数列题型及解题方法归纳总结最新版本

1、知识框架t数列的分类数列数列的通项公式-函数角度理解概念数列的递推关系等差数列数列两个基本数列等比数列i等差数列的定义an-an=d(n_2)等差数列的通项公式anai(n-1)d等差数列的求和公式S.=(a1+an)=nat+n(n-1)d22等差数列的性质ana=apaq(mn=pq)等比数列的定义=q(n工2)anJ.等比数列的通项公式an=a.qng.anq=ai(1qri)(q知)等比数列的求和公式Sn=1q1-qna.(q=1)i等比数列的性质anam=apaq(m+n=p+q)能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式(1)观察法。(2)由递推公式求通项。对

2、于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为an+1=a+d及an+1=qan(d，q为常数)例1、已知an满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。例1、解/an+1-an=2为常数an是首项为1，公差为2的等差数列/an=1+2(n-1)即an=2n-1公式法分组求和1例2、已知an满足an彳an，而a1=2，求an=?希12解=-是常数耳2二话是以2为首项，公比为+的等匕嗷列二二召=2*(-)11-1=27数列求和错位相减求和裂项求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明(2)递推式为an+1=an+f(n)1例3、已知an中a1=

3、2an1an4n2_1，求an.数列的应用分期付款其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可精选范本解：由已知可知and-a111(2n1)(2n_1)一亠门-1一2n1令n=1，2，(n-1)，代入得(n-1)个等式累加，即(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=-(1-)+(-)2l335昆丄?3n-,-.等式-累-,加1一得：.1_3TOCo1-5hz14n3an=ai(1)=2n14n2说明只要和f(1)+f(2)+f(n-1)是可求的，就可以由a”1=an+f(n)以n=1,2，(n-1)

4、代入，可得n-1个等式累加而求an。递推式为an+1=pai+q(p,q为常数)例4、a*中，a1=1，对于n1(nN)有a*二3anj2，求a*.解法一：由已知递推式得an+1=3an+2,an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3(an-an-1)因此数列an+1-an是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=(3X1+2)-1=4-an+1-an=43-an+1=3an+2-3an+2-an=43即an=23-1解法二：上法得an+1-an是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4,a3-a2=4-3,2a4-a3=43，,an-an-1=4把n-1个/an=23n-1-1说明

5、对于递推式如訴心可两边除以严，得許+A引辅助数列I（“晋）,得也二后用qqqqnqq（5）递推式为an*=pan+qan思路：设an.2二pan1qan,可以变形为：an2-an.1=（and-an）,（cl+p=p就是张厂2+B）Cl陆，则可从门R解得4队IP=想于是an+1-aan是公比为3的等比数列，就转化为前面的类型。Cl+分析ca*解在仏递推式为an+1=pan+qn（p,q为常数）【例5】己知aj中，町二an+1=Tan+（3）叫求张略解在亦三耳+cp的两边乘以計嚅o2n+1-an+1=-&怜+1,令=2壮2bn1丄一（6-bn/）由上题的解法，得：g=3-2（）“TOCo1-5h

6、z3bn1n1、nann=3（：）-2H）2n2321【例6】已知数列枝J中，=a2=2,an+3=-an+1+-an,求an。2p=VJ213J=許1+評两边减去玄叶an+lJ是公比为V，首项为勾F二啲等比数列。数列求和的常用方法:此类型可利用计+-+十门厂1+/1-(冷)h_1(6)递推式为S与an的关系式，iCn=1)L-Sp(n2):关系;试用n表示an。1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列(如果订等差，g等比，那么:anbn?叫做差比数列)即把每一项都乘以b/的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和

7、。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。解1)由Sn=4-an-y得适用于数列-、an，aHH(其中1a,等差)Sn1_SnSh+i=4-兀+i11(an_an1)(n-222严1n-2_n4)可裂项为：11(-丄)anan*danan+an十anan+?nJ1an1an2上式两边同乘以丄2n等差数列前n项和的最值问题：2n+1得2n+1an+i=2nan+2则23是公差为2nan=2+(n-1)2=2n2的等差数列。1、若等差数列la,的首项a10,公差d：0，则前n项和Sn有最大值。(i)若已知通项a.,则Sn最大二严n0an41兰02q(ii)若已

8、知Sn=pnqn，则当n取最靠近的非零自然数时Sn最2p特别地，(i)形如an二kanjb、akanjb(k,b为常数)的递大;推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an；形2、若等差数列的首项內c0，公差d0，则前n项和&有最小值如an二kan_i-kn的递推数列都可以除以kn得到一个等差数列后，再求fan-0若已知通项an，则Sn最小二an一0(ii)若已知Sn二pn2qn，则当n取最靠近的非零自然数时Sn最2p小;数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知Sn(即ai-a2an=f(n)求务,用作差法：a旳n=1)anSn-Sn,(n一2)|f(1

9、),(n=1)已知aiLa2一a*=f(n)求a*,用作商法：an=彳f(n)(na2)f(n_i)，(n_2丿已知条件中既有Sn还有an，有时先求Sn，再求a*；有时也可直接求a*若ani-a-f(n)求an用累力口法：an=(an-an4)(an4-anMH(aai)ai(n一2)已知=f(n)求an,用累乘法:an业-aniJI邑ai(n-2)anan4an_2ai已知递推关系求an,用构造法(构造等差、等比数列)an(2)形如an仏的递推数列都可以用倒数法求通项。nkanJ+bk(3)形如anan的递推数列都可以用对数法求通项。(7)(理科)数学归纳法(8)当遇到an彳-anj二d或旦

