江苏省常州市2021届新高考数学教学质量调研试卷含解析

1、12江苏省常州市 2021 届新高考数学教学质量调研试卷、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1已知双曲线 C:22 xya2 b21(a0,b0）的左，右焦点分别为 F1、 F2 ，过F1的直线 l 交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为 H，若 F1P 3 F1H ，则双曲线 C 的离心率为 （ ）A13C 2 5D 13答案】 A解析】分析】 在 PF1F2中，由余弦定理，得到 | PF2 |，再利用 |PF1| |PF2| 2a即可建立 a, b, c的方程 .【详解】由已知， |

2、HF1 | F1O2 OH2 c2 a2 b，在 PF1F2中，由余弦定理，得|PF2 | PF12 F1F22 2PF1 F1F2 cos PF1F24c2 9b2 2 2c 3b b4a2b2 ，又PF13 HF13b， |PF1 |PF2|2a，所以 3b4a2b22a，故选： A.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立 a,b,c 三者间的关系，本题是道中档题 .y sin2x 的图像2为得到函数 ycos 2x 的图像，只需将函数35A 向右平移个长度单位6C 向左平移 5个长度单位6【答案】 DB向右平移 5个长度单位12D向左平移 5个长度单位1

3、2解析】y cos(2 x) sin(2 xsin(2 x 5 ) sin 2(x 5 ) ，所以要的函数 y cos(2 x) 的6 12 35图象，只需将函数 y sin 2x的图象向左平移 5 个长度单位得到，故选 D 43 2021年某省将实行 “3 1 2 ”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为1111ABCD8462答案】 B解析】分析】详解】12甲同学所有的选择方案共有 C12C42 12 种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科1中

4、再选择一科即可， 共有 C31 3 种选择方案， 根据古典概型的概率计算公式， 可得甲同学同时选择历史和31化学的概率 P ，故选 B 12 44 2xx1 22x的展开式中8x的项的系数为（）A 120B80C60D 40【答案】A【解析】【分析】化简得到5552x 1 22x 2x2 2x22x ，再利用二项式定理展开得到答案【详解】555x2x 1x x x2 2x2x22x2 2x展开式中8x 的项为 2x C5223 2x2 3 2C35222x120 8x .故选： A【点睛】AFB本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力5抛物线的焦点为 F ，准线为 l ， A， B是抛物线

5、上的两个动点，且满足MN设线段 AB的中点 M 在l 上的投影为 N ，则 AB 的最大值是（ ）AB 3C 3D 3答案】 B解析】分析】详解】试题分析：设 A, B在直线 l 上的投影分别是 A1, B1 ，则 AFAA1 ， BF BB1 ，又 M是 AB 中点，所以 MNAB( AF所以AF12( AA1 BB1) ，则BFBF )2 (MN 3AFMNAB2 AF BFBF)2AB 3 ，故选 B考点：抛物线的性质名师点晴】1 AA1BB1AFBF2AFAB2BF22AFABBF，在 ABF 中2 cos334(AFAFBF)2AF BF( AFBF )2 4 ，即AFBFAB2 3

6、 ，即ABBF )2 ，所以23在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线或与准线平行的直线) 的距离时， 常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化象本题弦 AB 的中点 M 到准线的距离首先等于 A, B两点到准线距离之和的一半，然后转化为A, B两点到焦点 F 的距离，从而与弦长 AB 之间可通过余弦定理建立关系6已知复数5i5i 5i ，则 |z|2iB 5 2C 3 2D 2 5答案】 B解析】分析】利用复数除法、加法运算，化简求得z，再求得 z详解】5iz2i故选： B5i5i(2 i) 5i7i ，故 |z| ( 1)2 7点睛】 本小

7、题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题227已知双曲线 C: x2 ya22b2 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为 F1、F2，抛物线 y2 2px p 0 与双5曲线 C有相同的焦点 .设 P为抛物线与双曲线 C的一个交点， 且cos PF1F2，则双曲线 C的离心率为23B 2 或 3C 2 或 3D 2 或 3答案】 D解析】分析】设 PF1 m ， PF2m 7a， n 5a ，最后根据余弦定理列方程得出55n，根据 cos PF1F2和抛物线性质得出 PF2 m ，再根据双曲线性质得出a 、 c 间的关系，从而可得出离心率详解】过 P 分别向 x 轴和抛物

