高中数学题型全面归纳（学生版）：8.2空间几何体的直观图与三视图32

1、第二节 空间几何体的直观图与三视图考纲解读1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的机构特征， 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。2.能画出简单空间图形（长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等及其及其简易组合）的三视图， 能识别三视图, 能所表示的立体模型, 并会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影, 画出简单空间图形的三视图与直视图, 了解空间图形的不同表示形式.4. 会画某些建筑物的三视图与直视图(在不影响图形特征的基础上, 尺寸、线条等不作严格要求).命题趋势探究高考中对本节内容的考查, 可以分为以下两类.(1)柱、锥、台、球的定义和相关性质是基础, 以它们为载体考查线线、

2、线面、面面间的关系是中点。(2)三视图为新课标新增内容, 所以高考会加大对其考查的粒度.在高考中,主要考查三视图和直观图, 特别是通过三视图确定原几何体的相关量. 多以选择填空题为主,也不排除通过三视图来还原几何体的直观图的解答题, 侧重于考查考生对基础知识的掌握以及应用所学知识解决问题的能力.知识精讲一、空间几何体的直观图1.斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下:(1)建立直角坐标系. 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 ,建立直角坐标系.(2)画出斜坐标系. 在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形. 在已知图形平行于 轴的线段, 在直观图中画成平行于 使 (或), 它们确定的平面表示水平

3、平面.(3)画出对应图形. 在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于 轴的线段, 且长度保持不变; 在已知图形平行于 轴的线段, 在直观图中画成平行于 轴, 且长度变为原来的一般. 可简化为 “横不变, 纵减半”.(4)擦去辅助线. 图画好后, 要擦去 轴、 轴及为画图添加的辅助线(虚线). 被挡住的棱画虚线.注: 直观图和平面图形的面积比为. 2.平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的, 中心投影的投影线相交于一点.二、空间几何体的三视图1.三视图的概念将几何体由前至后、由左至右、由上至下分别作正投影得到的三个投影图依次叫做该几何体的正(主)视图、左(侧)视图、俯视图, 统称

4、三视图. 它们依次反应了几何体的高度与长度、高度与宽度、长度与宽度.2.作、看三视图的三原则(1)位置原则:度量原则长对正、高平齐、宽相等即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽虚实原则轮廓线、现则实、隐则虚俯视图几何体上下方向投影所得到的投影图反映几何体的长度和宽度口诀正侧同高正府同长府侧同宽或长对正、高平齐、宽相等三、常见几何体的直观图与三视图常见几何体的直观图与三视图如表8-3所示.题型归纳及思路提示题型斜二测画法与直观图思路提示注意用斜二测画法画直观图时水平方向与竖直方向长度的不同它们与实物图的对应关系例下列叙述中正确的个数是相等的角在直观图中仍相等长度相等的线段, 在直观图中长度仍相等;若两条

5、线段平行, 在直观图中对应的线段仍平行;若两条线段垂直, 则在直观图中对应的线段也互相垂直.A. 0 B.1 C.2 D. 3(2)如图8-10所示, 是 水平放置的直观图, 则 的面积为( )图 8-10A.6 B. C. D. 12评注 (1)”斜”指的是在直观图中, 轴的夹角为 , “二测”指的是 “平行关系不变”, 以及 “长度纵变横不变”. (2)直观图中保持不变的有线段的同向性与同向线段长之比. 直观图与原图的面积关系: .变式1 已知正 的边长为 , 以它的一边为 轴, 对应的高为 轴, 画出它的水平放置的直观图 , 则 的面积为( ).A. B. C. D. 变式2 利用斜二测

6、画法, 一个平面图形的直观图时边长为1的正方形, 如图8-11所示,则该平面图形的面积为( )A. B.2 C. D. 4题型直视图三视图思路提示已知直观图描绘三视图的原则是:先看俯视图, 观察几何体的摆放姿态, 再看正视图与侧视图同高, 正视图与俯视图同长, 侧视图与俯视图同宽.例8.8 正三棱柱 如图8-12所示, 以面 为正前方画出的三视图正确的是( ).变式1 如图8-14所示, 为正三角形, 平面 且 , 则多面体 的正视图(也称主视图)是( ). 变式2 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥, 得到图2所示的几何体, 则该几何体的左视图为( ).变式3 已知棱长为1的正方体的俯视图

7、是一个面积为1的正方形, 则该正方体的正视图的面积面积不可能等于( )A. 1 B. C. D. 题型直视图直观图简单几何体的基本量的计算思路提示由三视图想象出直观图必须与实物图对应, 先看俯视图, 根据三视图的形状并结合表8-1,定几何体的形状, 由口诀 “正侧同高, 正俯同长, 俯侧同宽”定几何体的相关数据.例8.9 若某空间几何体的三视图如图8-16所示, 则该几何体的体积是( )A. B. C. 1 D. 2变式1 如图8-18所示, 是一个几何体的三视图, 若其体积为 , 则 .变式2 如图8-19所示, 是长和宽分别相等的两个矩形, 给定下列三个命题:存在三棱柱, 其正视图、俯视图

8、如图8-19所示；存在四棱柱， 其正视图、俯视图如图8-19所示;存在圆柱, 其正视图、俯视图如图8-19所示.其中真命题的个数是( )A. 3 B. 2 C. 1 D. 0例8.10 如图8-20所示, 一个空间几何体的正视图和侧视图都是低为1, 高为2的矩形, 俯视图是一个圆, 那么该几何体的表面积为( ).A. B. C. D. 变式1 某个几何体的三视图如图8-22所示, 则该几何体的体积是( ).A. B. C. D. 变式2 若一个正三棱柱的正视图如图8-23所示, 则其侧面积等于 .变式3 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等, 体积为 , 它的三视图中的俯视图如图8-24所示,

