概率统计简明教程第八章假设检验

1、 第八章假设检验统计推断的另一个问题是假设检验，即在总体的分布未知或总体的分布形式已知但参数未知的情况下，为推断总体的某些性质，提出关于总体的某种假设，然后根据抽样得到的样本观测值，运用统计分析的方法，对所提的假设作出接受还是拒绝的决策，这一决策的过程称之为假设检验.假设检验分为参数假设检验和非参数假设检验,仅涉及总体分布的未知参数的假设检验称为参数假设检验,不同于参数假设检验的称作非参数假设检验.本章介绍假设检验的基本概念以及正态总体参数的显著性检验.1假设检验的基本概念1.1假设检验的思想与方法下面我们通过例子说明假设检验的基本思想和方法.例1D1某化肥厂用自动打包机包装化肥，其均值为10

2、0kg,根据经验知每包净重X（单位：kg）服从正态分布，标准差为1kg.某日为检验自动打包机工作是否正常,随机地抽取9包,重量如下:99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5试问这一天自动打包机工作是否正常?本例的问题是如何根据样本值来判断自动打包机是否工作正常,即要看总体均值是否为为此我们给出假设H:1000现用样本值来检验假设H是否成立,H成立意味着自动打包机工作正常00否则认为自动打包机工作不正常.在假设检验问题中,我们把与总体有关的假设称之为统计假设把待检验的假设称之为原假设记为H与原假设0H相对应的假设称为备择假设记为H本例中的备

3、择假设为01H:100用样本值来检验假设H成立称为接受H即拒绝H否1001则称为接受H即拒绝H10如何检验H:100成立与否我们知道，样本均值X是的无偏0估计自然地希望用X这一统计量来进行判断在H为真的条件下X的0观测值X应在附近即x00比较小也就是说,要选取一个适当的常数k,使得k是一个小概率事件我们称这样的小概率为显著性水平记为1一般地取等注意到当巴 # #为真时,统计量X100UN,1/五对于给定的显著性水平令XlOOI：n # 于是ku.设统计量U的观测值为u如果2/pnKjnuu.2则意味着概率为的小概率事件发生了根据实际推断原理（个小概率事件在一次试验中几乎不可能发生），我们拒绝化

4、否则接受H0在本例中若取u.u1.96/20.025Xoo/Jn99.8lOO1/的0.61.96,因此，接受原假设H即自动打包机工作正常O从本例中可以看出假设检验的基本思想是：为验证原假设H是否成O立我们首先假定H是成立的然后在H成立的条件下利用观测到的样OO本提供的信息如果能导致一个不合理的现象出现即一个概率很小的事件在一次试验中发生了,我们有理由认为事先的假定是不正确的从假而拒绝H，因为实际推断原理认为,一个小概率事件在一次试验中是几乎不可能0发生的.如果没有出现不合理的现象,则样本提供的信息并不能否定事先假定的正确性从而我们没有理由拒绝H,即接受H00为了利用提供的信息,我们需要适当地

5、构造一个统计量,称之为检验统计量，如例的检验统计量是U丁利用检验统计量我们可以KJn确定一个由小概率事件对应的检验统计量的取值范围,称这一范围为假设检验的拒绝域记为W，如例的拒绝域为Wu当uW时2我们拒绝H当uW时接受H001.2假设检验的两类错误由于假设检验是依据实际推断原理和一个样本值作出判断的,因此，所作的判断可以会出现错误如原假设H客观上是真的我们仍有可能以0的概率作出拒绝H的判断从而犯了“弃真”的错误这种错误称为第一类0错误犯这个错误的概率不超过给定的显著性水平为简单起见，记P拒绝HH成立()00另外，当原假设H客观上是假的由于随机性而接受H这就犯了“取00伪”的错误这种错误称为第二

6、类错误犯第二类错误的概率记为b，即PH受HH成立.()01在检验一个假设时，人们总是希望犯这两类错误的概率都尽量小但当样本容量n确定后,不可能同时做到犯这两类错误的概率都很小,因此,通常我们的做法是利用事前给定的显著性水平来限制第一类错误,力求使犯第二类错误的概率b尽量小这类假设检验称为显著性检验为明确起见，我们把两类错误列于表中表8.假1设检验的两类错误真实情况判断H成立0H成立1拒绝H0犯第一类错误判断正确接受H0判断正确犯第二类错误3假设检验的步骤从例1.中1可以看出假设检验的一般步骤为(1)根据实际问题提出原假设H和备择假设H;01(2)确定检验统计量Z;(3)对于给定的显著性水平,并

7、在H为真的假定下利用检验统计量0确定拒绝域W;(4)由样本值算出检验统计量的观测值z,当zW时，拒绝H.当0zW时,接受H.0需要说明的是：原假设和备择假设的建立主要根据具体问题来决定.通常把没有把握不能轻易肯定的命题作为备择假设，而把没有充分理由不能轻易否定的命题作为原假设.在对参数的假设检验中形如H:H:的假设检验称0010为双边检验.在实际问题中,有些被检验的参数，如电子元件的寿命越大越好而一些指标如原材料的消耗越低越好,因此，需要讨论如下形式的假设检验:H:00H1:0(1.)5或H:,H:(1.)60010我们称(1.为5右)边检验,为.左6边)检验左边检验和右边检验统称为单边检验.