8、线的准线作垂线，垂足分别为M、N，不妨设 PF1m，PF2 n ，PF1QP 为双曲线上的点，则PF1F25m7PF2 2a ，即 m5m72a，得 m 7a ，n 5a ，又 F1F2 2c，在 PF1F2 中，由余弦定理可得49a24c225a2 ，2 7a 2c1 ，解得 e 2 或 e 3.整理得 c2 5ac 6a2 0 ，即 e2 5e 6 0， Qe故选： D.属于中档题点睛】 本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，8一场考试需要 2 小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为(A3B32C3D答案】 B解析】分析】16 因为时针经过 2

9、小时相当于转了一圈的 ，且按顺时针转所形成的角为负角， 综合以上即可得到本题答案6【详解】因为时针旋转一周为 12 小时， 转过的角度为 2 ，按顺时针转所形成的角为负角， 所以经过 2 小时， 时针11 所转过的弧度数为 2 .63故选： B【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题 .9如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 AB ，A1D1的中点分别为 E，F ，则直线 EF 与平面 AA1D1D所成角的正弦值为（ ）5 30 6 2 5 A B CD5 6 6 5【答案】 C【解析】【分析】以 D 为原点，DA ，DC，DD 1 分别为 x, y, z轴，建立空间

10、直角坐标系， 由向量法求出直线 EF 与平面 AA 1D1D 所成角的正弦值【详解】ABCD A 1B1C1D1以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体uuuv的棱长为 2，则 E 2,1,0 ， F 1,0,2 ， EF 1, 1,2 ，取平面 AA1D1D 的法向量为 nr 0,1,0 ，uuuv r 设直线 EF 与平面 AA 1D1D 所成角为 ，则 sin | cosEF , nuuuv rEF nuuuvEF n直线 EF 与平面 AA1D1D 所成角的正弦值为 故选 C 12已知函数 f (x)【点睛】本题考查了线面

11、角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题10已知函数 f xsin x0,12 ， A 31,0 为 fx 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点 x1， x2 满足A 6,0答案】 A解析】分析】结合已知可知，x1 x2B1，则下列区间中存在极值点的是(0,12C 1,3D 3, 21 可求 T ，进而可求，代入1f(x) ，结合 f ( ) 0 ，可求 ，即可判断3详解】Q 图象上相邻两个极值点 x1， x2满足 |x1x2 | 1，1T21即 T 2 ，1， f(x) sin( x )，且 f (31)1sin(130， k Z，Q| |当x121 时，6f(131

12、) 1 为函数的一个极小值点，而6故选：A1， f (x) sin( x 3)，116 ( 6,0) 点睛】 本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用11相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益 ”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调如图的程序 是与“三分损益 ”结合的计算过程，若输入的 x的值为 1，输出的 x的值为(A6481B3227CD1627答案】 B解析】分析】 根据循环语句，输入 x 1 ，执行循环语句即可计算出结果 【详解】输入 x 1 ，由题意执行循环结构程序框图，可得：第1次循环：2x， i32 4 ，不满足判断条件；第 2 次循环：8x 8

13、9 ，i3 4 ，不满足判断条件；第 4 次循环：32 x，27i 4 4 ，满足判断条件；输出结果故选： B32 x.27点睛】本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳 出循环的判定语句，本题较为基础 .2x (x 0)2 (x 0) ，且关于 x的方程 f(x) x a 0有且只有一个实数根， 则实数 a的 lnx (x 0)取值范围()A 0, )B (1, )C (0, )D ,1)答案】 B解析】分析】根据条件可知方程 f (x) x a 0有且只有一个实根等价于函数y有一个交点，作出图象，数形结合即可【详解】f (x) 的图象与直

14、线 y故选： B 作出图象如图，点睛】 本题主要考查函数图象与方程零点之间的关系，数形结合是关键，属于基础题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分。13已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 a4 a7 a6 3，则 S9答案】 27解析】分析】 根据等差数列的性质求得 a5 ，结合等差数列前 n项和公式求得 S9的值 .【详解】因为an为等差数列，所以a4a7a6a5a63 ，解得a53，所以 S9 9 a1 a9 9 2a5 9a5 27 .22故答案为： 27【点睛】本小题考查等差数列的性质，前 n 项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，应用意识14若正

