研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则

1、 函数基础知识基本方法 数学高考临近，给你提个醒！ ！研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则1.函数的定义(1)映射的定义:(2) 一映射的定义:上图中是映射的是，是一一映射的是。(3)函数的定义：(课本第一册上.P51)2.函数的性质(1)定义域：复合函数定义域求法：若已知f(x)的定义域为a, b,其复合函数fg(x)的定义域由不等式 aw g(x) wb解出即可；若已知fg(x)的定义域为a,b,求f(x)的定义域，相当于xCa,b时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域)；(2)值域：(3)奇偶性(在整个定义域内考虑)定义：判断方法：I .定义法 步骤：a.求出定义域；b.判断定义域

2、是否关于原点对称；c.求 f ( x)；d.比较f( x)与葭)或( x)与 f(x)的关系。n.图象法：关于原点对称为奇函数，关于y轴对称为偶函数。.若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；.抽象函数的奇偶性判断(定义法)f ( x).判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)f(-x)=0或一=1f(x)(f(x)w0)；已知： H (x) f (x)g(x)若非零函数f (x), g(x) 的奇偶性相同，则在公共定义域内H (x) 为偶函数若非零函数f (x), g(x) 的奇偶性相反，则在公共定义域内H (x) 为奇函数常用的结论：若 f(x)是奇函数，且0 定义域，则f

3、(0) 0或( 1) f；若 f (x) 是偶函数，则 f ( 1) f (1) ；反之不然。4)单调性(在定义域的某一个子集内考虑)定义：证明函数单调性的方法：I .定义法步骤：2.设*3*2AJ1x1x2;b.作差 f (xi)f (x2);(一般结果要分解为若干个因式的乘积， 且每一个因式的正或负号能清楚地判断出)c.判断正负号。n .用导数证明：若f(x)在某个区间A内有导数，则 f (x) 0，( x A) f (x) 在 A 内为增函数；f (x) 0, (x A) f (x)在A内为减函数。求单调区间的方法：a.定义法：b.导数法：c.图象法：d.复合函数y f g(x)在公共定

4、义域上的单调性：(同增异减)若 f 与 g 的单调性相同，则f g(x) 为增函数；若 f 与 g 的单调性相反，则f g(x) 为减函数。注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。一些有用的结论：a.奇函数在其对称区间上的单调性相同；b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；c.在公共定义域内增函数 f (x) 增函数 g(x) 是增函数； 减函数 f(x) 减函数 g(x) 是减函数；增函数f(x)减函数g(x)是增函数；减函数f(x)增函数g(x)是减函数。bd.函数y ax -(a 0,b0)在 ，/ab或dab, 上单调递增；在xJO6,0或0,0)恒成立，则 y=f(x)是周期为 2a

5、 的 周期函数；b.若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2 | a|的周期函数；c.若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4 | a|的周期函数；d.若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 a b的周期函数；e. y=f(x)的图象关于直线 x=a,x=b(a w b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 a b的周期函数；f . y=f(x)对 x C R 时，f(x+a)= - f(x)(或 f(x+a)=,则 y=f(x)是周期为 2 a 的周期函数；f(x)例：(1)若函数f (x)在R上是奇函

6、数，且在1,0上是增函数，且 f (x 2) f (x)则f(x)关于 对称；f(x)的周期为 ;f (x)在(1, 2)是 函数(增、减)；若x (0,1)日.f(x)=2x,则 f(log；8) 。2(2)设f (x)是定义在(，)上，以2为周期的周期函数，且f(x)为偶函数，在区间2, 3上，f(x)= 2(x 3)2 4,则 x 0,2时，f(x)=。3、函数的图象1、基本函数的图象：(1) 一次函数、(2)二次函数、(3)反比例函数、(4)指数函数、 (5)对数函数、(6)三角函数。2、图象的变换(1)平移变换函数yf (xa),(a0)的图象是把函数yf (x)的图象沿x轴向左平移

7、a个单位得到的；函数yf (xa),(a0)的图象是把函数yf (x)的图象沿x轴向右平移a个单位得到的；函数yf(x) a,(a 0)的图象是把函数y f (x)的图象沿y轴向上平移a个单位得到的函数y f (x) a, (a0)的图象是把函数y f(x)的图象沿y轴 向下 平移a个单位得到的。(2)对称变换函数yf(x)与函数y f ( x)的图象关于直线 x=0对称;函数y f (x)与函数yf (x)的图象关于直线 y=0对称;函数y f (x)与函数yf ( x)的图象关于坐标原点对称;如果函数y f (x)对于一切x R,都有f (x a) f (x a),那么y f (x)的图象

