随机性模型及MATLAB统计工具箱在建模中的应用

1、随机性模型及MATLAB 统计工具箱在建模中的应用确定性模型和随机性模型随机因素可以忽略随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑概率模型统计回归模型马氏链模型确定性模型随机性模型概 率 模 型例: 报童的利润为了获得最大的利润，报童每天应购进多少份报纸？ 162天报纸需求量的调查 报童早上购进报纸零售，晚上将未卖掉的报纸退回。 购进价b元)零售价a (=1元)退回价c元)售出一份赚 a-b退回一份赔 b-c 136 214 195 219 224 197 213 187 187 230 172 227 157 114 156 问题分析购进太多卖不完退回赔钱购进太少不够销售赚

2、钱少应根据需求确定购进量每天需求量是随机的目标函数应是长期的日平均利润每天收入是随机的存在一个合适的购进量= 每天收入的期望值随机性优化模型需求量的随机规律由162天报纸需求量的调查得到 每天需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2模型建立 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n)求 n 使 G(n) 最大 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-cr视为连续变量模型建立模型建立由（1）或（2）得到的n是每天平均利润最大的最佳购进量。结果解释nP1P2取n使 a-b 售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱0rpMATLAB 统计工具箱常用命令(一)命令名称输入输出n,y=hist(x

3、,k)频数表x: 原始数据行向量k：等分区间数n: 频数行向量y: 区间中点行向量hist(x,k)直方图同上直方图m=mean(x)均值x: 原始数据行向量均值ms=std(x）标准差同上标准差s功能概率密度分布函数逆概率分布均值与方差随机数生成字符pdfcdfinvstatrnd分布均匀分布指数分布正态分布2分布t分布F分布二项分布泊松分布字符 unifexpnormchi2 t fbinopoissMATLAB 统计工具箱常用命令(一)y=normpdf(1.5,1,2) 正态分布x的概率密度 (=1, =2) y=fcdf(1,10, 50) F分布x= 1的分布函数 (自由度n1=1

4、0, n2=50)y =tinv(0.9,10) 概率的逆t分布 (分位数, 自由度n=10) 由 计算 n用MATLAB 统计工具箱求解报童模型 根据数据确定需求量的概率分布 p(x)199 136 214 195 219 224 197 213 187 187 185 162 209 249 177 180 229 202262 132 159 169 287 217 182 201 187 239 201 233 228 191 195 205 168 190196 159 238 155 172 153 243 173 131 233 258 227 206 166 170 249 2

5、46 176232 209 185 167 211 127 137 281 197 305 190 207 237 193 179 257 165 232180 230 234 167 221 241 158 214 199 151 189 194 157 122 164 200 131 251176 117 204 260 202 206 199 207 235 207 230 220 205 211 161 162 199 214164 232 204 309 216 148 215 220 180 209 176 201 217 248 231 94 211 233200 234 231

6、 252 249 238 134 160 227 161 176 227 201 243 146 219 135 142212 194 155 188 177 164 210 140 213 119 221 214 230 172 227 157 114 156x=dlmread(baotongdata.m); % 读入数据文件 baotongdata.m(18x9矩阵)y=reshape(x,1,162); % 转换为向量n,z=hist(y), % 频数表hist(y) % 直方图m=mean(y) % 均值s=std(y) % 均方差h =jbtest(y) % 正态性检验pause q

7、=(b-a)/(b-c);N=norminv(q,m,s) % 按照（2）用逆概 率分布计算nn = 2 11 12 30 29 35 28 11 2 2z =m =s =h = 0N =一 航空公司的预订票策略1 问题的提出 有时在机场会出现一些乘客本已订好了某家航空公司的某趟航班，却被意外地告知此趟航班已满，航空公司将为他们预定稍后的航班的情况。这不但会引起乘客的不便，还会加剧他们对航空公司的抱怨程度。 在如今这个使用计算机系统来实行订票的时代，是否可以通过设计某种系统来抑制这类事件的发生。 试建立一个面对航空公司订票决策的数学模型。 西北大学数学系2 符号约定f 维持航班的总费用（成本）

