高中数学题型全面归纳（学生版）：10.1椭圆及其性质42

1、第十章 圆锥曲线本章知识结构图曲线与方程轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法圆锥曲线椭圆双曲线抛物线定义及标准方程性质范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）、渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线）离心率对称性问题中心对称轴对称点(x1，y1) eq o(sdo3(),sup3(关于点(a，b)对称)点(2ax1，2by1)曲线f (x，y) eq o(sdo3(),sup3(关于点(a，b)对称)曲线f (2ax，2by) eq blc(aal(Af(x1x2,2)Bf(y1y2,2)C0,f(y2y1,x2x1)(f(A,B)1) 特殊对称轴xyC0直接代入法点(x1，y1

2、)与点(x2，y2)关于直线AxByC0对称第一节 椭圆及其性质考纲解读了解圆锥曲线的实际背景及其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.掌握椭圆的定义，标准方程，几何图形及其简单性质了解椭圆的简单应用理解数形结合的思想命题趋势研究椭圆是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，在各种题型中均有题型预测2019年高考对本节考查内容为：利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率的求值及取值范围问题.利用已知条件求出椭圆的方程，特别是与向量结合求方程更是重点.椭圆的定义，标准方程和几何性质及直线相交问题的

3、考查以中档题目为主，每年高考分值大多保持在5分.知识点精讲椭圆的定义平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：注明：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在.椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质所示.（如下表10-1）焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程统一方程参数方程第一定义到两定点的距离之和等于常数2，即（）范围且且顶点、轴长长轴长 短轴长 长轴长 短轴长对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、焦距离心率 准线方程（不考）点和椭圆的关系切线方程对于过椭圆上一点的切线方程，只

4、需将椭圆方程中换为，换为便得切点弦所在的直线方程焦点三角形面积为短轴的端点）焦点三角形中一般要用到的关系是焦半径左焦半径：又焦半径：上焦半径：下焦半径：焦半径最大值，最小值通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）弦长公式设直线与椭圆的两个交点为，,则弦长（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）题型归纳及思路提示题型136 椭圆的定义与标准方程思路提示（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程.注意：如果椭圆的焦点位置

5、不能确定，可设方程为.与椭圆共焦点的椭圆可设为.与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）.椭圆的定义与标准方程的求解动点到两定点的距离之和为10，则动点的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 变式1 求焦点的坐标分别为，且过点的椭圆的方程.变式2 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.在，已知，动点使得的周长为10，则动点的轨迹方程为_. 变式1 已知动圆过定点，且与圆相切，求动圆圆心的轨迹方程.变式2 已知一动圆与圆外切，与圆内切，试求动圆圆心的轨迹方程.变式3 已知圆，圆圆，动圆与圆内切

6、，与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程.例10.3 已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是（ ）A. B. 或 C. D. 或变式1 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线交于两点，且的周长为16，那么的方程为_.变式2 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过，则椭圆的方程为_.变式3 经过两点的椭圆的标准方程是_.椭圆方程的充要条件若方程表示椭圆，则的取值范围是_.变式1 如果表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是_.变式2 “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也

7、不必要条件变式3 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_.题型137 离心率的值及取值范围思路提示求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法和定义法.已知椭圆(1)若长轴长，短轴长，焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为_.(2)若长轴长，短轴长，焦距成等比数列，则该椭圆的离心率为_.变式1 椭圆的左右顶点分别是，左右焦点分别是.若成等差数列，则此椭圆的离心率为_.变式2 已知椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，若，则该椭圆的离心率是_.例10.6 过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的

8、离心率为( )A. B. C. D. 变式1 已知正方形，以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为_.变式2 已知椭圆的左右焦点分别为，且，点在椭圆上，且垂直于轴，则椭圆的离心率等于（ ）A. B. C. D. 变式3 已知椭圆的左右焦点分别为，焦距，若直线与椭圆的一个交点满足，则椭圆的离心率等于_.变式4 设，是椭圆的两焦点，以为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为，若直线与圆相切，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 例10.7椭圆的左右焦点分别为，椭圆上存在点使，则椭圆的离心率的取值范围为_.变式1 已知，是椭圆的两焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆的离心（ ）A. B. C. D

9、. 例10.8 椭圆的两个焦点，若为其上一点，且，则此椭圆离心率的取值范围为_变式1椭圆的两个焦点，椭圆上存在使得椭圆方程可以是（ ）A. B. C. D. 变式2 已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则椭圆的离心率的取值范围为_.题型138 焦点三角形思路提示焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即.例10.9已知，是椭圆的两个焦点， 为椭圆上一点，且，若的面积为9，则_.变式1 已知是椭圆的两个焦点，为该椭圆上一点，且，求的面积.变式2 已知是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则点到轴的距离为_.例10.10 已知椭圆的

10、左、右焦点分别为，是椭圆上的一动点.（1）求的取值范围；（2）求的取值范围；变式1 椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围（ ）A. B. C. D. 变式2 设是椭圆上一动点，分别是左、右两个焦点，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 变式3 设椭圆的焦点为，是椭圆上任一点，若的最大值为，则此椭圆的离心率为_.最有效训练题42（限时45分钟）1. 已知点，椭圆与直线交于，则的周长（ ）A. 4B. 8C. 12D. 162.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 3. 椭圆的焦点为，椭圆上的

11、点满足，则的面积是（ ）A. B. C. D. 4. 如图10-4所示，椭圆中心在原点，是左焦点，直线与交于，且，则椭圆的离心率为（ ）FxODCBAy图10-4A. B. C. D. 5. 若椭圆的离心率，则的值为（ ）A. B. C. D. 6. 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）A.2B.3C. 6D. 87. 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，若线段的延长线交于点，且，则的离心率为_.8. 椭圆的左，右顶点分别是，左、右焦点分别是，若成等比数列，则此椭圆的离心率为_.9.椭圆上的一点到两焦点的距离的乘积为，则当取最大值时，点的坐标是_. 10. 已知椭圆的离心率为，经过点， （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆的左焦点，判断以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由.11. 已知椭圆的