信号与系统基础及应用第5章-离散时间系统分析课件

1、信号与系统基础及应用第1章 信号与系统基础知识第2章 连续时间信号分析第3章 连续时间系统分析第4章 离散时间信号分析第5章 离散时间系统分析第6章 离散傅里叶变换及应用第7章 数字滤波器设计5.2 离散时间系统的频域分析5.3 z变换5.4 离散时间系统的复频域分析第5章 离散时间系统分析5.1 离散时间系统的时域分析5.1 离散时间系统的时域分析5.1.2 零输入响应与零状态响应 5.1.1 差分方程的建立和求解5.1.3 卷积和连续系统与离散系统的比较连续系统（1）常系数线性微分方程离散系统（1）常系数线性差分方程h(t)（3）卷积积分（4）拉氏变换h(n)（3）卷积和（4）z变换（2）

2、（2）5.1.1 差分方程的建立和求解1.前向差分与后向差分 后向差分前向差分前向差分与后向差分的关系1阶2阶3阶1阶2阶3阶2.常系数差分方程，用来描述LTI离散系统。首项归一化后：后向差分形式差分方程是具有递推关系的代数方程，当已知初始条件和激励时可以利用迭代法求得差分方程的数值解，尤其是当差分方程阶次较低时使用方便。3.差分方程的求解方法（1）迭代法【例5.1】若描述某离散系统的差分方程为:已知初始条件y(0)=0, y(1)=2, 激励x(n)=2nu(n), 求y(n)。解：将原差分方程中除y(n)以外的各项都移到等号右端对n=2，将已知初始值y(0)=0, y(1)=2代入上式，得

3、依次迭代可得特点：便于用计算机求解（2）经典解法完全解由齐次解和特解两部分组成：LTI系统齐次解：齐次方程为它的N个根i (i=1,2, ,N)称为差分方程的特征根。特征方程为N-r个单根r阶重根几种典型激励函数相应的特解激励函数x(n)响应函数y(n)的特解特解：选定特解后代入原差分方程，求出待定系数就得出方程的特解。完全解： 代入初始条件求出待定系数ki，于是得到完全解的闭式。解：方程的特征方程为【例5.2】若描述某系统的差分方程为已知初始条件y(0)=0, y(1)=-1, 激励x(n)=2n, n0，求方程的全解。特征根为1 22，为2阶重根，齐次解为由题意，设特解为将yf (n)代入

4、到原方程得全解为：将已知初始条件代入，得C11, C2=-1/4自然响应强迫响应5.1.2 零输入响应与零状态响应1.完全解的一般形式 零状态响应，仅由外加激励引起的响应零输入响应，激励为零时的响应零输入零状态自然强迫2.初始条件值起始状态初始条件值全响应零输入响应零状态响应由完全态差分方程推出由零输入差分方程推出由零状态差分方程推出【例5.3】若描述某离散系统的差分方程为已知x(n)=0,n0时为零，因而在n0时，系统的h(n)和系统的零输入响应的函数形式相同。【例5.4】 设因果离散系统的差分方程为 y(n)-0.6 y(n-1)-0.16y(n-2)=5x(n)试求其单位脉冲响应h(n)

5、。解：当n0时，系统的差分方程变成齐次差分方程，即该系统的特征方程为 2-0.6-0.16=0特征根为-0.2和0.8，对应的特征模式为(-0.2)n和(0.8)n。得其单位脉冲响应 h(n)为 h(n)=d1(-0.2)n+d2(0.8)n , (n0)h(n)-0.6 h(n-1)-0.16h(n-2)=0h(0)= d1+d2=5因此单位脉冲响应 h(n)为 h(n)= (-0.2)n+4(0.8)n , （n0）或写成 h(n)=(-0.2)n+4(0.8)nu(n) h(n)是零状态响应，所以起始状态为： h(-1)=h(-2)=h(-3)=0由 y(n)-0.6 y(n-1)-0.

6、16y(n-2)=5x(n)得:h(0)=0.6 h(-1)+0.16h(-2)+5(0)=5h(1)=0.6 h(0)+0.16h(-1)=3h(1)= d1(-0.2)+d2(0.8)=3求取系数：解得：d1=1，d2=45.1.3 卷积和1. 零状态响应与卷积和2. 卷积和的性质3. 卷积和的计算 (n) h(n)1.零状态响应与卷积和系统系统x(n)的分解： x(n) yzs(n)=x (n)*h (n)一般定义: 2. 卷积和的性质（1）卷积代数（2）离散卷积和的单位元是(n)（3）u(n)是数字积分器3. 卷积和的计算（1）直接按定义或性质计算（2）图解法计算（3）竖式法计算（1）