8、2单个正态总体的均值与方差的假设检验设X,X，,X是来自正态总体N的-个样本样本均值为12nX样本方差为S22.1单个正态总体均值的假设检验2已知时关于的假设检验为检验假设H:H:0010构造检验统计量UN(0,1)当Ho为真时检验统计量U的观测值u不应偏大或偏小,故对给 # 定的显著性水平令P骯得拒绝域为Wu2当U的观测值满足U動.则拒绝Ho即认为均值与0有显著差异；否则接受H即认为与无显著差异00对假设0010取检验统计量为X/Jn可得此假设检验的拒绝域为W()类似地,我们可得假设检验H:H:0010的拒绝域为W()口.X在上述检验中我们都用到统计量U来确定检验的拒绝域*n这种方法称为U检

9、验例2.1设某厂生产的一种电子元件的寿命(单位：小时)XN(,40000)，从过去较长一段时间的生产情况来看，此电子元件的平均寿命不超过1500小时，现在采用新工艺后，在所生产的电子元件中抽取25只，测得平均寿命x=1675小时.问采用新工艺后，电子元件的寿命是否有显著提高（显著性水平=0.05）？解:建立假设H:1500H:150001已知n25,200 xu.u1.6450.05U的观测值为X4.375u0.05E因此，拒绝H0，接受H,即认为采用新工艺后，电子元件的寿命有显著提高12未知时关于的假设检验作单个总体均值的U检验，要求总体标准差已知，但在实际应用中，2往往并不知道，我们自然想

10、到用2的无偏估计s2代替它，构造检验统计量为TXot（）S/W考虑假设H:H:0010对给定的显著性水平有TOC o 1-5 h zpy：t.嶋,（）5s/n2因此，检验的拒绝域为Wt（）2当检验统计量T的观测值t二满足t则拒绝H即认s/4n20为均值与有显著差异否则接受H即认为与无显著差异000类似地假设检验H:H:的拒绝域为0010W斗.（）假设检验H:H:的拒绝域为0010W斗.（）称上述检验方法为t检验.例2.2健康成年男子脉搏平均为72次/分，高考体检时，某校参加体检的26名男生的脉搏平均为74.2次/分，标准差为6.2次/分，问此26名男生每分钟脉搏次数与一般成年男子有无显著差异(

11、=0.05)？解:建立假设H:,72H01:72已知n26,x74.2,s6.20115t輕2.06/20.025V0故接受H0计算T的观测值：tc1.81由于s/Jn即认为此26名男生每分钟脉搏次数与一般成年男子无显著差别单个正态总体方差的假设检验已知时关于2的假设检验为检验假设H:H:0010选取检验统计量为丄(XM)2.2i0i当H为真时检验统计量2不应偏大或偏小即对给定显著性水平有0Pkk12一般地取kk其拒绝域为11/22/2W或1/2/2H:10H:2210类似地,我们可以讨论左边检验H:2200和右边检验H:2200的拒绝域(见表8.2).未知时关于的假设检验欲检验假设H:H:0

12、010选取检验统计量为BlS22202nl当H为真时检验统计量2不应偏大或偏小即对给定显著性水平有0PBkBkl2一般地取kk因此拒绝域为TOC o 1-5 h zll/22/2Wli或.11/2/2以上的检验方法称为2检验.例2.3某厂生产一种电子产品,此产品的某个指标服从正态分布N2现从中抽取容量为n.8的一个样本，测得样本均值X61.125,样本方差s293.268.取显著性水平0.05,试就60和未知这两种情况检验假设282. # #解检验假设H:82,H:82为检验统计量由s293.268算出1未知取202g.26810.201282又亠1.690和l/20.97516.013/20

13、.025即l0.20l2不在拒绝域内故接受H:28201n已知取(X)2为检验统计量2i0i2,18017.535120.97520.025 /2 注意到，(xM)2(xx)&)(xix)Bn(xiiiiii和(xBx)2B(nBl)s2由xB61.125和s2B93.268可算出检验统计ii量的观测值为B2丄(xB60)20.3281即它不在拒绝域内故接受82iiH:2820两个正态总体均值差与方差比的假设检验设XN,2yN,2从总体X和Y中分别独立地取1122出样本X,X，,X和Y,Y，,Y样本均值依次记为X和Y样本方差12n12m依次记为S2和S212两个正态总体均值差的假设检验2与2已

14、知时关于的假设检验1212现检验假设H:H:012112由第六章定理可知在H成立的条件下检验统计量UjY-N2n12mXYm%可得拒绝域为2给定显著性水平令P常用的情况是O即原假设为Ho:吧例3.1某苗圃采用两种育苗方案作育苗试验,已知苗高服从正态分布在两组育苗试验中,苗高的标准差分别为18,20.现都取60株苗12作为样本,测得样本均值分别为X59.34厘米和y49.16厘米.取显著性水平为0.05,试判断这两种育苗方案对育苗的高度有无显著性影响解:建立假设H:H:012112由题中给出的数据我们算出统计量U的观测值为 #/2 # /2 #2.9359.3449.161826020260另0