10、二q时，分奇数项偶数项讨论，结果可an4能是分段形式数列求和的常用方法：公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n和公式的推导方法).裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选

11、用裂项相消法求和.常用裂项形式有：1丄i；丄i)；n(ni)nnin(nk)kvnnk，丄1v-2v=k2(k-1)kk-1111：2k-11=1(丄k-11)k11kkk1(k1)k11n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)2(.百-而_-212Jn+Jn+1JnJn+Jn114(n=1)*_2n1(n_2)练习-,(n1)!n!(n1)!=2(jn-百)数列g满足SnSn-|an-1，a-4，求an（注意到an.Snd-Sn代入得:Sn1Sn、解题方法:又S4，Sn?是等比数列，Sn=4n求数列通项公式的常用方法:1、公式法2、由Sn求ann_2时，an=Sn-Snj=344、叠乘

12、法例如：数列an1中，6=3,an-1(n=1时，a1=S1，n_2时，a*=Sn-SnGan3、求差(商)法111女口：an:满足_a_!-a2n52221解：n=1时，一a1=215,-a1=14211n一2时，一a1护2石anj=2n-15221一:2得：-nan=22n:1-:2解:a2a1a3a2anV23n-1an_1?na1n，求an=2又a1=3，-an5、等差型递推公式由an_anj=f(n)，aa0，求an，用迭加法n2时，a?a1=f(2)a3-f(3),两边相加，得：an-an=f(n)an-a1=f(2)f(3)f(n)(an1)-an二a。f(2)f(3)f(n)练

13、习数列an/,ai=1,an=3nann_2，求a.1(an=13n-1)26、等比型递推公式an二candc、d为常数，c0,c=1,d=07、倒数法例如：a1=1,an=n，求anan+2可转化为等比数列，设anx=Canx=an=canC_1X由已知得：丄二旦！2=1丄an412an2an111.an1an2.为等差数列，丄=1,公差为-ana12令(c-1)x=d,.x=c-1nan是首项为a,c为公比的等比数列cTJc1-an旦C一1a1+丄c-1n-1c-anfa1c-12.数列求和问题的方法(1)、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以练习

14、下公式对求和来说是有益的。数列Bn满足a1=9,3an1an=4,求a.1+2+3+(2n_1)=n适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒=-n(n+1)1+(n3+n-1)2G+l)1+订扌+Jj+l)(2n+l)：6尸+夕+爭+血一畔9儿【例8】求数列1,(3+5),(7+9+10),(13+15+17+19),前n项的和。1解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+n=-n(n1)2个奇数，12最后一个奇数为：1+n(n+1)-1x2=n2+n-12因此所求数列的前n项的和为(2)、分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。

15、【例9】求和S=1(n2-1)+2(n2-22)+3(n2-32)+n(n2-n2)解S=n2(1+2+3+n)-(13+23+33+n3)=-il3Ctt+D(n-1)士(宀)、倒序相加法着写的两个和式相加，然后求和。例10、求和：Sn=3C：6C：III3nC；例10、解Sn=Oc0+3Cn+6C2+川+3nC；又绪=弘C：+3(n-1)C+0蹲相加，且运用C：=c：“可得2Sn二3n(C：+C：+C：)-3n*2nSn=3n2n-1、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.例11、求数列1，3x，5

16、x2,(2n-1)xn-1前n项的和.解设S=1+3+5x2+(2n-1)xn-1.当x=1时，=，n=x=0时，S=1.(3)当xm0且xm1时，在式两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn，-，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn.12x(1-x11-1)n由公式知S履二一1+(2叶1卅1-x1-xl+x-(2n+l)xn+(2n-=-裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：1n(n+k)knn+k11解依题意，i殳6)7=呵+口叮)d二f(n)n(n+l)(n+2)2nn+1n+2石占窝订后例12、

17、求和+-+1-53-75-9此函数以n为自变量的二次函数次函数的图像开口向下当藍=-(1)=f(k)二当1+k为偶数时二三时以最九当1+k为奇数时，fl=匕害时最大。1,一1*53*75*9(2n-1)(2n3)母和1111帝和+-+八(2n-l)(2n+3)111(2n-l)(2n+3)_42n-l2口十多a10Si=Sk(I丰k),.dv0故此二2时fG)最大，f(n)中，此N1111111111a4l537592n-32n+12n-12n+3_lri111.4l32n+l2n+3Jn(4n+5)3(2n4-l)(2n+3)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】等差数列an的首项ao0，前n项的和为S,若S=Sk(I丰k)问n为何值时Sn最大？.方程思想【例14】设等比数列an前n项和为S,若S3+S6=2Sg,求数列的公比q。分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解依题意可知1。如果q=1，则S3=3a1,S6=6a1,Ss=9a1。由此应推出a1=0与等比数列不符。qz1.(1-q3)|坷(lq)2坷(lq)“)整理得q3(2q6-q3-1)=0/qz0.2q6-q3-