9、左视图是一个矩形, 则这个矩形的面积是 . 变式4 一个几何体的三视图如图8-25所示, 则该几何体的体积为 .例8.11 一个空间几何体的三视图如图8-26所示, 则该几何体的表面积为( ).A. 48 B. C. D. 80 12144正视图侧视图俯视图图 8-26变式1 如图8-28所示, 某几何体的正视图是平行四边形, 侧视图和俯视图都是矩形, 则该几何体的体积为( ).A. B. C. D. 变式2 一个几何体的三视图如图8-29所示, 则该几何体的体积是 .变式3 一个几何体的三视图如图8-30所示, 则该几何体的表面积为 .例8.12 如图8-31所示, 3个直角三角形是一个体积

10、为 的几何体的三视图, 则 cm. 变式1 某四面体的三视图如图8-33所示, 该四面体四个面的面积中最大的是( ).A. 8 B. C. 10 D. 变式2 若几何体的三视图如图8-34所示, 其中正视图、侧视图为正方形， 俯视图是腰长为2的等腰直角三角形， 则该几何体的体积是（ ）。A. B. C. D. 变式3 若几何体的三视图如图8-35所示, 则该几何体的体积是( ).A. B. C. D. 正视图侧视图俯视图图 8-34111俯视图图 8-35正视图侧视图例8.13 一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图8-36所示, 则该几何体的侧面积为 cm2. .变式1 某四棱锥的三视

11、图如图8-38所示, 该四棱锥的表面积是( ).A. 32 B. C. 48 D. 变式2 一个棱锥的三视图如图8-39所示, 则这个棱锥的体积为 . 443333正视图侧视图俯视图图 8-39变式3 一个五面体的三视图, 其正视图与侧视图是等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形, 部分边长如图8-40所示, 则此五面体的体积为 . 2 1正视图侧视图1 12222俯视图图 8-40题型直视图简单组合体的基本量的计算思路提示先根据三视图想象出几何的构造部分, 一般考虑的是球、柱、锥、台体的组合体或其一部分.例8.14 如图8-41所示是一个几何体的三视图, 根据图中数据, 可得该几何体的表面积是(

12、 ).A. B. C. D. 变式1 一个几何体的三视图如图8-43所示(单位:m), 则该几何体的体积为 m3.变式2 一空间几何体的三视图如图8-44所示, 则该几何体的体积为( ).A. B. C. D. 变式3 某几何体的三视图如图8-45所示, 则它的体积是( ).A. B. C. D. 变式4 一个几何体的三视图如图8-46所示, 则该几何体的体积为 .例8.15 若某几何体的三视图(单位:cm)如图8-47所示, 则此几何体的体积是 cm3.分析 先看俯视图定底面正四棱台的底面, 再看正视图和侧视图, 上面是矩形, 下面是等腰梯形, 属组合体.变式1 一个几何体的三视图(单位:c

13、m)如图8-49所示, 侧该几何体的表面积是( ).A.280 B.292 C.360 D.372变式2 某几何体的三视图(单位:cm)如图8-50所示, 侧此几何体的体积是 cm3.变式3 一个几何体的三视图如图8-51所示(单位:m), 则该几何体的体积为 m3.4432211111正视图侧视图俯视图图 8-51例8.16 一个几何体的三视图及长度数据如图8-52所示，则该几何体的表面积与体积分别为（ ）.A. 7+，3 B. 8+,3 C. 7+, D. 8+,11111正视图侧视图俯视图图 8-52变式1 已知某几何体的三视图如图8-54所示，则该几何体的体积为（ ）.A. B. C.

14、 D. 俯视图侧视图2正视图图 8-544242例8.17 如图8-55所示为由长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块的块数为（ ）.A.3块 B4块 C.5块 D.6块分析 先看俯视图，从下往上“拔地而起”.变式1 用单位立方体搭一个几何体，使其主视图和俯视图如图8-57所示，则该几何体体积的最小值与最大值分别为（ ）.A.9与13 B.7与10 C.10与16 D.10与15题型110 部分三视图其余三视图思路提示有三视图还原几何体，画出直观图，再画其三视图.例8.18 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图如图8-58所示，则该集合体的俯视图为( ).

15、变式1 如图8-59所示，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，该几何体的俯视图可以是（ ）.变式2 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图8-60所示，则相应的侧视图可以为（ ）.变式3 某几何体的正视图和侧视图均如图8-61所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）. 最有效训练题32（限时45分钟）1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图8-62所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）.2.如图8-63所示是一个正方体被过棱中点M,N，顶点的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（ ）.3.如图8-64所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观

16、图，其中，则原图形是( ).A.正方体 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形4.某几何体的三视图如图8-65所示，它的体积为( ).A.12 B.45 C.57 D. 815.某三棱锥的三视图如图8-66所示，该三棱锥的表面积是（ ）.A.28+ B.30+ C.56+ D.60+3244正(主)视图侧(左)视图俯视图图 8-666.一个四棱锥的底面为正方形，三视图如图8-67所示，这个四棱锥的体积是( ).A.1 B.2 C.3 D.47.若正三棱锥的主视图与俯视图如图8-68所示（单位:cm）,则它的左视图的面积为 1主视图俯视图图 8-688.一多面体的三视图如图8-69所示，则其体积为 .9.已知某几何体的三视图如图8-70所示，则该几何体的体积为 .10.已知ABC的平面直观图是边长为a的正三角形，则ABC的面积为 .11.某高速公路收费站入口处的安全标示墩如图8-71（a）所示.墩的上半部分是正三棱锥P-EF