a第二章2.1参数曲线2.2弧长

1、微分几何 Differential GeometryChapter 2 曲线论 2.1 参数曲线 2.2 曲线的弧长2.1 参数曲线Parametric Curve1-dimensional manifold 参数曲线三维欧氏空间 中的一条曲线 是一个连续映射 ，称为参数曲线. 几何上，参数曲线 是映射 的象. 取定正交标架 ，则曲线上的点 与它的位置向量 一一对应. 令 . 则(1.3) 其中 为曲线的参数，(1.3)称为曲线的参数方程.曲线的切线导数（1.4）如果坐标函数 是连续可微的，则称曲线 是连续可微的. 此概念与标架的取法无关. (为什么？)导数 的几何意义：割线的极限位置就是曲线

2、的切线. 正则参数曲线如果 ，则 是该曲线在 处的切线的方向向量，称为该曲线的切向量. 这样的点称为曲线的正则点. 曲线在正则点的切线方程为(1.5) 其中 是固定的， 是切线上点的参数， 是切线上参数为 的点的位置向量. 正则参数曲线定义. 如果 是至少三次以上的连续可微向量函数，并且处处是正则点，即对任意的 ， ，则称曲线 是正则参数曲线. 将参数增大的方向称为曲线的正向.上述定义与 中直角坐标系的选取无关. 正则曲线：正则参数曲线的等价类. 参数变换曲线的参数方程中参数的选择不是唯一的.在进行参数变换时，要求参数变换 满足： 是 的三次连续可微函数； 处处不为零. 这样的参数变换称为可允

3、许的参数变换. 当 时，称为保持定向的参数变换. 根据复合函数的求导法则，这种可允许的参数变换在所有正则参数曲线之间建立了一种等价关系. 等价的正则参数曲线看作是同一条曲线，称为一条正则曲线. 以下总假定 是正则曲线.如果一条正则参数曲线只允许作保持定向的参数变换，则这样的正则参数曲线的等价类被称为是一条有向正则曲线. 参数变换例1.1例1.1 圆柱螺线 ，其中 是常数， . 所以圆柱螺线是正则曲线.例1.2连续可微性和曲线的正则性（光滑性）是不同的概念.（与数学分析中的结论比较）例1.2 半三次曲线 . 这条曲线不是正则曲线. 平面曲线的一般方程 和隐式方程 . 空间曲线的一般方程(1.6)

4、 和隐式方程(1.8) 这些方程可以化为参数方程. (习题4：正则曲线总可以用一般方程表示)曲线(1.8)的切线方向，正则性. 课外作业：习题2，5，62.2曲线的弧长曲线的弧长设 中一条正则曲线 的方程为 则 是该曲线的一个不变量，即与正交标架的选取无关与曲线的可允许参数变换无关 不变量 的几何意义是该曲线的弧长 其中 是区间 的任意一个分割， ， 图2-41-dimensional manifold弧长参数令(2.4)则 是曲线 的保持定向的可允许参数变换，称为弧长参数. 它是由曲线本身确定的，至多相差一个常数，与曲线的坐标表示和参数选择都是无关的. 任何正则曲线都可以采用弧长 作为参数，

5、当然，允许相差一个常数.注意 也是曲线的不变量，称为曲线的弧长元素(或称弧微分). 一维流形的度量问题：怎么判定弧长参数？虽然理论上任何正则曲线都可以采用弧长参数 ，但是具体的例子中，曲线都是用一般的参数 给出的. 由(2.4)，即使 是初等函数， 也不一定是初等函数. 下面的定理给出了判别一般参数是否是弧长参数的方法. 定理2.1. 设 是 中一条正则曲线，则 是它的弧长参数的充分必要条件是 . 即 是弧长参数当且仅当(沿着曲线 )切向量场是单位切向量场. 证明. “ ”由(2.4)可知， . “ ”如果 是弧长参数，则 ，从而 以下用“”表示对弧长参数 的导数，如 ， 等等，或简记为 等等. 而“ ”则用来表示对一般参数 的导数.