15、三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长均为 2,点 P 为侧棱 AA1上任意一点 ,则四棱锥 P BCC1B1的体积所以 hp222所以VP BB1C1C3 SWBB1C1C hP1 4 3 4 3 .33【答案】 4 33【解析】【分析】依题意得 SWBB1C1C 2 2 4,再求点 P 到平面的距离为点 A到直线 BC的距离 hp ,用公式 所以 VP BB1C1C 13 SWBB1C1C hP 即可得出答案 .【详解】 解 : 正三棱柱 ABC A1 B1C1的所有棱长均为 2,则 SWBB1C1C 2 2 4,点 P 到平面的距离为点 A 到直线 BC 的距离3,故答案为 : 4 33

16、点睛】本题考查椎体的体积公式 ,考查运算能力 ,是基础题 .15已知 3cos24sin( ) ，4( ， )，则 sin241【答案】9【解析】【分析】先利用倍角公式及差角公式把已知条件化简可得 sin cos 2 2 ，平方可得 sin23详解】3cos2 4sin( ) ， 3(cos sin )(cos sin ) 2 2(cos sin ) ，4则 sincos 2 2 ，平方可得 sin231故答案为： .9【点睛】本题主要考查三角恒等变换，倍角公式的合理选择是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养416若 sin，则 sin2 45【答案】 725【解析】【分析】由已知利用两角差

17、的正弦函数公式可得sincos 4 2 ，两边平方，由同角三角函数基本关系式，5二倍角的正弦函数公式即可计算得解详解】Qsinsincos cos4sin4sin4cos ，得 sin5cos在等式 sincos424 2 两边平方得 15sin23225 解得 sin225故答案为：725点睛】本题主要考查了两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知函数 f (x)1 lnxx11)若 f (x) ax 恒成立，求实数 a 的取值范围；x2)

18、若方程 f (x)m 有两个不同实根 x1 ， x2 ，证明： x1x2 2 1答案】(1) (21e, )(2)详见解析解析】分析】ln x ln x1)将原不等式转化为 a 2 ，构造函数 g(x) 2 ，求得 g(x) 的最大值即可； xx2)首先通过求导判断f (x) 的单调区间，考查两根的取值范围，再构造函数 h(x) f ( x)f (2 x) ，将问题转化为证明h(x)0，探究h(x) 在区间内的最大值即可得证详解】解：( 1)由 f (x)ax1，即xln xax，ln x 即 a2 ，x ln x 令 g( x)2 ,( x 0) ，则只需 a x1 2ln xg (x) 3

19、 ，令 g (x) 0，xg ( x )max ，g(x) 在(0, e)上单调递增，在( e, ) 上单调递减，1g (x)max g ( e) ，2ea 的取值范围是 ( 1 , ) ；2e2)证明：不妨设x1 x2, f (x)ln x2， x当 x (0,1) 时，f ( x)0, f (x)单调递增，当 x (1, ) 时，f ( x)0, f ( x)单调递减，Q f (1) 1, f 1e0 ，当时， f (x) 0 ，0 m 1,1ex1x2，要证 x1 x2 2 ，即证x2 2 x1 ，由 x2 1, 2 x11,f(x)在 (1, )上单调递增，只需证明 f x2f 2 x

20、1 ，由 f x1f x2，只需证明 f x1f 2 x1令 h(x) f (x) f (2 x) ， x (0,1) ，只需证明 h(x) 0 ，易知 h(1) 0,h (x) f (x) f (2 x)ln x2xln(2 x)(2 x)2 ，由 x (0,1) ，故 ln x 0, x2 (2 x)2 ，h ( x)ln x ln(2 x)(2 x)2ln x(2 x)(2 x) 2从而 h(x) 在 (0,1) 上单调递增，由 h(1) 0 ，故当 x (0,1)时， h(x) 0 ，故 x1 x2 2 ，证毕【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，最值等，关键是要对问题进行转化，比如