7、直接按定义或性质计算【例5.5 】设有离散信号x1(n)=u(n),x2(n)=(1/2)nu(n)，求y(n)= x1(n)* x2(n)。由等比数列求和公式有 也可利用卷积和的性质3u(n)是数字积分器性质，得到解：（2）图解法计算（3）竖式法计算不需要作进位。结论：三个LTI系统响应相同 4.利用卷积分析系统的简单情况： 123【例5.6】LTI离散时间系统的输入输出关系如下图所示：已知系统1的h1(n)=u(n), 系统2的h2(n) (n)-(n-1), 求系统1的输出y1(n)、系统2的输出y2(n)以及系统输出y(n)。可见，系统1为累加器，系统2为一阶差分运算器。若将系统1和系

8、统2级联成一个系统，有系统输出为恒等系统解：5.2.1 系统频率响应5.2 离散时间系统的频域分析5.2.2 正弦稳态响应5.2.3 系统频率响应的分析5.2.1 系统频率响应h(n)称H(ej)为离散时间系统的频率响应；表示系统对输入信号频谱的作用；H(ej)是的周期函数，周期为2。1. 定义2. 系统频率响应的计算差分方程【例5.7】 有一线性时不变系统，初始状态为0，且由下列差分方程表征： 解：该系统的频率响应为 试求其系统频率响应和单位脉冲响应。 为了确定相应的单位脉冲响应，需要求 的反变换。和连续时间情况一样，有效的方法是利用部分分式展开法，即 其中每一项的反变换都能直接求出来，其结

9、果为【例5.8】 已知一离散LTI系统的单位脉冲响应为输入信号为试求零状态响应yzs(n)。 解：根据时域卷积性质有 求上式IDTFT，有 5.2.2 正弦稳态响应离散时间系统的正弦稳态响应与连续时间系统的正弦稳态响应类似。对于线性时不变系统，设输入信号的形式为则一个单位脉冲响应为h(n)的因果系统相应的稳态输出为【例5.9】一个离散时间LTI系统的频率响应为若输入信号求系统的稳态输出响应yss(n)。根据频率响应的物理意义可直接写出下式解：分析输入信号x(n)，知其频率为/2。5.2.3 系统频率响应的分析离散系统的滤波特性与连续系统的滤波特性类似。低通带通高通带阻全通频率轴定标数字频率【例

10、5.10】分析系统取a=0.5低通高通取a=-0.5的频率响应特性。解：5.3 z变换5.3.1 z变换的定义及收敛域5.3.2 基本z变换对5.3.3 z变换的性质5.3.4 z反变换5.3.4 z变换与拉氏变换的关系5.3.1 z变换的定义是复变量z-1的幂级数，又称为罗朗级数。双边z变换：若双边序列取单边z变换，或对因果信号序列取z变换，得 1.对z变换式的理解z的正幂级数构成左边序列z的负幂级数构成右边序列（1）收敛域的定义收敛的所有z 值之集合为收敛域，即需满足下式：对于任意给定的序列x(n) ，能使（ROC: Region of convergence）不同的x(n) 可能对应于相

11、同的z变换，但收敛域不同。故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。2. z变换的收敛域（2）有限长序列的收敛域所以，收敛域为 的z平面。 设则有当时，即 时收敛ROC：（3）右边序列的收敛域【例5.11】求信号x(n)的z变换的收敛域。若该序列收敛，则要求即收敛域为： 半径为1/3的圆外解：ROC: （4）左边序列的收敛域当即时收敛。【例5.12】求信号x(n)的z变换的收敛域。收敛域为：解：半径为3的圆内（5）双边序列的收敛域【例5.13】求信号x(n)的z变换的收敛域。x(n)的ROC:解：左边序列收敛域为：右边序列收敛域为： 内径为1/3、外径为3的圆环小结X(z)的收敛域（ROC）为 z

12、 平面以原点为中心 的圆环；ROC内不包含任何极点（以极点为边界）；有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）；右边序列的ROC为 的圆外；左边序列的ROC为 的圆内；双边序列的ROC为 的圆环。1单位抽样信号5.3.2 基本z变换对2单位阶跃序列3指数序列(1)右边序列注意：z 变换相同时，左边序列的定义和收敛条件。(2)左边序列则4正弦与余弦序列 单边余弦序列 同理，对于单边正弦序列因为5.3.3 z变换的性质性质名称数学表达式线性时移特性双边单边z域尺度变换性质名称数学表达式复频移特性z域微分时域翻转时域卷积初值定理终值定理续前页表5.3.4 z变换与拉氏变换