8、n 乘坐航班的乘客数量g 每名乘客支付的运费（机票票价）N 航班的满舱载客数量k 误机的乘客数 k人误机的概率m 预定航班的乘客数量S 航班的收支差额b 安置一名剩余乘客的费用p 订票乘客登机的概率q 订票乘客误机的概率（1-p）j 航班卖出折价票的数量r 航班票价的折扣率3 建模目标建立一个面对航空公司订票决策的数学模型。 航空公司制定超客订票策略，是为了从航班中获得尽可能大的利润。 顺着这条脉络，很自然地以求出航空公司期待从一趟预定航班中获得的利润来建立模型。1）初步建模（从简单情形入手）首先，摒除对所求利润带来复杂影响的参量，从利润最根本的角度出发建立基本模型。4 建立模型 一趟航班运行

9、的成本基本与实际搭乘的乘客数量无关。航班的成本包括了航空公司支付的薪水、燃料费用、机场承担的起飞、降落和操作费用，以及一些其它的费用（比如飞机维修费用，地面工作人员的薪金，广告费用）。不管航班是否满舱，航空公司都必需给飞行员、领航员、工程师和舱内全体职员支付薪金。而相对于半舱的航班，满舱的航班所多消耗的燃料在总体的燃料负担中仅占很小的比例。 利润 = 收入成本一趟航班运行的成本记为如果一趟航班实际搭载了 名乘客，那么所得的余额是其中，为每名乘客支付的运费。 当乘客的数目增加时，利润也跟着增加。最大可得利润是 其中，是航班的满舱载客量。 不同类型的乘客支付不同的运费，例如头等舱、公务舱、经济舱都

10、有各自的定价。为了建模方便，现在假设所有的乘客都支付同样的运费。一趟航班的收入取决于实际的乘客人数 n当乘客所付的总运费恰好能维持航班的费用时，达到一个临界人数 当乘客人数少于它时，航班的经营将会造成损失。容易看出，为了获得尽可能大的利润，航空公司应当让每一趟航班达到满舱。 误机者会影响满舱。分析初步模型模型每趟航班能否达到满舱？因此，需要在基本模型上加进反映“乘客误机”这一条件的参量，并考察其对所求利润的影响。2）扩充模型时也不一定能保证利润达到最大，则订票上限便不应局限于N 值。假设订票的总人数是 ，有可能超出 航空公司可能从航班中得到的利润为当考虑到发生乘客误机的情况，使得即使订票数为

11、当有 个人误机时，乘客没有搭乘航班属于偶然事件，要反映这一事件，必须加进乘客搭乘航班的概率这一参量。设有 个人误机的概率是 则所得利润的表达方式只能是利润的数学期望值，用 表示，有设有 如果 ，则第一项和不存在， 仅由第二项和表出，并且求和下限由0代替。由于对航班需求的不同，显然订票的乘客数有可能小于航班载客量，航空公司并不需要考虑超额订票的问题。根据求解的问题，需要假设各种情况，不论航空公司决定的最大订票数 为多少，在一些时间的热门航线中它都是有可能会达到的。为研究 对的影响，将上式改写为根据 的定义， ，因此，有而在和都为正数的条件下，有 。则唯一能达到预期利润最大值的方法是降低所有的，使

12、之趋近于0。 当订票数量 充分的大于 时，可以达到所要结果。因为，当订票的乘客数目增加时，任意大的误机人数出现的概率便随之降低。因此，第二个模型通过预测已订票乘客的真正登机数目表明，可以令订票数充分地大于航班客载量来使预期的利润趋近于理论上的最大值，即航班满舱时的可获得的利润。在这个模型中对订票的超额数量并没有任何限制，它甚至可能是航班载客量的好几倍。但是，一旦实行了超额订票策略之后，除了对航班的利润带来保障外，也会带一些负面的影响。即到达机场要求登机的乘客数 m-k ,可能要比航班的载客量大得多。对被挤兑的乘客数为 单从表面上来看，显然航空公司最后得到的利润需要扣除这一部分费用，并且这笔费用

13、是随着 m 的变化而变化。因此，需要在模型里加进代表“被挤兑的乘客所支出的费用”这一参量，并考察其对所求利润的影响，以及它与 m的相互关系。 被挤兑的乘客造成航空公司两方面的损失：滞留费用，机票签转的费用。来自乘客的抱怨，影响公司形象的潜在费用。当出现超额订票并有超出航班载客量的乘客抵达机场的情况时，假设航空公司通过各种方法处理被挤兑的乘客，每一名所需要的费用是 b 建立包括处理超出乘客所需费用在内的，航空公司从某趟航班中期望获得的平均利润的模型。设实际登机的乘客数为 ，则航班所得的利润为当3）改进的模型事实上，将利润看成一随机变量，有 个人登机所对应的概率为 ，则航空公司从航班中所获得的预期