21、把恒成立问题转化为最值问 题，把根的个数问题转化为图像的交点个数，进而转化为证明不等式的问题，属难题18已知动圆 M 经过点 N(2,0) ，且动圆 M 被 y 轴截得的弦长为 4，记圆心 M 的轨迹为曲线 C ( 1)求曲线 C 的标准方程；(2)设点 M 的横坐标为 x0，A，B为圆 M 与曲线 C的公共点， 若直线 AB 的斜率 k 1，且 x0 0,4 ， 求 x0 的值【答案】见解析【解析】【分析】【详解】(1)设 M(x,y)，则点 M 到 y轴的距离为 |x|， 因为圆 M 被 y轴截得的弦长为 4，所以 |MN |2 |x|2 4，22 2 2 2 2又|MN |2 (x 2)

22、2 y2 ，所以 |x|2 4 (x 2)2 y2， 化简可得 y2 4x ，所以曲线 C的标准方程为 y2 4x 22 ( 2)设 A( y1 , y1) ， B( y2 , y2 ) ，44 因为直线 AB的斜率 k 1，所以可设直线 AB 的方程为 y x m，22 TOC o 1-5 h z 由 y xm及 y24x，消去x可得 y24y 4m0，所以y1y24 ，y1y24m，所以 |AB| 2 (y1 y2)2 4y1y2 4 2 1 m 设线段 AB的中点为 T ，点 M 的纵坐标为 y0，则 T(2 m,2)， MT AB，y0 2y 2所以直线 MT 的斜率为 1，所以 x

23、(2 m) 1，所以 m 4 x0 y0 4 y0 y0 ， x0 (2 m)4所以 | AB| 4 2 1 m 4 2 y0 y0 3 1易得圆心 M 到直线 AB的距离 d 122| y0 y0 m| 2| y0 2|，4由圆M 经过点 N（2,0） ，可得22所以2432(y40 y0 3) 41y60 4解得y02 32 8 11 或 y02 32| AB | 2 | MN |2 d2 y0416 4 2(y0 2)2 ，2(y02）2 ，整理可得42y04 64y02 320 0 ，8 11 ，所以 x0 8 2 11 或 x0 8 2 11 ，又 x0 0, 4 ，所以 x0 8

24、2 11 19为践行 “绿水青山就是金山银山 ”的发展理念和提高生态环境的保护意识， 高二年级准备成立一个环境 保护兴趣小组 .该年级理科班有男生 400人，女生 200人；文科班有男生 100 人，女生 300 人.现按男、女 用分层抽样从理科生中抽取 6 人，按男、女分层抽样从文科生中抽取 4 人，组成环境保护兴趣小组，再从 这 10 人的兴趣小组中抽出 4 人参加学校的环保知识竞赛 .（ 1）设事件 A为“选出的这 4 个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有 ”， 求事件 A 发生的概率；（2）用 X 表示抽取的 4人中文科女生的人数，求 X 的分布列和数学期望

25、.4【答案】（ 1） 4 ；（ 2）见解析21【解析】【分析】（ 1）按分层抽样得抽取了理科男生4人，女生 2人，文科男生 1人，女生 3 人，再利用古典概型求解即可（ 2）由超几何分布求解即可【详解】（1）因为学生总数为1000 人，该女生2 人，文科男生1 人，女生所以P A C41 C114C5240C140210（2）X 的可能取值为0,1,2,3，3人.421、理科按男女用分层抽样抽取 10人，则抽取了理科男生 4 人，C74 C301C1406，C73 C311C1402，C72 C323C14010C17 C33 1C14030EX310130X 的分布列为X01231131P6

26、21030点睛】 本题考查分层抽样，考查超几何分布及期望，考查运算求解能力，是基础题20已知抛物线 M ：x2 2py（ p 0）的焦点 F 到点 N（ 1, 2）的距离为 10 .（ 1）求抛物线 M 的方程；（2）过点 N 作抛物线 M 的两条切线， 切点分别为 A，B，点 A、B 分别在第一和第二象限内， 求 ABN 的面积 .【答案】（1） x2 4y（2） 272【解析】【分析】（ 1）因为 F 0, p ，可得 | FN | 1 p 2 10 ，即可求得答案；（ 2）分别设 NA、 NB的斜率为 k1和 k2，切点 A x1,y1 ， B x2,y2 ，可得过点 N 的抛物线的切线

