高中数学竞赛历届IMO试题(146届)

1、高中数学竞赛历届IMO试题（1-46届）第1届IMO1求证14对每个自然数都是最简分数。设-1,试在以下种情况下分别求出的实数解:；1。.b都是实数，已知的二次方程试用作出一个关于的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当4时比较-1和的方程式。4试作一直角三角形使其斜边为已知的，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。在线段上任意选取一点M,在的同一侧分别以MM为底作正方形M、M,这两个正方形的外接圆的圆心分别是、，设这两个外接圆又交于M、，求证、相交于点；（求证不论点M如何选取直线M都通过一定点；当M在与之间变动时，求线断的中点的轨迹。6两个平面、交于一线，为上给定一点，为上给定一点，并且这两点

2、都不在直线上。试作一等腰梯形、平行于、，使得它有一个内切圆，并且顶点、分别落在平面和上。第届IMO1找出所有具有下列性质的三位数：能被11整除且等于的各位数字的平方和。寻找使下式成立的实数：TOC o 1-5 h z41-1直角三角形的斜边的长为，将它分成等份（为奇数），令a为从点向中间的那一小段线段所张的锐角，从到边的高长为，求证：a4-4已知从、引出的高线长度以及从引出的中线长，求作三角形。正方体（上底面，下底面）。是对角线上任意一点，是上任意一点。求中点的轨迹；求中轨迹上的、并且还满足的点的轨迹。6个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令伪圆锥的体积，为圆

3、柱的体积。求证：不等于V求1的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。等腰梯形，平行于，、令，梯形的高为。点在对称轴上并使得角、都是直角。试作出所有这样的点并计算到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的点确实存在。第届IMO1设a、b是常数，解方程组x+y+z=a;x2+y2+z2=b2;xy=z2并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？2设a、b、c是某三角形的边，A是其面积，求证：a2+b2+c2=43A.并求出等号何时成立。解方程cosnx-sinnx=1,其中n是一个自然数。P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D,PB交AC于E,PC交AB于F,求证AP/PD,

4、BP/PE,CP/PF中至少有一个不大于2,也至少有一个不小于2。5作三角形ABC使得AC=b,AB=c,锐角AMB=a,其中M是线断BC的中点。求证这个三角形存在的充要条件是btan(a/2)=c1/2.3正方体ABCDABCD(ABCD、ABCD分别是上下底)。一点x沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动；一点丫以同样的速度沿着正方形BCCB的边界以方向BCCBB运动。点X、丫在同一时刻分别从点A、B开始运动。求线断XY的中点的轨迹。解方程cos2x+cos22x+cos23x=1。5在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。6

5、-个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为r,求证这两个圆的圆心的距离是7(R(R-2r)。7求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来,如果一个四面体有5个这样的球,则它必然是正四面体。第5届IMO1找出下列方程的所有实数根(其中p是实参数)：7(x2-p)+27(x2-1)=x.2给定一点A及线断BC,设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足角APX是直角，试求出所有这样的点P的轨迹。3在一个n边形中，所有内角都相等，边长依次是a1=a2=an,求证：所有边长都相等。设y是一个参数，试找出方程组xi+xi+2=yxi+1(i=1,.,5的所有解x1,.

6、,求证cospi/7-cos2pi/7+cos3pi/7=1/2.6五个同学A、B、C、D、E参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻(例如，C、D两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种)。还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序。实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学4个不同的同学)的名次像预测中的一样是相连。试讨论最后的名次如何？第6届IMO(a)求所有正整数n使得2n-1能被7整除；(b)求证不存在正整数n使得2n+1能被7整除。2假设a、b、c是

7、某三角形的三边长，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)=3abc.3三角形ABC的三边长为别为a、b、c。分别平行于ABC的各边作三角形ABC内切圆的切线，每条切线都在ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和(用i,b,c表示)。4十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。5平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目。6四

8、面体ABCD的中心是D0,分别过A、B、C作DDO的平行线，这些线分别交平面BCD、CAD、ABD于点AO、BO、CO,求证：ABCD的体积是A0B0C0D0的三分之一；再问如果D0为三角形ABC内的任意一点，结果是否仍然成立？第7届IMO试找出所有位于区间0,2pi的x使其满足cosx|7(1+sin2x)-7(1-sin2x)|2个点，任何两点之间都有线断相连，这些线断长度中的最大值被定义为这个点集的直径，求证：长度为直径的线断至多有n条。第8届IMO1在一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问

