信号与系统SandS-3-4课件

1、ThemeGallery PowerTemplate3-4 序列的相关性国家“十二五”规划教材信号与系统 重点难点序列的相关性卷积和与相关的关系前言 相关运算和卷积一样，都是一种广义的线性滤波操作。但与卷积不同的是，相关运算的目的是度量信号彼此之间的相似程度。相关同样是信号处理领域中的一种基本运算，特别是在噪声抑制、目标识别、系统辨识等方面具有重要的应用。3-4-1 序列的相关设 和 均为能量有限的离散时间序列，对任意整数 令1、定义（3-4-1）和（3-4-2） 则称 为 的自相关序列， 为 和 互相关序列。定义式中的变量k是移位因子。3-4-1 序列的相关互相关序列 中的下标 表明了关联的

2、序列顺序。下标顺序x在y之前，表示一个序列相对于另一个序列的移动方向。比如，式（3-4-2）中 未移动，而 在时间上移动了k个单位，其中 向右移位， 向左移位。同样，在式（3-4-3）中 未移动，而在时间上移动了k个单位，这时 向左移位， 向右移位。显然，由于 相对于 向左移位k个单位等价于 相对于 向右移位k个单位，因此式（3-4-2）和式（3-4-3）得到相同的互相关序列 。 对互相关序列 ，有等价关系存在（3-4-3） 3-4-1 序列的相关如果将式（3-4-2）和式（3-4-3）中的 和 交换顺序，则必须相应地将下标xy的顺序交换为yx，得到的互相关序列为（3-4-4） 或等价为（3-

3、4-5） 比较 和 的定义式，可知（3-4-6） 式（3-4-6）表明 是 对偶对称序列，它们关于 对称。因此，关于序列 和 的相似性， 和 将提供完全相同的信息。 3-4-1 序列的相关例3-4-1 设式计算序列 和 的互相关序列 。解：根据定义式（3-4-2），对于 有 其中点乘 为 因此， 的累加值 3-4-1 序列的相关 对于 ，只要将 相对于 向右移位k个单位，计算点乘序列 并将点乘序列的所有值相加，即可得到 对于 ，只要将 相对于 向左移位k个单位，计算点乘序列 并将点乘序列的所有值相加，即可得到 所以，序列 和 的互相关序列 为 3-4-1 序列的相关 相关运算与卷积运算有密切联

4、系。通过比较相关的定义式（3-4-2）和卷积和的定义式（3-3-2），可知两者的不同之处仅仅在于相关运算无需进行卷积和运算的第一步-逆序运算，即不必将其中一个序列按纵轴进行反转。其它步骤（即按定义式进行移位、相乘及求和）是完全相同的。2、相关的计算 序列 和 的互相关运算同样可以用序列求和法，只不过省略了逆序运算这一步。具体而言就是将两样本序列的起始点对齐相乘，之后依次顺序右移第2个序列（或左移第一个序列）并相乘、求和，操作过程如下所示。3-4-1 序列的相关上、下行样本起始点对齐相乘 下行样本右移一位两行对齐相乘求和 3-4-1 序列的相关下行样本右移二位两行对齐相乘求和 下行样本右移三位两

5、行对齐相乘求和 3-4-2 相关序列的性质对于自相关序列，其常用的性质有： 性质1 是k的偶函数，即 。 性质2 对任何k有 ，这里 是序列的能量。 性质3 。 上述性质表明，自相关序列是偶函数， 是其最大值，且当 时自相关值趋于零。3-4-2 相关序列的性质对于互相关序列，比较重要的性质有： 性质4 通常 ，即 不是k的偶函数。 性质5 性质6 ，但 。 存在某个 值，使得对所有 有 。性质7 对任何k有 ，这里 、 分别是序列 和 的能量。 性质8 。 上述性质的证明可参见文献【徐伯勋，p32-33，Prokis(DSP),p88-】3-4-2 相关序列的性质 可以证明，序列经过展缩运算后

6、再进行互相关运算，其（互相关）序列的形状不发生改变，变化的仅仅是互相关序列的幅度。在实际工作中，常常利用这个特性将自相关及互相关运算归一化到 的区间范围。针对自相关序列，归一化运算只需除以 。因此，归一化的自相关序列 就被定义为：（3-4-7） 同理，归一化互相关运算 定义为： （3-4-8） 显然， ， ，它们与信号序列的展缩没有关系。 3-4-2 相关序列的性质例3-4-2 计算序列 的自相关序列。 解： 是无限长序列，故其自相关序列也是无限长的。现分两种情况进行讨论。 对于 ，从图3-4-1可以看出： 由于 ，故 收敛且 3-4-2 相关序列的性质对于 ，则有 事实上在 时， ，故上述关

