概率论与数理统计课后习题及答案高等教育出版社

1、 概率论与数理统计课后习题答案高等教育出版社习题1.1解答点。解：（正，正）,A（正，正），（正C（正，正），（正，.将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本（正，反），（反，正），（反，反）反）B（正，正），（反，反）反），（反，正）点数.在掷两颗骰子的试验中，事件A，B，C，D分别表示“点数之和为偶数”，之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件AB,AB,AC,BC,ABCD中的样本点。解：,1),(1,2),(1,6),(2,1),(2,2),

2、(2,6),(6,1),(6,2),(6,6戸AB,1),(1,3),(2,2),(3,1)耳AB,1),(1,3),(1,5),(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)耳AC；BC(1,1),(2,2)耳ABCD,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4).以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解：（

3、1）ABC；（2）ABC；（3）ABCABCABC；（4）ABCABCABC；（5）ABC；（6）ABC；（7）ABCABCABCABC或ABACBC（8）ABC；（9）ABC.甲、乙、丙三人各射击一次，事件A，A，A分别表示甲、乙、丙射中。试说明123下列事件所表示的结果：A,AA,AA,AA,AAA,2231212123AAAAAA.122313解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。.设事件A，B，C满足ABC，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和:ABC，ABC，BAC. #

4、 #解：如图： # ABCABCABCABCABCABCABCABC;ABCABCC;BACABCABCABCBAABCBCABC.若事件A,B,C满足ACBBC试问A1BB是否成立举例说明。解：不一定成立。例如：A,4工B,出那么，ACBC,但AB。.对于事件A,B,C，试问A(BC)(AB)C是否成立？举例说明。解：不一定成立。例如：A,4出B,5出C禮那么A(BC)但是(AB)C,6,7-.设p(A)3P(B)2,试就以下三种情况分别求P(BA):(1)AB，AB，(3)P(AB)3.解：1P(BA)P(BAB)P(B)P(AB)；21P(BA)P(BA)P(B)P(A)613P(BA)

5、P(BAB)P(B)P(AB)-。88.已知P(A)P(B)P(C)1,P(AC)P(BC),P(AB)0求事件416A,B,C全不发生的概率.解：P(ABC)p9LbCP(ABC)=1(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)441616丄!O丄丄38 #每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：A“三个都是红灯”=“全红”；B“全绿”；C“全黄”；D“无红”；E“无绿”；F“三次颜色相同”；G“颜色全不相同”；H“颜色不全相同”。解：11112228TOC o 1-5 h zP(A)P(B)P(C)一；P(

6、D)P(E)-；333273332711113!2P(F)-；P(G)-；2727279333918P(H)lP(F)l99.设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件(分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次)，试求：取出的3件中恰有1件是次品的概率；(2)取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：一次拿3件：C2C1(1)P98厶0.0588；(2C3100每次拿一件，取后放回，拿3次：2982(1)P30.0576；1003每次拿一件，取后不放回，拿3次29897P30.0588；1009998989796P10.0594100

7、9998PC2C98C；C；80.0594；C3100P10.0588；1003.从0,1,2,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率:A三个数字中不含0与5A三个数字中不含0或5鼻12解：C37P(A)-TOC o 1-5 h ziC315102C3C314C114P(A2)98或P(A)lC315或2C31510103.从0,1,2,9中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。解：5P34P241P9P490104.一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率（1）6人中至少有1人生日在10月份；（2）6人中恰有4人生日在10月份；（3）6人中恰有4人生日在同一月份

8、；解：116C4112（1）Pl0.41；（2）P60.00061；126126C1C4112p0.007312615.从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。解：C1C3C1C2C1C3C1C1C1TOC o 1-5 h zP4_1441330.602或P14_13140.602C3C35252 习题1.2解答假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令A.“取到的是i等品”，i1,2,3i_P(AA)i一P(AA)P(A)0.62P(A)P(A)0.93设10件产品中有4件