9、题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A。请问有多少学生只答对B?2三角形ABC,如果，BC+AC=tanC/2(BCtanA+ACtanB).则该三角形为等腰三角形。3求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点到各顶点距离之和。4对任何自然数n以及满足sin2nx不为0的实数x,求证：1/sin2x+1/sin4x+1/sin2nx=cotx-cot2nx.ai(i=1,2,3,4)是互不相同的实数，解方程组(i=1,2,3,4)|ai-a1|x1+|ai-a2|x2+|ai-a3|x3+|ai-a4|x4

10、=1。6在三角形ABC的边BC、CA、AB上分别任选三内点K、L、M,求证三角形AML、BKM、CLK之中至少有一个的面积小于活等于三角形ABC的四分之一。第9届IMO1平行四边形ABCD，边长AB=a,AD=1,角BAD=A,已知三角形ABD是一个锐角三角形，求证以A,B,C,D为圆心半径为1的四个圆能够覆盖此平行四边形的充要条件是a1)共颁发了m块奖牌。在第一天，颁发了一块奖牌以及剩下m-1个中的1/7;在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的1/7;依此类推。在最后一天即第n天，剩下的n块奖牌全部颁发完毕。问该运动会共进行了几天,一共颁发了多少块奖牌?第10届IMO求证有且仅有一个三角形,它的边

11、长为连续整数,有一个角是另外一个角的两倍。2试找出所有的正整数n,其各位数的乘积等于n2-10n-22。a,b,c是不全为0的实数。x1,x2,.,xr是满足下述方程组的未知数：axi2+bxi+c=xi+1,对于i=1,2,.,n-1;axn2+bxn+c=x1；若设M=(b-1)2-4ac，求证：若M0,则方程组不止有一个解。求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边。5令f是定义在所有实数并取值实数的函数，并且对于某个a0及任何x0有f(x+a)=1/2+7f(x)-f(x)2求证f是周期函数，并且当a=1时请给出一个非常值函数的例子。6对任何自然数n试计算

12、下式的值(n+1)/2+(n+2)/4+(n+4)/8+.+(n+2k)/2k+1+.其中x表示不超过x的最大整数。第11届IMO1对任意正整数n,求证有无穷多个正整数m使得n4+m不是质数。令f(x)=cos(a1+x)+1/2cos(a2+x)+1/4cos(a3+x)+.+1/2n-1cos(an+其中ai是实数常量，x是实数变量。现已知f(x1)=f(x2)=0,求证x1-x2是p的整数倍。3对每一个k=1,2,3,4,5,试找出a0应满足的充要条件使得存在一个四面体，其中k个边长均为a,其余6-k个边的长度均为1。4以AB为直径的半圆弧，C是其上不同于A、B的一点，D是C向AB作垂线

13、的垂足。K1是三角形ABC的内切圆，圆K2与CD、DA以及半圆都相切，圆K3与CD、DB及半圆相切。求证：圆K1、K2、K3除AB外还有一条公切线。5平面上已给定了n4个点，无三点共线。求证至少有(n-3)(n-4)/2个凸四边形，其顶点都是已给点集中的点。给定实数x1,x2,y1,y2,z1,z2,满足x10,x20,x1y1z12,x2y2z22求证：81+1(x1+x2)(y1+y2)-(z1+z2)2x1y1-z12x2y2-并给出等号成立的充分必要条件。第12届IMOM是三角形ABC的边AB上的任何一点，r、门、r2分别是三角形ABC、AMC、BMC的内切圆的半径，q是AB外旁切圆的

14、半径(即与AB边相切，与CA、CB的延长线上相切的圆)，类似的，q1、q2分别是AC、BC外旁切圆的圆心。求证：r1r2q=rq1q2。已知0 xi0,xn-10如果ab，xnxn-1(x0)是数A在a进制下的表示、也是B在b进制下的表示，则xn-1xn-2.x0表示了A在a进制下的表示、B在b进制下的表示。求证：AB实数a0,a1,a2,.满足1=a0=a1=a2=.，.并定义bn=(1-ak-1/ak)/7ak其中求和是k从1到n。求证0bn2;设c满足0cc成立。4试找出所有的正整数n使得集合n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等。四面