14、利润，或说平均利润，便是取遍所有可能的误机人数的情况下，利润的数学期望。因此，有，且表示预计的误机人数，我们用 表示，有 现在，已经得到一个相对复杂的中间结果。将和从开始令代入上式中进行检验。这符合乘客误机的概率为0，即每一名订票的乘客都抵达了机场。在这种情况下，上式简化为从这个结果表明，如同预测的，如果有 名乘客预定了载客量为 的航班并且他们都抵达了机场，那么利润将是满舱的收支差 额减去承担 名剩余乘客的费用 。在这种情况下，最大平均利润在时可以达到，就如同最初的基本模型所表示的一般。相较于基本模型，此时的模型已经考虑了“乘客误机”与“安排被挤兑乘客”两种情况。其中“有 名乘客误机”这一偶然

15、事件的概率 ，还可进一步分解以方便估计与计算。接着，便来讨论关于的形式。最简单地，假设一乘客登机的概率为，而误机的概率为 。进一步假设抵达机场的乘客两两无关，则可得到 的二项式结构为 当然，事实上这个误机者两两无关的假设并不是完全正确的一部分的乘客是两人或是以小组为单位一起行动的。现在，先从最简单的情况开始入手。由这个结构 可得航空公司将要尝试的就是找出航班所得平均利润的最大值。上式中表达的平均利润依赖于 和。成本 ，票价 和费用 则在航空公司短期控制范围之外（运费是由IATA决定，而不是由个别的航空公司决定），和由客观因素约束，只有订票数目上限是航空公司可以改变的参数。上式中的部分和结果表明

16、，这个问题可以通过列举细表来得到解决。但是，明显地，最佳的订票上限至少不低于航班的载客量 。当时，所得利润可化简为这是关于 的增函数。 我们计算得包含各种取值，每一个对应于一个订票上限 。通过 和来求得利润，并根据各组不同数值的 来选出最佳的订票上限。 式中的和其实是一个关于 的函数，在给出 估算这个和，然后便会发现预期的利润是一个关于 的值后，可以编写计算程序来的函数。航空公司综合考虑大量的因素，得出的临界人数大约是航班载客量的60%，所以可以估计一个最佳近似值，即是 。因此，可以得到用计算程序比照订票数量来计算一架载客量为300的飞机所能得到的预期利润，假设 和结果很明显，依据超额订票程度

17、来达到最大的可能利润是可行的。同样，也可以计算 个或是更多乘客发生座位冲撞的概率： 结果表明，当超额订票的乘客数分别为20和39时，可以达到最大的预期利润。有5名或更多乘客发生座位冲撞的概率在46%和55%之间。当考虑到安排一名被挤兑乘客的费用所带来的影响时，得到的结果和从直观上所得的结果是一致的，因为安排剩余乘客所需费用增加，为从航班中得到的最大预期利润所需要的超额订票数便会减少，发生任意多名乘客座位冲撞的概率（这里以发生5名或更多的乘客座位冲撞例）也就降低了。能达到最大预期利润的订票水平，将作为构成机票价格的一部份。对300座的客机，设 对于 值的估计，这笔费用大致是由实际和相对潜在的，例

18、如公司信誉的损害与将来的潜在客源流失，两笔花费构成。这个讨论应该导向关于灵敏度的考虑。第二个结果显示，有5名或是更多的乘客座位发生冲撞的概率对 与的比值变化是非常灵敏的，而相对地，预期的利润值对这种变化的反映则并不很大。在实际中，这表示航空公司的决策制定者很容易过高地估计 而犯错。其实要精确估计这笔支出费用是相当困难地，在降低平均利润的条件下，高估一个小数目虽然也有益处，但要降低乘客座位冲撞概率到一个有意义的数目的条件是很大的。模型推广资源的所有者在将其对外出借、出租或出售时，必需制定关于未来提供给顾客的的服务能否实现的决策。本文讨论的航班订票只是这一大类型中的一个，以下列出了三个从此类问题中

