5平均速度等于中间时刻的速度及其在纸带上的应用

1、平均速度等于中间时刻的速度及其在纸带上的应用金贺浩（太和第二中学安徽太和236600）摘要：本文先总结了几种“推导”公式的方法，使学生全面彻底了解公式的“来龙去脉”和真正 意义，再通过举例、应用使之掌握公式的用法.关键词:匀变速直线运动;位移差；纸带；一、平均速度等于中间时刻的速度1、公式推导或证明平均速度（无t、X 和 a ),1x v t + at 2 v + v 或 V = =2 = V = tt21 V + V + at V + V =v + 2 at = 2=t=v + a V，类比V = V0 + a -t，其中时间t不同.Vt-at 22t1 v + v - at V + v =

2、V-2 a 22t=V - a = v2 t，1t0+t- v + v把v 0 + 2 at记作匕a代表中间时刻,匕代表中间时刻的速度（T = 2），则v =匕=0，其中vo222和v分别指某段时间间隔内对应的初始时刻和末时刻的速度或位移内对应的初始位置和末位置的速度.形象地说，也 就是梯形对应的上第和下底，t “恰好”是梯形的中位线，即平均速度是对应的梯形的中位线是数值.；一个物体做匀加速直线运动，其中右下脚码指对应的时刻，1.5是中间例如，质点由A点匀加速出到B，则该段位移内的平均速度是v =它在第3s内（指第2s末到第3s末）的平均速度是V = v1521.52 + 3_: 时刻的坐标一

3、 L5，x + x它是数学上中点坐标x = 七1的“迁移变形”，第6s内的平均速度是，它V + V在第二个4s内的平均速度是V = 4 2 8 = Vg = V6，它在第一个4s内的平均速度是.2例题：如图所示，一个做直线运动的物体的速度图象，初速度V0，末速度Vt，在时间t内物体的平均速度V，则:- V + VA. V = 0 2 t ；C V q .2；解析：一 x公式V = -，x是图像的面积，LB.D. V的大小无法确定- s对于匀变速V=京 tV + V t / V + V。2=。2因为本题x八梯2.两个“中间速度”的对比中间时刻（时间的中点）和中间位置（位置的中点）=2ax ，全程

4、的位移为X,中点位移为7；，记中间位置时速度为V，重复利用公式v 2 - v 2 TOC o 1-5 h z 2工。jv 2 - v2 = 2芸，V2 - v 2 = 2aX，联立解得v = (50 x o 2x 2X v 2222, ax 2或联立，解得v =叫+5- x o 22:V 2 - V 2. V 2 + V 2=。= 2 ；或联立解得VX2. ax 2=-V2 -V 2 V 2 - V 2V 2 + V 2=，V2 =。2：2（1）当作匀变速直线运动时，对于任意时间间隔内，无论是加速或减速，都有v v V或 tX22证明：由于 V 2 =孑,V 2 = V02+2；V0+ V2，

5、得x 2 t4 HYPERLINK l bookmark121 o Current Document 22V2 + v2 v 2 + 2vv + V 2 2( V2 + V2)-( V 2 + 2VV + V2)V 2 - V 2 =- 0=000X t 244(V 2 -2vv + V 2) (V - V)2V - V、_=00 = 0 =(0)2 04222即 v v 或上； V 2（ V V）或 V 2 V 2（ V V ）.xtxtx / 2t/2x/2t/22222（3）通过数字说明：例如某质点做匀加速直线运动从A到B，七=1m/s，七=7m/s，那么经过AB中点O时和一半时间时速度

6、分别为多大?V。* V = 4m / s .2，符合Vt2二、公式在纸带上的应用“打点模型”T S1 1I S2 11 S3 11 S411S51S6 TDFCBEO A0 1234567+ *1卜,图 9S31.证明:如上图图所示，从0到!？从1到2, 灯到3,从O到A, 从A到B,从B到C,等等，时间间隔都是相同的（002s的倍数） 根据以上推导，得 S + S -232T，BD（表示长度）S+S12T 2AC2TXV = OBa2T2Tx=D =2T，D - B（表示坐标）2T中间时刻时间的中点：Vt2中间位置位置的中点：VX2, S1S2方程组CB证法一：1由 x = v t + 2

7、at 2 得=vBT - 2aT2 f 1 f=v T + aT 2 得 v = 1 + 2 b2Ts 一 s = aT2 证法二：再由v = V0 + at，得V = V 一 aT 和 v = V + aT.s + s-42-ts s + s= 2t t-_v + v v _ 02v + v2 C tT7 S + S S + SV = ?2t 3 V =如丁 2一点拨：一般匀变速题目中，具有连续相等时间间隔的要素时，都可以转化为“打点模型”，如右图所 示。2.例题(1)【2011安徽高考】.一物体作匀加速直线运动，通过一段位移Ax所用的时间为t，紧 1接着通过下一段位移Ax所用的时间为t。则