15、体ABCD,角BDC是直角，D向平面ABC作垂线的垂足恰好是三角形ABC的垂心。求证：(AB+BC+CA)2=0对于n=3或5成立，而对于其他自然数n2不成立。2凸多边形P1的顶点是A1,A2,.,A9若将顶点A1平移至Ai时则P1平移成了多边形Pi，求证P1,P2,.,P9之中至少有两个具有一共同内点。3求证能够找到一个由形式2n-3(n是正整数)的整数构成的集合并满足任何两个元素互质。4四面体ABCD的所有面都是锐角三角形，在线段AB上取一内点X,现在BC上取内点丫，CD上取内点Z,AD上内点T。求证：如果ZDAB+ZBCDhZCDA+ZABC，则没有一条闭路径XYZTX具有最小值；如果Z

16、DAB+ZBCD=ZCDA+ZABC，则有无穷多最短路径XYZTX，它们的长度是2ACsin(k/2)，其中k=ZBAC+ZCAD+ZDABo5对任何自然数m，求证存在平面上一有限点集S，满足：对S中的每一个点A，存在S中的恰好m个点与A的距离为单位长。6设A=(aij)其中i,j=1,2,.,n是一个方阵，元素aij都是非负整数。若i、j使得aij=0，则第i行和第j列的元素之和大于或等于no求证：该方阵中所有元素之和大于或等于n2/2o第14届IMO1有十个互不相同的二位数，求证必可从中选出两个不相交的子集，使得这两个子集中的元素之和相等。2设n4，求证每一个圆内接四边形都可以分割成n个圆

17、内接四边形。m,n是任意非负整数，求证下式是一整数。(2m)!(2n)!m!n!(m+n)!试找出下述方程组的所有正实数解：(x12-x3x5)(x22-x3x5)=0(x22-x4x1)(x32-x4x1)=0(x32-x5x2)(x42-x5x2)=0(x42-x1x3)(x52-x1x3)=0(x52-x2x4)(x12-x2x4)=0f、g都是定义在实数上并取值实数的函数，并且满足方程f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y，)又已知f不恒等于0且|f(x)|=1。求证对所有x同样有|g(x)|=1.2问能否在空间中找到一个不共面的有限点集M使得，对M中的任何两点A、B，都可以再在

18、M中寻找到两点C、D，而直线AB、CD是不相同的并且是互相平行的。3考虑所有这样的实数a、b使得方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一个实根。试找出a2+b2的最小值。4一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷，他的扫雷器的半径是三角形高的一半，士兵从三角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径？G是具有下述形式且非常值的函数的集合：f(x)=ax+b其中a,b,x都是实数。并且已知G具有这些性质：如果f,g都属于G,则fg(x)=f(g(x)也属于G;如果f属于G,则f-1(x)=x/a-b/a也属于G;对任何f属于G,存在一个实数x使得f(xf

19、)=x成立。求证：存在实数M使得f(M)=lW所有G中的函数f都成立。al,a2,.,an是正实数，实数q满足0q1,试求出n格实数b1,b2,.,bn使得：aibi,i=1,2,.,n;qbi+1/bi1/q,i=1,2,.,n-1;b1+b2+.+bn(a1+a2+.+an)(1+q)/(1-q).第16届IMO1三个玩家玩游戏。在三张扑克牌上分别写上一个正整数，并且每张牌上的数都不相同。在每一轮游戏中都是随机的把卡片分给这些玩家，然后每个玩家拿到所分得卡片上数目的筹码。当游戏进行时，玩家手上的筹码自然是越来越多。假设游戏至少进行了两轮以上。在最后一轮结束时，第一个玩家有筹码20个，第二个

20、玩家有10个，第三个玩家有9个。又已知在最后一轮游戏中第三个玩家拿到的是最大数目的筹码。试问，在第一轮游戏中哪个玩家收到了中间数量的筹码？2三角形ABC,求证在边AB上存在一点D使得CD是AD、DB的几何平均值的充要条件是sinAsinB0的整系数多项式，n是P(X)=1或-1的不同整根的个数，则有n=x2=.=xn以及y1=y2=.=yi都是实数，求证若z1,z2，,zr是yi的任意排列则有Z(xi-yi)2=Z(xi-zi)2上式中左右两边的求和都是i从1到n。2令a1a2a3=1，存在无穷多个an可以写成an=rai+sa的形式，其中r,s是正实数且jio3任意三角形ABC的边上，向外作

21、三角形ABR,BCP,CAQ,使角CBP、角CAQ都是45度，角BCP、角ACQ都是30度，角ABR、角BAR都是15度。求证角QRP是直角并且QR=RP。4令A是将44444444写成十进制数字时的各位数字之和，令B时A的各位数字之和，求B的各位数字之和。5判定并证明能否在单位圆上找到1975个点使得任意两点间的距离为有理数。6找出所有两个变量的多项式P(x,y)使其满足：对某一正整数n及所有实数t、x、y有P(tx,ty)=tnP(x,y成立；II对所有实数x、y、z有P(y+z,x)+P(z+x,y)+P(x+y,z)=0;IIIP(1,0)=1o第18届IMO1平面上一凸四边形的面积是