7、于 的两个关系式可以合并成下式： 3-4-2 相关序列的性质因此，归一化自相关序列 为： 由图3-4-1显见，和3-4-2 相关序列的性质图3-4-1 序列的自相关运算 3-4-3 周期序列的相关性 针对能量信号序列，我们已在3-4-1节定义了自相关和互相关序列运算。本节考虑功率有限信号序列、特别是周期信号序列的自相关运算。 设 和 均为功率有限的离散时间序列，对任意整数 ，定义它们的互相关序列为（3-4-9） 式中M是一个整数边界值。上式中若 ，则定义功率有限序列的自相关序列为（3-4-10） 3-4-3 周期序列的相关性 特别地，如果 和 都是周期为N的周期序列，则式（3-4-9）和（3-

8、4-10）中的无限长平均区间将完全等价于序列单个周期的平均，因此式（3-4-9）和（3-4-10）定义的相关运算就可简化为：（3-4-11） 和（3-4-12） 可以看出， 和 都是周期为N的周期性相关序列，其中 可以认为是归一化比例因子。 3-4-4 卷积和与相关的关系 相关与卷积运算的差别在于前者无需将其中一个序列按纵轴进行反转，其它运算步骤两者是相同的。由此可知，两个序列的相关就是一个序列与另一个序列反折后的卷积；同理，两个序列的卷积也是一个序列与另一个序列反折后的相关。因此有1、卷积与相关的时域关系 （3-4-13） （3-4-14） 式中 为卷积算子， 为相关算子。 另外，由于偶函数

9、的反折等于自身，故当式（3-4-13）或式（3-4-14）中序列 为偶函数时，两个序列的相关和卷积相等。 3-4-4 卷积和与相关的关系 1）卷积满足交换律，但相关运算不满足交换律。2、卷积与相关的变换域关系 卷积与相关的变换域关系将在后续章节中讨论。通过上述讨论不难看出：2） 为偶函数时，卷积和就等于相关运算。 3-4-5 相关分析讨论 在对一个函数建模时，正确的做法是首先确定各个（测定）量之间是否存在着某种关系。相关运算是当两个（测定）量之间存在线性关系时构建概率度模型的一种方法。如果两个量之间不存在相关，则当一个量的值变化时另一个量的值没有随之变化的趋势。 在各种类型（如工程、科学、经济

10、）的数据分析中，相关性主要有两方面的典型应用。其一是变量之间的相关程度，而相关系数是度量变量之间相关程度的一个重要指标，因此，相关系数的计算就显得尤为重要。另外一个应用是识别含噪声信号序列中是否存在周期性分量，其典型问题及解决方案如下。3-4-5 相关分析讨论 其中， 是我们感兴趣的时间序列，可能具有周期性但周期N是未知的； 则是加性高斯白噪声干扰。假设观测量有M个样本，则样本序号n满足 ，这里要求 。为更接近于工程实际，不妨进一步假设在 及 时， 。显然，此时已假设 是一个因果有限长时设有一含随机噪声的信号序列（3-4-15） 间序列。 如果使用归一化因子 ，则由式（3-4-12）可给出 的

11、归一化自相关序列为 （3-4-16） 将 代入上式，有 3-4-5 相关分析讨论 （3-4-17） 上式中 是 的自相关序列，如果 是周期的，则它的自相关序列 就具有与 相同的周期。因此，将在 等处包含相对较大的峰值。 3-4-5 相关分析讨论 但是，当平移k到接近（样本数）M时，峰值在幅度上将减小，这是因为样本数M是有限值，在 时 的乘积都为零。因此，运算中应避免计算较大移位（比如 ）时的 。 由于感兴趣序列 和加性高斯白噪声序列 可以认为彼此无关，故式（3-4-17）中的两个互相关序列 和 在通常意义上是相对很小的。至于加性高斯白噪声序列 的自相关序列 ，由于 本身具有的随机特性，使得它只是在 处有一个峰值，而且这个峰值 快速衰减到零。 由此可见， 时 的峰值基本上是由感兴趣序列 的自相关序列 的峰值引起的，如果这些峰值以一定的周期间隔出现，就可以识别（或检测）出淹没在随机噪声中的周期信号序列的存在并且确定出它的周期。 3-4-5 相关分析讨论 例3-4-3 正弦序列 ，其中 ，它受到在 内均匀分布的加性随机噪声的污染，试根据该受到污染的信号序列确定正 正弦序列的周期。解：本例说明如何用MATLAB计算受到噪声污染的周期序列的周期。源程序如下： 3-4-5 相关分析讨论 运行