9、不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令A“两件中至少有一件不合格”，B“两件都不合格”533P(BIA)P(AB)P(BP(A)1P(A)1.Cj/10.为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求两种报警系统I和II都有效的概率；系统II失灵而系统I有效的概率；在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。解：令A“系统(I)有效”，B“系统(II)有效”则P(A)0.92,P(B)0.93,P(BIA)0.8

10、51)P(AB)P(BAB)P(B)P(AB)2)3)P(B)P(A)P(BIA)0.93(10.92)0.850.862P(BA)P(AAB)P(A)P(AB)0.920.8620.058P(AIB)P(AB)0.0580.8286P(B)10.93.设0P(A)1，证明事件A与B独立的充要条件是P(BIA)P(BIA)证：:TA与B独立，A与B也独立。P(BIA)P(B),P(BIA)P(B)P(BIA)P(BIA):T0P(A)l0P(A)l又P(BIA)P(AB),P(BIA)P(AB)P(A)P(A)而由题设P(BIA)P(BIA)P(AB)P(A)P(A)6即1P(A)P(AB)P

11、(A)P(B)P(AB)P(AB)P(A)P(B),故A与B独立。.设事件A与B相互独立，两个事件只有A发生的概率与只有B发生的概率都是4，求P(A)和P(B).1解：P(AB)P(AB)，又A与B独立41P(AB)P(A)P(B)1P(A)P(B)4P(AB)P(A)P(B)P(A)1P(B)141P(A)P(B),P(A)P2(A)41即P(A)P(B)。2.证明若P(A)0，P(B)o，则有当A与B独立时，A与B相容；当A与B不相容时，A与B不独立。证明：P(A)0,P(B)0因为A与B独立，所以P(AB)P(A)P(B)0，A与B相容。因为P(AB)0，而P(A)P(B)0，P(AB)

12、P(A)P(B)，A与B不独立。.已知事件A,B,C相互独立，求证AUB与c也独立。证明：因为A、B、C相互独立，P(AUB),CP(ACUBC)P(AC)P(BC)P(ABC)P(A)P(C)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(AB)P(C)P(AUB)P(C)AUB与C独立。8.甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解：令A,A,A分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，123那么P(A)0.7,P(A)0.&P(A)0.9123令B表示最多有一台机床需要工人

13、照顾， 那么P(B)P(AAAAAAAAAAAA)TOC o 1-5 h z1231乙3123_123_P(AAA)P(AAA)P(AAA)P(AAA)1231231231230.70.80.90.30.80.90.70.20.80.70.80.10.902.如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为P(0p1),(称为元件的可靠性)，假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。系统I系统II解：令A“系统(I)正常工作”B“系统(II)正常工作”Ai“第i个元件正常工作”，i1,2,2nP(A)P,A,A,A相互独立。i122n那么P(A)P島AA)(AAA)12nnnK22n

14、PAAA)P(aAA)Hp(AAA)12nnn祂2n122nP(A)P(A)P(A)iiiiii2PnP2nPn(2Pn)P(B)P(AA)(AA)(AA)1n2nH2n2nnP(AA)iip(A)P(A)P(A)P(A)ii二注：利用第7题的方法可以证2PP2Pn(2P)n明(AA)与(AA)injn/iP(AAAAAAAAA)123123123j时独立。10.10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求前三人中恰有一人中奖的概率；第二人中奖的概率。解:令A“第i个人中奖”，i1,2,3iP(AAA)P(AAA)P(AAA)12丄1_23_12_3_P(A)P(AIA)P(AIAA)P(

15、A)P(AIA)P(AIAA)TOC o 1-5 h z121312121312P(A)P(AIA)P(AIAA)121312-t-1098109810982C1C21或P46C3210_P(A)P(A)P(AIA)P(A)P(AIA)2121121-36-2109109-11.在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出9-%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10000人中有-人患有肝癌试求：(1)某人经此检验法诊断患有肝癌的概率(2)已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。解：令B“被检验者患有肝癌”，A“用该检验法诊断被检验者患有肝癌”那