22、32,两对边与一对角线之和为16,求另外一个对角线的所有可能的长度。令P1(x)=x2-2,Pi+1=P1(Pi(x),i=1,2,3,，求证对任何一个正整数n,方程式Pn(x)=x的所有根都是互不相同的实数。3个长方形的箱子可以用单位正方体完全装满，如果用体积为2的正方体来尽量装填，使得每个边都与箱子的边平行，则恰能装满箱子的40%,求所有这种箱子的可能尺寸(长、宽、高)。4试将1976分解成一些正整数之和，求这些正整数乘积的最大值，并加以证明。n是一个正整数，m=2n,aij=0、1或-1(1=i=n,1=j=m。还有m个未知数x1,x2,xm满足下面n个方程：ai1x1+ai2x2+ai

23、mxm=0,其中i=1,2,n求证这n个方程有一组不全为0的整数解(x1,x2,xm)使得|xi|2是一给定整数，Vn是所有1+kn形式的整数构成的集合，其中k是正整数，对于Vn中的一个数m,如果不存在Vn中的两个数p、q使得m=pq,则称m是不可分解的。求证：Vn中存在一数r,它可有多于一种的方式表示为Vn中不可分解数的乘积。(乘积中若仅仅是因数的顺序不同则视为是同一种分解。)定义f(x)=1-acosx-bsinx-Acos2x-Bsin2x其中a,b,A,B都是实数常量。如果f(x)=0对所有实数x都成立，求证a2+b2=2且A2+B2f(f(n)对所有正整数n都成立，则f(n)=n对每

24、个n都成第20界IMOm、n都是正整数且nm。如果1978m和1978n的十进制表示法的末三位数字相同，试求满足此条件并使m+n达到最小的m与n。P是某已知球内部一点，A、B、C是球面上三点，且有PA、PB、PC相互垂直，由PA、PB、PC决定的平行六面体与P点对角相向的顶点为Q,试求出Q点的轨迹。3两不交集合f(1),f(2),f(3),.和g(1),g(2),g(3),.的并集是全部的正整数，其中ff(2)f(3)gg(2)g(3)=H/k;上式中两边的求和都是k从1到n。6某国际组织共有来自六个国家的共1978名会员，会员编号分别是1,2,(1978)求证至少有某一会员的编号，恰为与他同

25、国家的另外两位会员编号的和，或者是他同国家的两外一名会员编号的两倍。第21界IMO1.m,n是满足下述条件的正整数：m/n=1-1/2+1/3-1/4+.-1/1318+1/1319.求证：m可被1979整除。2-个棱柱的上底和下底分别是正五边形A1A2A3A4A5、B1B2B3B4B5。这两个正五边形的每条边以及每个AiBj边都被染上红色或蓝色。又已知每个边都被着色的三角形(其顶点即这个棱柱的顶点)必有两边着不同色，求证：上、下底的十条边都被染上了同一种颜色。3平面上的两个圆相交，A是其中一个交点。现有两质点同时从A出发各自以恒定的速度，同以顺时针方向或同以逆时针方向绕各自的圆移动，在绕过一

26、周之后这两点又同时回到了A点。求证：在这个平面上一定存在某个固定的点P使得在任意时刻P点都与这两动点的距离相等。4给定一平面k,在这个平面上有一点P,平面外有一点Q,试找出平面k上的所有的点R使得(QP+PR)/QR为最大值。5.试求出所有的实数a,使得存在非负实数x1,x2,x3,x4,x5满足下列关系式：x1+2x2+3x3+4x4+5x5=a;x1+23x2+33x3+43x4+53x5=a2;x1+25x2+35x3+45x4+55x5=a3。6令A、E是一个正八边形的两相对顶点，一只青蛙从A点开始跳动，除了E点外，从八边形中的其他每一个顶点都可以跳至与它相邻两顶点中的任何一个。当它跳到E点时就停止运动。设an为恰好经过n步跳动以后到达E点的所有可能线路的个数，求证：a2n-1=0a2n=(2+2)n-1/p2-(2-72)n-1/2第22界IMO1.P是三角形ABC内部一点，D、E、F分别是从P点向边BC、CA、AB所引垂线的垂足