高中数学题型全面归纳（学生版）：13.1 概率及其计算53

1、第十三章 概率与统计本章知识结构图统计随机抽样抽签法随机数表法简单随机抽样系统抽样分层抽样共同特点：抽样过程中每个个体被抽到的可能性（概率）相等用样本估计总体样本频率分布估计总体总体密度曲线频率分布表和频率分布直方图茎叶图样本数字特征估计总体众数、中位数、平均数方差、标准差变量间的相关关系两个变量的线性相关散点图回归直线正态分布列联表（22）独立性分析概率概率的基本性质互斥事件对立事件古典概型几何概型条件概率事件的独立性用随机模拟法求概率常用的分布及期望、方差随机变量两点分布XB(1，p)E(X)p，D(X)p(1p)二项分布XB(n，p)E(X)np，D(X)np(1p)XH(N，M，n)E

2、(X)n eq f(M,N)D(X) eq f(nM,N) eq b(1f(M,N) eq f(Nn,N1)n次独立重复试验恰好发生k次的概率为Pn(k) eq Co(sup1(k),sdo1(n) pk(1p)nk超几何分布若YaXb，则E(Y)aE(X)bD(Y)a2D(X)P(AB)P(A)P(B)P(A)1P(A)P(A B)P(A)P(B)P(B | A) eq f(P(A B),P(A)第一节 概率及其计算考纲解读1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。3.掌握古典概型及其概率计算公式。4.了解随机数的意义，

3、能运用模拟方法估计概率。5.了解几何概型的意义。命题趋势探究1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。知识点精讲一、必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下： = 1 * GB3 必然要发生的事件叫必然事件； = 2 * GB3 一定不发生的事件叫不可能事件； = 3 * GB3 可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。二、概率 在相同条件下，做次重复实验，事件A发生次，测得A发生的频率为，当很大时，A发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，

4、这时就把这个常数叫做A的概率，记作。对于必然事件A，；对于不可能事件A，=0.三、基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。四、两个基本概型的概率公式1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域的子集A，A的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为. 。五、互斥事件的概率1、互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A与事件B互斥，则 。2、对立事件事件A,B互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B对立，记作或。 。3、互斥事件与对立

5、事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A，B对立”是”事件A，B互斥“的充分不必要条件。题型归纳及思路提示题型176 古典概型思路提示首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A所包含的基本事件数；最后计算。例13.1 设平面向量， ，其中 （1）请列出有序数组的所有可能结果；（2） 若“使得成立的为事件A，求事件A发生的概率。变式1【2017课标 = 2 * ROMAN II，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数

6、的概率为A. B. C. D. 变式2 连抛两次骰子的点数分别为，记向量，向量，与的夹角为，则的概率是（ ） A. B. C. D. 例13.2 【2017山东，理8】从分别标有，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A） （B） （C） （D）变式1【2017天津，文3】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（A）（B）（C）（D）变式2 【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛

7、掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 .变式3 【2016高考上海文科】某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为_.题型177 几何概型的计算思路提示首先确定事件类型为几何概型并明确其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算出基本事件区域的数值和事件A包含区域数值 ，最后计算 ，解几何概型问题的关键是画图、求面积。例13.3 【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是ABCD变式1 【2016高

8、考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A）EQ F(1,3) （B）EQ F(1,2) （C）EQ F(2,3) （D）EQ F(3,4).例13.4如图13-2所示，在边长为 的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 变式1 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为_.变式

9、2 【2016高考新课标2理数】从区间随机抽取个数,，构成n个数对，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（A） （B） （C） （D）例13.5 已知 ,，则 的概率为_.变式1 【2017江苏，7】 记函数的定义域为.在区间上随机取一个数,则的概率是 .例13.6 甲乙两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内能相见的概率。分析 由题意知，当甲乙两人到达目的地的时间相差小于或等于40分钟时两人便能在约定时间内相见。变式

10、1 小明家的晚报在下午5：30 6：30之间的任何一个时刻随机地被送到，小明一家人在下午6：007：00之间的任何一个时刻随机地开始晚餐。（1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大？（不用计算）.（2）晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？最有效训练题53（限时40分钟）1、甲乙丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（ ）A. B. C. D. 2、【2016高考新课标2文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）（A）（B）（C）（D）3、两根相距3 的

11、木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于的概率为（ ）A. B. C. D. 4、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为 ，则 的概率为（ ） A. B. C. D. 5、在边长为18的线段上任取一点 ，并以线段 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36与81之间的概率为（ ）A. B. C. D. 6、【2016高考四川文科】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则为整数的概率= _7、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件为“抽得红桃 ”，事件为“抽得的是黑桃”，则概率=_（结果用最简分数表示）.8、【2016高考山东理数】在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 . 9、已知函数 ，且 ，则对于任意的 ，函数总有两个不同的零点的概率是_.10、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_.11、在平面直角坐标系 中，平面区域中的点的坐标 满足 ，从区域中随机取点.（1） ，求