16、么，P(AIB)0.95,P(AIB)0.10,P(B)0.0004(1)P(A)P(B)P(AIB)P(B)P(AIB)0.00040.9-0.99960.10.10034P(BIA)P(B)P(I(BII爲(AIB)0.00380.00040.950.00040.950.99960.1.一1大2批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：(1)取到的5件产品中恰有2件是优质品；(2)在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品解：令B“5件中有i件优质品”，i0,1,2,3,4,5iP(B)C2(0.3)2(0.7)30.308725_,5

17、-P(BB)P(BIUB)P(BIB)Z2i20P(B)i0竺堂0.3711P(B)1(0.7)509.每1箱3产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算：(1)抽取的1件产品为正品的概率；(2)该箱产品通过验收的概率。解：令A“抽取一件产品为正品”A“箱中有i件次品”，i0,1,2iB“该箱产品通过验收”P(A)P(A)P(AIA)，.丄.100.9ii_3_10P(B)A)P(BIA)P(A)P(BIA)0.90.980.10.0

18、50.88714.假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求：(1)全部能出厂的概率；其中恰有2件不能出厂的概率；其中至少有2件不能出厂的概率。解：令A“仪器需进一步调试”；B“仪器能出厂”A“仪器能直接出厂”；AB“仪器经调试后能出厂”显然BAAB，那么P(A)0.3,P(BIA)0.8P(AB)PA)P(BIA)0.30.80.24所以P(B)P(A)P(AB)0.70.240.94令B“n件中恰有i件仪器能出厂”，i

19、0,1,ni, , /)/)(4)直到第n次才取得r(1rn)次成功。解：Pp(1p)rPCrpr(1p)krPCrpr(1p)nnPCr!pr(1p)n16.对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7.击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。解：令A“恰有i次击中飞机”，i0,1,2,3iB“飞机被击落”显然：P(A)(10.4)(10.5)(10.7)0.090P(A”0.4(10.5)(10.7)(10.4)0.5(10.7)(10.4)(10.5)0

20、.70.36P(A2)0.40.5(10.7)0.4(10.5)0.7(10.4)0.50.70.41P(A3)0.40.50.70.14而P(BIA)0，P(BIA)0.2，P(BIA)0.6，P(BIA)10123所以P(B)P(A)P(BIA)0.458；P(B)1P(B)10.4580.542ii, , 习题1.3解答11.设X为随机变量，且P(Xk)-(k1,2,),则2k判断上面的式子是否为X的概率分布；若是，试求P(X为偶数)和P(X5).1解：令P(Xk)p,k1,2,k2k(1)显然0p1，且kp丄lk2k11kk21所以P(Xk),k1,2,为一概率分布。2kP(X为偶数)

21、p丄12k22k113TOC o 1-5 h zkk4P(X.5)pk2k1116kB5k2c设随机变量X的概率分布为P(Xk)C厂e(k.1,2,),且0，求常数Ckk解：ce1,而e1k!k!kk)c上eMi1,即c(1e)0!设一次试验成功的概率为p(0p1)，不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量X表示试验的次数，求X的概率分布。解：P(Xk)p(1p)k,k1,2,设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1,当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求(1)X的概率分布；(2)P(X.5)。解：(1)P(Xk)(1p)kp(0.9)k0.

22、1,k0,1,2,P(X5)P(Xk)(0.9)k0.1(0.9)5kH5kB5一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？1211解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为P了，所以这是一个n5,p44的独立重复试验。13131P(X4)C4()4C5()5()054454464为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立。若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才

23、能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？解：1(0.99)2020O.Ol(0.99)190.0175(按Poisson(泊松)分布近似)n100,np1000.01(按Poisson(泊松)分布近似)1keCk(0.01)k(0.99)1000.01100k!kk查表得N41设随机变量X服从参数为的Poisson(泊松)分布，且P(X0)2，求(1)；(2)P(X1).解：P(X0)-e1,ln20!2P(X1)1P(X1)1P(X0)P(X1)1111ln2(1ln2)222设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有

24、两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。解：P(X1)P(X2)，即Be碍,2JL.厶、P(X0)e慈P(eB2)4eB89.在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)，求(1)某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为十的2Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计).求(1)某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；(2)某