27、方程为l：y k（x 1） 2 ，联立直线 l方程和抛物线 M 方程，得到关于 x一元二次方程， 根据0，求得 k1，k2 ，进而求得切点 A， B坐标，根据两点间距离公式求得| AN |，根据点到直线距离公式求得点B到切线 AN 的距离 d ，进而求得 ABN 的面积 .【详解】p1) Q F 0,22|FN |p 2 10 ，2解得 p 2 ，抛物线 M 的方程为 x2 4y .2）由题意可知， NA、 NB的斜率都存在，分别设为 k1和k2，切点 A x1, y1 ，B x2,y2 ，过点 N 的抛物线的切线 l ： y k（x 1） 2 ，y k(x 1) x2 4y2,消掉 y,可得

28、 x2 4kx 4k 8 0 ，16k2 16k 32 0 ，即 k2 k 2 0 ，解得 k1 1， k2 2 ，又Q 由 x2 4y ，1 得 y x，21 2 2x1 2k1 2， y1x12 k12 1 ，4同理可得 x2 2k2 4 ， y2 k22 4 ，A(2,1) ， B( 4,4) ，| AN | (2 1)2 (1 2)2 3 2 ，切线 AN 的方程为 x y 1 0 ，点 B 到切线 AN 的距离为 d| 4 4 1| 9 2 22S ABN1 3 2 9 2 272 2 2即 ABN 的面积为272点睛】 本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形面积问题， 解题关键

29、是掌握抛物线定义和圆锥曲线与直线交点问题时 ,通常用直线和圆锥曲线联立方程组 ,通过韦达定理建立起目标的关系式 21某芯片公司为制定下一年的研发投入计划， 需了解年研发资金投入量 （单位： 亿元）对年销售额 （单位：亿元）的影响 .该公司对历史数据进行对比分析， 建立了两个函数模型 : ， ， 其中 均为常数， 为自然对数的底数现该公司收集了近 12 年的年研发资金投入量 和年销售额 的数据， ，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值令 ，经计算得如下数据：（ 1）设和 的相关系数为 ， 和 的相关系数为 ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（ 2）（i）根

30、据（ 1）的选择及表中数据，建立关于 的回归方程（系数精确到 0.01）；（ ii ）若下一年销售额 需达到 90 亿元，预测下一年的研发资金投入量 是多少亿元？ 附：相关系数 ，回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， ； 参考数据： ， ， 【答案】（ 1）模型的拟合程度更好； （2）（i）；（ii ）亿元 .【解析】分析】1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；2）（ i）先建立 关于 的线性回归方程，从而得出 关于 的回归方程；ii）把代入（ i）中的回归方程可得值详解】本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识统计与概率思想

31、、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,考查,体现基础性、综合性与应用性解：（1）则 ，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好2）（ i）先建立 关于 的线性回归方程 .，即，得由于所以 关于 的线性回归方程为 ，所以 ，则ii）下一年销售额 需达到 90 亿元，即， 代入 得， ， 又 ，所以 ， 所以 ，所以预测下一年的研发资金投入量约是 亿元点睛】 本小题主要考查抛物线的定义、 抛物线的标准方程、 直线与抛物线的位置关系、 导数几何意义等基础知识， 考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学 运算、直观想

32、象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性22第 7届世界军人运动会于 2019 年 10月 18日至 27日在湖北武汉举行，赛期 10天，共设置射击、游 泳、田径、篮球等 27 个大项， 329个小项 .共有来自 100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开， 武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动， 努力让大家更多的了解军 运会的相关知识，并倡议大家做文明公民. 武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200 名幸运参与者，他们得分（满分 100 分）数据，统计结果如下：组

33、别30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100)频数5304050452010（ 1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设， 分别为这 200 人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表） ，求 ， 的值（ ， 的值四舍五入取整数） ，并计算 P(51 X 93) ；2）在（ 1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于 的可以获得 1次抽奖机会，得分不低于 的可获得 2 次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为 15 元的纪念品 A 的概率为此次问卷调查并成为幸运参与者，记21，抽中价值为 30 元的纪念品 B 的概率为 .现有市民张先生参加了 3Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求3Y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额参考数据： P（) 0.6827 ； P( 2 X2)0.9545 ；P( 3 X) 0.9973 . )答案】（1）65，14， P 0.8186 ；（ 2）详见解析 .解析】分析】1）根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而XN（65，142），计算 P（51X 93）即可；2）列出 Y 所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分