题，其根本思路是转化，而转化只有两种方法1，变量分离法，2，不分离参数法，本例第（）问运用分离变量的方法，使得构造中的函数不含有参数，避免了对参数的分类讨论，对于不等式验证区间端点成立的情形，一般采用不分离参数法（见本例的变式1），同学们应该视不同的情形使用不同的方法变式1 设函数（1）求的单调区间；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相

18、异的实根，求实数的取值范围变式2 （2012湖南22（1）已知函数，其中，若对一切恒成立，求的取值集合例3.20 设函数（1）证明; 的导数；（2）若对所有，都有，求的取值范围评注 对于恒成立问题，其根本思想是 “转化”，而转化有两种方法：分离参数法和不分离参数法，对于不等式试验区间端点值成立的情形，一般采用不分离参数法，相比分离参数法操作上简单，可以视不同情形，选择不同的方法变式1 （2012天津20）已知的最小值为，其中（）求的值；（）若对任意的，均有成立，求实数的最小值变式已知函数（）讨论函数的单调性；（）当时，恒成立，求的取值范围思路提示（）若函数在区间上存在最小值和最大值，即，则对不

19、等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解例已知函数（）若，求函数的极值；（）设函数，求函数的单调区间；（）若在上存在一点，使得成立，求的取值范围变式设函数，在处取得极值（）求与满足的关系式；（）若，求函数的单调区间；（）若，函数，若存在，使得成立，求的取值范围思路提示（）对于任意的，总存在，使得；（）对于任意的，总存在，使得；（）若存在，对于任意的，使得；（）若存在，对于任意的，使得；（）对于任意的，使得

20、；（）对于任意的，使得；（）若存在，总存在，使得（）若存在，总存在，使得例已知（）当时，讨论的单调性；（）设，当时，若对任意，存在，使求实数的取值范围评注对于存在性与任意性的综合问题，不妨先定存在，如本例中对任意的，总存在，使，令，则，设，再分析存在，则，即最终转化为的问题变式已知函数（）求的单调区间；（）设，若对任意的，均存在，使得，求的取值范围变式已知函数，（为常数，）（）若是函数的一个极值点，求的值；（）求证：当时，在上是增函数；（）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围题型利用导数证明不等式思路提示利用导数证明不等式常用的方法是构造辅助函数，通过构造辅助函数将不等式的证明问

21、题转化为函数的单调性证明或函数的最值问题例设为实数，函数（）求的单调区间与极值；（）求证：当且时评注一般地，要证，在区间上恒成立，构造辅助函数，通过分析的单调性，从而求出在上的最小值，只要能证明，就可证明变式设（）令，讨论在上的单调性并求极值；（）求证：当时，恒有变式2 已知函数的图象在点处的切线方程为（1）用表示出；（2）若在上恒成立，求的取值范围（3）证明：变式3已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.（）求的值；（）求的单调区间；（）设,其中为的导函数.证明：对任意.题型50 导数在实际问题中的应用思路提示导数在实际问题中的应用主要用于生活中的优化问题，思路是选取

22、适当自变量列函数式求最值，这里根据实际问题存在最值，若只有一个点，即为极值点，也就是所求最值（间峰函数）例3.24 一个圆环直径为，通过铁丝是圆上三个等分点）悬挂在B处，圆环呈水平状态并距天花板，如图39所示（1）设BC的长为，铁丝总长为，试写出关于的函数关系式，并写出函数定义域；（2）当为多长的时，铁丝总长有最小值，并求此最小值变式1 某企业拟建造如图3-10所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分建造费用为，半球形部分建造费用为(c3) ，设该容器的建造费用为y千元.图3-10(1)写出y关于的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r.变式2请你设计一个包装盒，如图3-11所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P