25、一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率； #解331）t3,2P(X0)e2552）t5,-P(X1)lP(X0)le22已知X的概率分布为:X210123P2a1103aaa2a试求（1）a；（2）YX21的概率分布。解：12a103aaa2a设连续型随机变量X的概率密度曲线如图1.3.8所示.2）Y1038P3131105105试求:(1)解:11(1)-()0.50.53l22t1 # # #11,x2(2)f(x)1x1620，x1,0),x0,3)其它(3)P(2X2)x20 x12 # #0 xa其他设连续型随机变量X的概率密度为sinx,f(x)00,试确定常数a并求P

26、(X牙).fa(x)dxl，即sinxdxl0cosxl，即cosa0,a:_P(X)sinxdxcosxI236266乘以什么常数将使ex2x变成概率密度函数?解：令x2xdxI # # #ce“Ix巾2e4dxlc丄e4随机变量XN(2)，其概率密度函数为f(x)-e(x)6()试求.2；若已知(x)dx(x)dx，求C.C解：f(x)-!e严阳鼻e26 # #2,23 # 若f(x)dxif(x)dx,由正态分布的对称性c可知c2. # #0 xi1其他设连续型随机变量X的概率密度为2x,f(x)0,0,1以Y表示对X的三次独立重复试验中“X2”出现的次数，试求概率P(Y2).1解：12

27、1P(X-)ii2xdx240p(Y2)icdp善。121x设随机变量X服从1,5上的均匀分布，试求P(x2Xx2).如果(1)xi1xi5；(2)1xi5x.12解：X的概率密度为f(x)4其他0,P(xXx)dx1(x1)124421P(xXx)B1dx1(5x)12441x11设顾客排队等待服务的时间X(以分计)服从5的指数分布。某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y的概率分布和P(Y】).解：P(X.10).1.P(X.10).1.1e50e祂P(Y.k).CkS)k(1.e,k0,1,2,3,4,55P(Y

28、.1).1.(1.e*.0.5167 #习题1.4解答已知随机变量X的概率分布为P(XI)0.2,P(X2)0.3,P(X3)0.5，试求X的分布函数；P(0.5X2)；画出F(x)的曲线。解:0,x10.2,1x2F(x)0.5,2x31,x3F(x)曲线:P(0.5X2)0.5设连续型随机变量X的分布函数为 # #50.4,F(x)0.8,x11x11x3x3(1)X113P0.40.40.2(2)P(X21X1)P(XP(X黑-2试求：(1)X的概率分布；(2)P(X21Xl).解:从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4,设X为途中遇到

29、红灯的次数，试求(1)X的概率分布；X的分布函数。解:(1)P(Xk)C3(|)k(|)3,k0,1,2,3列成表格 # #X0123p275436812512512512502712581(2)F(x)25251x00 xlx2x3x3试求习题1.3中第11题X的分布函数，并画(x)的曲线。解：01.1.1tx2x,24-x24x11xO丄x2121x3设连续型随机变量X的分布函数为试求:解(1)BABe住x,F(x)，(1)A,B的值；(2)P(Xl)；x0 x03)概率密度函数f(x).F()lim(ABe慈x)1A1又lim(ABe亶x)F(0)0BAo # (2)P(X1)F(1)F

30、()Ie赳2e2x,x0TOC o 1-5 h zf(x)F(x)设X为连续型随机变量，其分布函数为x1;1xe;xe.a,F(x)bxlnxcxd,d,试确定F(x)中的a,b,c,d的值。解：F()0al又F(ldl又lim(bxInxcxl)a0cx1又/lim(bxInxx1)d1bee11即b1(1x2)设随机变量X的概率密度函数为f(x)a，试确定a的值并求F(x)和P(X1).解:rib)dx* # #即aarctanxIa1(1t2)2P(lXIhT)F(1)F()F(x)dt-arctanx,xarctanl)22假设某地在任何长为t年的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为0.1的Poisson(泊松)分布，X表示连续两次地震之间相隔的时间(单位：年)，试求:证明X服从指数分布并求出X的分布函数；今后3年内再次发生地震的概率；今