高中数学选修2-2第一章--本章小结

1、第一章导数及其应用本章小结知 识 网 络 建 构热 点 专 题 剖 析一、求函数的导数及导数的几何意义利用导数求曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线方程时，应注意：(1)判断点P(x0，y0)是否在曲线yf(x)上；(2)1若点P(x0，y0)为切点，则曲线yf(x)在点P处的切线的斜率为f(x0)，切线的方程为yy0f(x0)(xx0)2若点P(x0，y0)不是切点，则设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0 x1)又y1f(x1)由求出x1，y1的值即求出了过点P(x0，y0)的切线方程例2已知函数f(x)

2、ax33x26ax11，g(x)3x26x12，和直线m：ykx9，又f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是yg(x)的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由分析直线ykx9过定点(0,9)，可先求出过点(0,9)与yg(x)相切的直线方程，再考查所求直线是否也是曲线yf(x)的切线解(1)因为f(x)3ax26x6a，又f(1)0，3a66a0，a2.(2)因为直线m恒过定点(0,9)，先求过点(0,9)与曲线yg(x)相切的直线方程二、函数的单调性利用导数的符号判断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数几何意义在研究曲线变

3、化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想例3已知x3是函数f(x)aln(1x)x210 x的一个极值点(1)求a；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若直线yb与函数yf(x)的图象有3个交点，求b的取值范围所以f(x)的单调增区间是(1,1)，(3，)，f(x)的单调减区间是(1,3)(3)由(2)知，f(x)在(1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，)内单调递增，且当x1或x3时，f(x)0，所以f(x)的极大值为f(1)16ln29，极小值为f(3)32ln221，因此f(16)16ln29f(1)，f(e21)321121f(3)，三、函

4、数的极值与最值1利用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f(x)0的根；(3)检验f(x)0的根的两侧f(x)的符号若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点2求函数f(x)在闭区间a，b上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值特别地，当f(x)在a，b上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(

5、或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(，)例4已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围解(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，f(x)3x26x.由f(x)0得，x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)、f(x)的变化状态见表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)003t26tf(x)22t33t22f(x)minf(2)2.f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以f(x)maxf(0)2.(3)令g(x)f(x)c