8、物体运动的加速度为22Ax(t t )Ax(t t )2Ax(t +1 )Ax(t +1 ) tt (t +1 ) tt (t +1 ) tt (t -1 ) tt (t -1 )解：物体作匀加速直线运动在前一段A所处的时间间隔从0到t1时刻，对应位置是A、B； 物体在后一段A所处的时间间隔从t1至lj(t1 +12)时刻，对应位置是B、C.12 1 212 1 212 1 212 1 2解法一：物体作匀加速直线运动在前一段A所用的时间为t1，0 T t1的平均速度为 TOC o 1-5 h z Ax1入v =，即为=t时刻的瞬时速度；物体在后一段Ax所用的时间为t，t T t + t的平均速

9、 1 t2 121121Ax/1 、t +1度为v =，即为(t +；t)时刻的瞬时速度。速度由v变化到v的时间为七，所以加 2 t12 21222速度Ax AxAvv va =1Att +1-422t t _ 2Ax(t t )t +111 (t +1 )，1 _ 21 2 122检验：(1)公式从单位上看(检验)，右边部分确实是加速度的单位，正确；(2)令 t= t2,则t1 12 = 0，a = 0，即表示做匀速直线运动，符合。故A正确。解法二：1 2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark76 o Current Document 由 x = v t +

10、at 2 得 02八.1对 AB( 0 T t ): Ax = v t + at2 1A 121八一，、1 ， 一对 AC( 0 -T t +1 ): 2Ax = v (t +1 ) + a(t +1 )2 12a 12212或对 BC( t T t +1 ): Ax = (v + at )t + 一 at 2 112a 1222或,由,消去vA ,得1A 1Ax - at2Ax - at 22 1 =2 21112Ax1Ax 1,-at =-att2 1t 22121Ax Axa（1 -1）2211121Ax Ax，解之，, t t TOC o 1-5 h z 得 a = =t+t1 2 2

11、2Ax(t -1 )11 (t +1 )1 2 12解法三：A1对 AB： Ax = v t - at 2 B 121对 BC： Ax = vt2 + 2- at 2 由，消去vB，得Ax + at2 Ax - L at 2，解之，2 1 =2 2tt HYPERLINK l bookmark135 o Current Document 12Ax1 Ax 1+ at =-at12/、Ax Axa (t +1)=-21Ax Ax/日 t t2Ax(t t )得a = t +1 1 tt (t1+12)， TOC o 1-5 h z 1 一 21 2 12检验：由联立，v t Ax _ v t A

12、x112 t 22 12 2t 2(v t Ax) = 12(v t Ax)2 B 11 B 2v 11 (t t) = (t 2 12)AxB 1 2 2121(1 +1 ) A x2 Ax解得vB =七=，全程的平均速度是v = t +1 =匕,21 2122匀变速直线运动满足v v，x 1 TOC o 1-5 h z (t +1 )Ax2Ax2 tt t +1 1 212(t +1 )2 Ax 2t t Ax211 2t 2 +12 + 2t t 2t t 211 21 2t； + t 0V 一 V 0 x t 22(t +1 )Ax2Ax 0tt t +1 1 212(t +1 )2

13、Ax - 2Axt t 0 tt (t +1)I 1 2 21 IAx It +1 )2 - 2tt 211 0 t t (t + t ) HYPERLINK l bookmark47 o Current Document 1 2 21即 Ax(t22 + t12) 0 t t (t + t )1 2 21解法四：由x =V + V 02 1 1由 x = =21 得 V + V 二翌.由22 得，21 t ，22 x 2 xAv v vt t2Ax(t t )由 a =得 a = a = 1 =12Att +1 t +111 (t +1 )212112 12(2)【2010安徽高考】物体做匀

14、加速直线运动，在第一个t内位移为气，第二个t内位移为 x2，则物体在第一个t末的速度及加速度分别为多少？(纸带中用平均速度代替瞬时速度) 解：物体作匀加速直线运动在前一段气所处的时间间隔从0到t时刻，对应位置是A、B；物 体在后一段x所处的时间间隔从t到2t时刻，对应位置是B、C.2 TOC o 1-5 h z x解法一：物体作匀加速直线运动在前一段x1所用的时间为t，0 T t的平均速度为V1 = 了，即_x为；t时刻的瞬时速度；物体在后一段x所用的时间为t，t T 2t的平均速度为V =一，即222 t/1、 3、 一、113 1为。+ t)=抑寸刻的瞬时速度。速度由V变化到V的时间为二t + t = t - t =t，所以22122222加速度Av v v a =1Att检验：（1）公式从单位上看（检验），右边部分确实是加速度的单位，正确；（2）令X = X解法三则X-X2=0，a = ，即表示做匀速直线运动，符合。古攵A正确。由 X = v t + at 2 得02对 AB( 0 t): X = vAt + 2 at 2 对 AC(0 2t): X + X = 2tv + 2a(2t)2或对 BC( t 2t): X = (v + at)t + at2 2得得2 A或-等于，-得，消去X - x = at 2 VA，代入或X3-v = 3，v = v + at =