8、关于直线x a对称。函数y f (a x)与函数yf (a x)的图象关于直线 x a对称。 y f (x) y | f (x) y f(x) y f(x)y f 1(x)与yf(x)关于直线y x对称。曲线的对称及证明方法：a.证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称 点仍在图像上；b.证明图像 Ci与C2的对称性，即证明 Ci上任意点关于对称中心(对称轴)的 对称点仍在C2上，反之亦然；c.曲线Ci ：f(x,y)=0,关于y=x+a(y= x+a)的对称曲线 C2的方程为f(y a,x+a)=0(或 f( y+a, x+a)=0);d.曲线Ci:f(x,y)=

9、0关于点(a,b)的对称曲线 C2方程为：f(2a x,2b y)=0;a be.函数y=f(x a)与y=f(b x)的图像关于直线 x=对称；2(3)伸缩变换yaf(x),(a 0)的图象，可将 yf (x)的图象上的每一点的纵坐标伸长(a 1)或缩短(0 a 1)到原来的a倍。yf (ax), (a 0)的图象，可将 yf (x)的图象上的每一点的横坐标伸长(0 a 1)或缩短(a 1)到原来的一倍。a例：(1)已知函数yf(x)的图象过点(1, 1),则f (4 x)的反函数的图象过点。(2)由函数y (1)x的图象，通过怎样的变换得到y log 2的图象？24、函数的反函数(1)求反

10、函数的步骤：求原函数y f(x), (x A)的值域B把y f(x)看作方程，解出x (y)；x, y互换的y f(x)的反函数为y f 1(x) , (x B)。(2)函数与反函数之间的一个有用的结论：f 1(a) b f(b) a定义域上的单调函数必有反函数；奇函数的反函数也是奇函数；定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；周期函数不存在反函数；互为反函数的两个函数具有相同的单调性；y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A,值域为B,则有ff-1(x)=x(x e B),f-1f(x)=x(x CA).(3)原函数 y f (x)在区间a,a上单调递增，则一定存在反

11、函数，且反函数_ 1y f (x)也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。例1： y 310g21 x), (x 0)的反函数为 。2：已知 f(x) x2 2x 3,(x 0),求 y f (2x 1)的反函数。3：设 f (x) 9x 2 3x,则f 1(0) o4:四十五分钟能力训练题十(13题)。5、函数、方程与不等式(1) “实系数一元二次方程 ax2 bx c 0有实数解转化为“ b2 4ac 0，你是否注意到必须 a 0；当a =0时，“方程有解”不能转化为b2 4ac 0。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？(2)利用

12、二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。设x1,x2为方程f(x) 0,(a 0)的两个实根。x1 m, x? m, 贝U f(m) 0；当在区间(m,n)内有且只有一个实根，时， f(m) f(n) 0(2)考虑端点，验证端点。当在区间(m, n)内有且只有两个实根时，0bmn2af (m) 0f(n) 0若m x1np x2 q时yf(m) f(n) 0f(p) f(q) 0注意：根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。注意端点，验证端点。4x m例：1、对于定义在 R上的函数f(x) ，若其所以的函数值都不超过1,x 1则m的取值范围。21 12、已知函数y log2

13、)4的定义域是一切实数，则 a 。3、若关于x的方程22x 2x a a 1 0有实根，则a 。4、设集合 A= xx2 4x 3 0 , B是关于x的不等式组2x 2x a 02 一， 一、 一x 2(a 7)x 5的解集，试确定a的取值范围，使 A Bo 025、已知方程x mx m10的两个根为一个三角形两内角的正切值,试求m的取值范围。(3)恒成立问题的处理方法：分离参数法：分离参数后根据命题成立与参数无关，所以参数的系数为零。转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解；根据二次函数图象的位置得到恒大于0或恒小于0的不等式组(见一元二次方程根的分布) af(x)a f(x) max,； aWf(x)a f(x) min；6、依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：f(u) g(x)u h(x) 0(或 0)(a u b)f(a) 0f(b) 0(或f(a) 0)f(b) 0)ax b b acc7、掌握函数y a (b ac