19、挑选出的例子，通过建模练习可以在这个课题中获得更大的收获。1）酒店酒店接受房间预订主要是建立在诚信之上，因此通常不会再接受有过失信记录的顾客的预订。一些酒店在接受预订时会要求顾客交纳押金，以此来确保顾客住房的概率（施行这种方案的一般是低价酒店，因为它们的周转资金往往不多），而另一些酒店则可能会给长期订房或是预付房费的顾客打折。这种多价格系统的经营方式是可以考虑的。2）汽车出租公司汽车出租公司一般会保留固定数量的汽车（至少在短期内）以出租给顾客。出租公司可能会为频繁租借汽车的顾客打折，以此来确保公司能有最低量的收入。而一些长期出租品（一次出租一周或一个月）也会标上优惠的价格，因为这给出了一个至少

20、确定了未来的一段日子会有收入的策略。在预测一些车辆的预订可能会被取消的情况下，一间公司有可能充分地留出比它们计划中要多的汽车。 3）图书馆图书馆都有可能购买一些畅销书籍的多种版本。特别是在学院或大学图书馆里，时常购买一系列课本。某些版本极有可能仅限在图书馆内，以方便学生们的使用。可以尝试建立书籍使用的模型。回 归 模 型数据拟合方法再讨论直线拟合：a=polyfit(x,y,1),b=polyfit(x,z,1),同一条直线 y=0.33x+0.96(z=0.33x+0.96)从拟合到回归x= 0 1 2 3 4 , y= 1.0 1.3 1.5 2.0 2.3 ( + 号)x= 0 1 2

21、3 4 , z= 0.6 1.95 0.9 2.85 1.8 （*号）问题：你相信哪个拟合结果？怎样给以定量评价?得到例1 牙膏的销售量 问题建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量 收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价 9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851销售量(百万支)价格差（元）广告费用(百万元)其它厂家价格(元)本公司价格(元)销售周期基本模型y 公司牙膏销售量

22、x1其它厂家与本公司价格差x2公司广告费用x2yx1yx1, x2解释变量(回归变量, 自变量) y被解释变量（因变量） 0, 1 , 2 , 3 回归系数 随机误差（均值为零的正态分布随机变量）MATLAB 统计工具箱 模型求解b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha) 输入 x= n4数据矩阵, 第1列为全1向量alpha(置信水平,) b的估计值 bintb的置信区间 r 残差向量y-xb rintr的置信区间 Stats检验统计量 R2,F, p yn维数据向量输出 由数据 y,x1,x2估计clears=xlsread(yagaodata.xls);

23、y=s(:,6);x1=s(:,5);x2=s(:,4);plot(x1,y,o)pauseplot(x2,y,ro)pausex=ones(30,1) x1 x2 x2.*x2;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);b,bint,stats,b =bint =stats =结果分析y的90.54%可由模型确定 参数参数估计值置信区间17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.00000123F远超

24、过F检验的临界值 p远小于= 2的置信区间包含零点(右端点距零点很近) x2对因变量y 的影响不太显著x22项显著 可将x2保留在模型中 模型从整体上看成立销售量预测 价格差x1=其它厂家价格x3-本公司价格x4估计x3调整x4控制价格差x1元，投入广告费x2=650万元销售量预测区间为 ，8.7636（置信度95%）上限用作库存管理的目标值 下限用来把握公司的现金流 若估计x3，设定x4，则可以95%的把握知道销售额在 29（百万元）以上控制x1通过x1, x2预测y(百万支)模型改进x1和x2对y的影响独立 参数参数估计值置信区间17.32445.7282 28.92061.30700.6

25、829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.00000123参数参数估计值置信区间29.113313.7013 44.525211.13421.9778 20.2906 -7.6080-12.6932 -2.5228 0.67120.2538 1.0887 -1.4777-2.8518 -0.1037 R2=0.9209 F=72.7771 p=0.000030124x1和x2对y的影响有交互作用clears=xlsread(yagaodata.xls);y=s(:,6);x1=s(:

26、,5);x2=s(:,4);x=ones(30,1) x1 x2 x2.*x2 x1.*x2;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)两模型销售量预测比较(百万支)区间 ，8.7636区间 ，8.7592 (百万支)控制价格差x1元，投入广告费x2百万元预测区间长度更短 略有增加 x2x1=0.2 x1x1x2x2两模型 与x1,x2关系的比较交互作用影响的讨论价格差 x1=0.1 价格差 x1加大广告投入使销售量增加 （ x2大于6百万元）价格差较小时增加的速率更大 x2价格优势会使销售量增加 价格差较小时更需

27、要靠广告来吸引顾客的眼球 例2 软件开发人员的薪金资历 从事专业工作的年数；管理 1=管理人员，0=非管理人员；教育 1=中学，2=大学，3=更高程度建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考 编号薪金资历管理教育01138761110211608103031870111304112831020511767103编号薪金资历管理教育422783716124318838160244174831601451920717024619346200146名软件开发人员的档案资料 分析与假设 y 薪金，x1 资历（年）x2 = 1 管理人员，x2 = 0

28、 非管理人员1=中学2=大学3=更高资历每加一年薪金的增长是常数；管理、教育、资历之间无交互作用 教育线性回归模型 a0, a1, , a4是待估计的回归系数，是随机误差 中学：x3=1, x4=0 ；大学：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0 模型求解参数参数估计值置信区间a011032 10258 11807 a1546 484 608 a26883 6248 7517 a3-2994 -3826 -2162 a4148 -636 931 R2=0.957 F=226 p=0.000R2,F, p 模型整体上可用资历增加1年薪金增长546 管理人员薪金多6883 中学程度薪金

29、比更高的少2994 大学程度薪金比更高的多148 a4置信区间包含零点，解释不可靠!中学：x3=1, x4=0;大学：x3=0, x4=1; 更高：x3=0, x4=0. x2 = 1 管理，x2 = 0 非管理x1资历(年)xinjindata.m xinjin1.m 残差分析方法 结果分析残差e 与资历x1的关系 e与管理教育组合的关系 残差全为正，或全为负，管理教育组合处理不当 残差大概分成3个水平， 6种管理教育组合混在一起，未正确反映 应在模型中增加管理x2与教育x3, x4的交互项 组合123456管理010101教育112233管理与教育的组合进一步的模型增加管理x2与教育x3,

30、 x4的交互项参数参数估计值置信区间a01120411044 11363a1497486 508a270486841 7255a3-1727-1939 -1514a4-348-545 152a5-3071-3372 -2769a618361571 2101R2=0.999 F=554 p=0.000R2,F有改进，所有回归系数置信区间都不含零点，模型完全可用 消除了不正常现象 异常数据(33号)应去掉 e x1 e 组合xinjin2.m 去掉异常数据后的结果参数参数估计值置信区间a01120011139 11261a1498494 503a270416962 7120a3-1737-1818

31、 -1656a4-356-431 281a5-3056-3171 2942a619971894 2100R2= 0.9998 F=36701 p=0.0000e x1 e 组合R2： 0.957 0.999 F： 226 554 36701 置信区间长度更短残差图十分正常最终模型的结果可以应用xinjin3.m 模型应用 制订6种管理教育组合人员的“基础”薪金(资历为0）组合管理教育系数“基础”薪金101a0+a39463211a0+a2+a3+a513448302a0+a410844412a0+a2+a4+a619882503a011200613a0+a218241中学：x3=1, x4=0

32、 ；大学：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0 x1= 0； x2 = 1 管理，x2 = 0 非管理大学程度管理人员比更高程度管理人员的薪金高 大学程度非管理人员比更高程度非管理人员的薪金略低 拟合问题实例 给药方案 1. 在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度（单位体积血液中的药物含量）的变化规律。问题2. 给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设计给药方案 (每次注射剂量, 间隔时间) 。分析 t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01实验：血药浓度数据 c(t) (t=0注射300mg)半对数坐标系(semilogy)下c(t)的图形 理论：用一室模型研究血药浓度变化规律负指数规律拟合问题实例 给药方案 实验数据tcc00实验数据作图3.血液容积v, t=0注射剂量d, 血药浓度立即为d/v2.药物排除速率与血药浓度成正比，比例系数k(0)模型假设1.机体看作一个房室，室内血药浓度均匀一室模型模型建立由假设2由假设3给药方案 设计 设每次注射剂量D, 间隔时间 血药浓度c(t)