15、.05uu1.96因u2.931.96故拒绝.20.025H0:12,认为这两种育苗方案对育苗的高度有显著性影响22与2未知但.222时关于的假设检验121212现检验假设H:H:012112由第六章定理可知在H成立的条件下检验统计量0TOC o 1-5 h zXYT”一tm2（）S.1n1mwim2其中S21wnm2给定显著性水平使得P耳tHm2得到拒绝域为Wt.m2（）2类似地我们可得关于的单边假设检验的拒绝域见表例3.2在针织品漂白工艺中12,要考虑温度对针织品断裂强力的影响,为比较70和80的影响有无显著性差异.在这两个温度下,分别重复做了8次试验,得到断裂强力的数据如下（单位:牛顿）

16、70D:20.5,18.8,19.8,20.9,21.5,21.0,21.2,19.580口:17.7,20.3,20.0,18.8,19.0,20.1,20.2,19.1由长期生产的数据可知,针织品断裂强力服从正态分布,且方差不变,问这两种温度的断裂强力有无显著差异（显著性水平0.05）解设XY分别表示和C的断裂强力因此XNYN,建立假设12H:H:012112XY为检验统计量nm8由题中给出的数据可以计 #/2 # #/2 #x20.4,y19.4,s0.928w检验统计量的观测值为xys1nlm2.16 #/2 # /2 #故拒绝原假设即又tm2t142.1450因/20.025认为这两

17、种温度的断裂强力有显著差异.3.2两个正态总体方差比的假设检验i和已知时检验假设H:H:12012112现检验假设H:22,H:22由第六章的定理可知，在012112H成立的条件下取检验统计量0m(X)2i1FF(n,m),n(Y)2i2i给定显著性水平使pFkk12一般地取kF,F,m注意到1l/22/!mh一因此拒绝域为1/2Fm,n/2/21和未知时检验假设H0:l2H1: #/2 #现检验假设H:22,H:2z由第六章的定理可知，在012112H成立的条件下取检验统计量S2F茁F(nl,ml),2给定显著性水平使PFkk12一般地取kF,mkFm拒绝域为11/22*/2 #/2 # /

18、2 #上述检验方法称为F检验.例根据本节例3.2的数据，检验70DO80时针织品断裂强力的方差是否相等(显著性水平为0.05)?3.) #/2 # #/2 #解建立假设H:H:012112 /2 #由数据,检验统计量的观测值为f舊-08856-I-,2又F,mF,74.99,TOC o 1-5 h z/80.085F漏!,-1厂749-(m-/20.025显然有17-0.20注-1.07-4.99-F-,7因此，接受HF,7S20.02500.0858即认为C和C时针织品断裂强力的方差是相等的表正态总体参数的显著性检验列表显著性水平为-原假设H0检验统计量备择假设H1拒绝域单uU-20U-X-

19、00已-00u个知00u1u2正-2未-0-0-T0S/Jn00ttt-1-1-态知00t-t.2-1总-已知-2-20-2-201-(X-)22i0i-2-20-2-20-120201/2或体/222b00未2B1IS22知00122020012或常?两口.XYuu2,12U12乂1nm12u2212uu已122个知12ttm,2正2,12121一XYT12t.m,22；112未12SJ-wynm12Ittm,2/2知但12相态等,1212m(X)2212FF,m212i1Fn(Y)2i2212FF,m1总2i已知21222122FF,m或12FF,m22222FF,m体,1212122厂.

20、S222FF,m12F亠S2121222222FF,m121212未或知FFm/2习题八1在正常情况下，某炼钢厂的铁水含碳量()XN(4.55,2)一日测得炉铁水含碳量如下：，44.4，4804.，442.4，54.47在显著性水平0.05下，试问该日铁水含碳量得均值是否有明显变化2根据某地环境保护法规定，倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为：x,.,x经计算得知115x48X2156.26iiii试判断该厂是否符合环保法的规定(该有毒化学物质含量服从正态分布)3某厂生产需用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率不

21、应低于已知该指标服从正态分布N(,.2),5.5从近期来货中抽查了个样品，得样本均值X55.06,试问在0.05水平上能否接受这批玻璃纸？4某纺织厂进行轻浆试验，根据长期正常生产的累积资料，知道该厂单台布机的经纱断头率（每小时平均断经根数）的数学期望为9.7根3，标准差为1.6根0.现在把经纱上浆率降低20，%抽取20台0布机进行试验，结果平均每台布机的经纱断头率为9.8根9，如果认为上浆率降低后均方差不变，问断头率是否受到显著影响（显著水平a）?5某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布N（100,2）某日开工后，随机抽查箱重量如下（单位：斤）：，98.，1900，1500，919，99.，1700，1000，929.，1500问包9装机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与10是0否有显著差异?（显著性水平a）.某自动机床加工套