13、的关系1. 关系式s平面z平面2.两个平面相互映射的4种情况（1）s平面的原点 ，z平面 ，即 。左半平面虚轴右半平面左向右移单位圆内单位圆上单位圆外半径扩大（2）（3）（4）sz映射不是单值的。，即s实轴z正实轴1.部分分式展开法5.3.5 z反变换2.幂级数展开法1部分分式展开法z变换式的一般形式 为了保证z=处收敛，其分子多项式的阶次不能大于分母多项式的阶次。因果序列右边序列收敛域|z|R,包括z=。z变换最常见的基本形式： 部分分式展开法求z反变换的步骤（1）使 为真分式；（2）进行部分分式展开；（3）（4）查常用z变换表。（1）一阶极点是一阶极点的系数是极点z=0的系数所以【例5.1

14、4】查表解：（1）（2）（3）（4）收敛域与原函数的对应：右 右右 左左 左（2）高阶极点（重根）为r阶极点则r阶极点的系数为：【例5.15】已知求反变换x(n)。解：（1）（2）（3）（4）根据题目中给出的收敛条件：2幂级数展开法z变换式一般是z的有理函数，即： 可直接用长除法进行反变换。（是一个关于z 的幂级数）右边序列进行z反变换时将X(z)以z的降幂排列左边序列进行z反变换时将X(z)以z的升幂排列因为长除结果无常数项，可设x(0)=0。【例5.16】解：【例5.17】已知求x(n)。解：5.4 离散时间系统的复频域分析5.4.1差分方程的z域求解5.4.2 系统函数5.4.3 零极点

15、图与系统特性分析求解线性时不变离散系统的差分方程有两种常用方法：时域方法z变换方法5.4.1差分方程的z域求解线性时不变（LTI）离散时间系统线性常系数差分方程1应用z变换求解差分方程步骤(1)对差分方程进行单边z变换（时移性质）；(2)由z变换方程求出响应Y(z) ；(3) 求Y(z) 的反变换，得到y(n) 。【例5.18】解:方程两边取z变换代入起始条件LTI系统的差分方程为整理为差分方程解的验证【例5.19】解：方程两端取z变换2. 差分方程全响应y(n)的起始点确定全响应y(n)起始点根据输入信号x(n)加上的时刻确定。对因果系统，y(n)不可能出现在x(n)之前。观察Y(z)分子分

16、母的幂次，分母高于分子的次数是响应的起点 ，例如【例5.20】解：已知系统框图，(1)列出系统的差分方程。求系统的响应 y(n)。 （1） 列差分方程，从加法器入手(2) （3）差分方程两端取z变换，利用右时移性质（2）进行z变换需要用到y(-1)、y(-2),可通过y(0)、y(1),迭代求得。a.由激励引起的零状态响应求零状态响应为即b.由起始状态引起的零输入响应即求零输入响应为对n-2都成立c. 全响应由方程解y(n)表达式可以得出y(0)=0, y(1)=0，和已知条件一致。或验证1定义线性时不变离散系统可由线性常系数差分方程描述，一般形式为 激励为因果序列系统处于零状态上式两边取z变

17、换得5.4.2 系统函数单位脉冲响应h(n)与系统函数H(z):H(z)只与系统的差分方程的系数、结构有关，描述了系统的特性。h(n)和H(z)为一对z变换。则系统的零状态响应为：则解：求系统的零状态响应：在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换已知离散系统的差分方程为：【例5.21】1.由零极点分布确定单位脉冲响应零点极点5.4.3 零极点图与系统特性分析展成部分分式：（假设无重根） H(z)的极点，可以是不同的实数或共轭复数，决定了h(n)的特性。其规律可能是指数衰减（减幅）、上升（增幅）或为等幅振荡。 与H(z)的零点、极点分布都有关。 由零极点分布确定的单位脉冲响应为：2.极点位置与

18、h(n)形状的关系s平面z平面极点位置h(t)特点极点位置h(n)特点虚轴上等幅单位圆上等幅原点时 左半平面减幅单位圆内减幅右半平面增幅单位圆外增幅zs平面的映射关系对比分析3.离散系统的稳定性对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必定是有界的（Bounded Input,Bounded Output)。(2)稳定性判据(1)定义：判据1：离散系统稳定的充要条件：单位脉冲响应绝对可和。判据2：对于因果系统，其稳定的充要条件为： H(z)的全部极点应落在单位圆之内，即收敛域应包括单位圆在内: 。 连续系统离散系统系统稳定的充要条件极点H(s)的极点全部在左半平面H(z)的极点全部在单位圆内收敛域含虚轴的右半平面含单位圆的圆外临界稳定的极点沿虚轴单位圆上4.连续系统和离散系统稳定性的比较 5系统的因果性系统因果性的判断方法：z域： 收敛域必定